In der Mathematik ist die Gleichung von Poisson eine teilweise Differenzialgleichung des elliptischen Typs mit dem breiten Dienstprogramm in der Elektrostatik, dem Maschinenbau und der theoretischen Physik. Es wird nach dem französischen Mathematiker, geometer und Physiker Siméon-Denis Poisson genannt.

Behauptung der Gleichung

Die Gleichung von Poisson ist

:

wo der Maschinenbediener von Laplace ist, und f und φ echte oder Komplex-geschätzte Funktionen auf einer Sammelleitung sind. Wenn die Sammelleitung Euklidischer Raum ist, wird der Maschinenbediener von Laplace häufig als  angezeigt, und so wird die Gleichung von Poisson oft als geschrieben

:

In dreidimensionalen Kartesianischen Koordinaten nimmt es die Form an

:

\left (\frac {\\partial^2} {\\teilweiser x^2} + \frac {\\partial^2} {\\teilweiser y^2} + \frac {\\partial^2} {\\teilweiser z^2} \right) \varphi (x, y, z) = f (x, y, z).

</Mathematik>

Um f zu verschwinden, wird diese Gleichung die Gleichung von Laplace

:

Die Gleichung von Poisson kann mit einer Funktion eines Grüns gelöst werden; eine allgemeine Ausstellung der Funktion des Grüns für die Gleichung von Poisson wird im Artikel über die geschirmte Gleichung von Poisson gegeben. Es gibt verschiedene Methoden für die numerische Lösung. Die Entspannungsmethode, ein wiederholender Algorithmus, ist ein Beispiel.

Newtonischer Ernst

Im Fall von einem Schwerefeld g wegen eines anziehenden massiven Gegenstands, der Dichte ρ, kann das Gesetz von Gauss für den Ernst in der Differenzialform verwendet werden, um die entsprechende Gleichung von Poisson für den Ernst zu erhalten. Das Gesetz von Gauss für den Ernst ist:

:

und da das Schwerefeld konservativ ist, kann es in Bezug auf ein Skalarpotenzial Φ ausgedrückt werden:

:

das Ersetzen ins Gesetz von Gauss

:

erhält die Gleichung von Poisson für den Ernst:

:

Elektrostatik

Einer der Ecksteine der Elektrostatik ist die Einstellung und das Lösen von Problemen, die durch die Gleichung von Poisson beschrieben werden. Die Entdeckung φ für einige gegeben f ist ein wichtiges praktisches Problem, da das die übliche Weise ist, das elektrische Potenzial für einen gegebenen durch die Dichte-Funktion beschriebenen Anklage-Vertrieb zu finden.

Die mathematischen Details hinter der Gleichung von Poisson in der Elektrostatik sind wie folgt (SI-Einheiten werden aber nicht Einheiten von Gaussian verwendet, die auch oft im Elektromagnetismus verwendet werden).

Wenn wir

mit dem Gesetz von Gauss für die Elektrizität (auch eine der Gleichungen von Maxwell) in der Differenzialform anfangen, haben wir:

:

wo der Abschweifungsmaschinenbediener, D = elektrisches Versetzungsfeld und ρ = freie Anklage-Dichte (das Beschreiben von Anklagen ist, die von der Außenseite gebracht sind). Das Annehmen des Mediums ist geradlinig, isotropisch, und homogen (sieh Polarisationsdichte), wir haben die bestimmende Gleichung:

:

wo ε = permittivity des Mediums und E = elektrisches Feld. Das Ersetzen davon ins Gesetz von Gauss herrscht vor:

:

Ohne ein sich änderndes magnetisches Feld, B, gibt das Gesetz von Faraday der Induktion:

:

wo der Locke-Maschinenbediener ist und t Zeit ist. Da die Locke des elektrischen Feldes Null ist, wird es durch ein potenzielles elektrisches Skalarfeld definiert, (sieh Zergliederung von Helmholtz).

:

Die Abstammung der Gleichung von Poisson unter diesen Verhältnissen ist aufrichtig. Das Auswechseln gegen den potenziellen Anstieg für das elektrische Feld

:

direkt erhält die Gleichung von Poisson für die Elektrostatik, die ist:

:

Das Lösen der Gleichung von Poisson für das Potenzial verlangt das Wissen des Anklage-Dichte-Vertriebs. Wenn die Anklage-Dichte Null ist, dann resultiert die Gleichung von Laplace. Wenn die Anklage-Dichte einem Vertrieb von Boltzmann folgt, dann resultiert die Gleichung von Poisson-Boltzmann. Die Gleichung von Poisson-Boltzmann spielt eine Rolle in der Entwicklung der Debye-Hückel Theorie von verdünnten Elektrolyt-Lösungen.

Die obengenannte Diskussion nimmt an, dass sich das magnetische Feld rechtzeitig nicht ändert. Dieselbe Gleichung von Poisson entsteht, selbst wenn sie sich wirklich rechtzeitig ändert, nicht weniger als wird das Ampere-Sekunde-Maß verwendet. In diesem allgemeineren Zusammenhang, φ rechnend, ist nicht mehr genügend, um E zu berechnen, da E auch vom magnetischen Vektor-Potenzial A abhängt, der unabhängig geschätzt werden muss. Sieh die Gleichung von Maxwell in der potenziellen Formulierung für mehr auf φ und in den Gleichungen von Maxwell, und wie die Gleichung von Poisson in diesem Fall erhalten wird.

Das Potenzial von Gaussian belädt Dichte

Wenn es eine statische kugelförmig symmetrische Anklage-Dichte von Gaussian gibt

:

wo Q die Gesamtanklage, dann die Lösung φ (r) von der Gleichung von Poisson, ist

:

wird durch gegeben

:

wo erf (x) die Fehlerfunktion ist.

Diese Lösung kann ausführlich durch das Auswerten überprüft werden. Bemerken Sie, dass für den r, der viel größer ist als σ, die Erf-Funktionsannäherungseinheit und das Potenzial φ, sich (r) nähert, der Punkt beladen Potenzial

:

weil man erwarten würde. Außerdem nähert sich die Erf-Funktion 1 äußerst schnell, als sein Argument zunimmt; in der Praxis für r> 3σ ist der Verhältnisfehler kleiner als ein Teil in eintausend.

Oberflächenrekonstruktion

Die Gleichung von Poisson wird auch verwendet, um eine glatte 2. Oberfläche (im Sinne der Kurve-Anprobe) gestützt auf einer Vielzahl von Punkten wieder aufzubauen (eine Punkt-Wolke), wohin jeder Punkt auch eine Schätzung der lokalen normalen Oberfläche trägt.

Diese Technik baut die implizite Funktion wieder auf, deren Wert Null an den Punkten ist, und dessen Anstieg an den Punkten den normalen Vektoren gleichkommt. Der Satz dessen ist so eine Stichprobenerhebung eines dauernden Vektoren eld. Die implizite Funktion wird durch die Integrierung des Vektoren eld gefunden. Seitdem ist nicht jeder Vektor eld der Anstieg einer Funktion, das Problem kann oder kann keine Lösung haben: Die notwendige und sufcient Bedingung für einen glatten Vektoren eld, um der Anstieg einer Funktion zu sein, besteht darin, dass die Locke dessen identisch Null-sein muss. Im Falle dass diese Bedingung difcult ist, um zu beeindrucken, ist es noch möglich, Am-Wenigsten-Quadrate durchzuführen, die passend sind, den Unterschied zwischen und den Anstieg dessen zu minimieren.

Siehe auch

• Getrennte Gleichung von Poisson
• Gleichung von Poisson-Boltzmann
• Einzigartigkeitslehrsatz für die Gleichung von Poisson
• Gleichung von Poisson an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• L.C. Evans, Teilweise Differenzialgleichungen, amerikanische Mathematische Gesellschaft, Vorsehung, 1998. Internationale Standardbuchnummer 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbuch von Geradlinigen Teilweisen Differenzialgleichungen für Ingenieure und Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. Internationale Standardbuchnummer 1-58488-299-9

Links

• Die Gleichung von Poisson auf PlanetMath.
• Das Video von Equation von Equation Poisson von Poisson