Eine Gruppe (G, ·) ist ein Satz G geschlossen unter einer binären Operation · Zufriedenheit der folgenden 3 Axiome:

• Associativity: Für den ganzen a, b und c in G, (a · b) · c = a · (b · c)

• Identitätselement: Dort besteht ein eG solch das für alle in G, e · = a · e = a

• Umgekehrtes Element: Für jeden in G gibt es ein Element b in solchem G dass a · b = b · = e, wo e ein Identitätselement ist.

Grundlegende Beispiele für Gruppen sind die ganzen Zahlen Z mit der Hinzufügungsoperation oder rationalen Zahlen ohne NullQ\{0} mit der Multiplikation. Mehr allgemein, für jeden Ring R, bilden die Einheiten in R eine multiplicative Gruppe. Sieh den Gruppenartikel für eine Illustration dieser Definition und für weitere Beispiele. Gruppen, schließen jedoch, viel allgemeinere Strukturen ein als das obengenannte. Gruppentheorie ist mit Beweis abstrakter Behauptungen über Gruppen, unabhängig von der wirklichen Natur des Elements und der Operation der fraglichen Gruppen beschäftigt.

Dieses Wörterverzeichnis stellt kurze Erklärungen von einigen grundlegenden überall in der Gruppentheorie verwendeten Begriffen zur Verfügung. Beziehen Sie sich bitte auf die Gruppentheorie für eine allgemeine Beschreibung des Themas. Siehe auch Liste von Gruppentheorie-Themen.

Grundlegende Definitionen

Eine Teilmenge H  G ist eine Untergruppe wenn die Beschränkung dessen · zu H ist eine Gruppenoperation auf H. Es wird normal genannt, wenn verlassen, und Recht stimmen cosets, d. h. gH = Hg für den ganzen g in G zu. Normale Untergruppen spielen eine ausgezeichnete Rolle auf Grund von der Tatsache, dass die Sammlung von cosets einer normalen Untergruppe N in einer Gruppe G natürlich eine Gruppenstruktur erbt, die Bildung der Quotient-Gruppe ermöglichend, gewöhnlich hat G/N angezeigt (auch hat einen genannt

Faktor-Gruppe). Das Schmetterling-Lemma ist ein technisches Ergebnis auf dem Gitter von Untergruppen einer Gruppe.

In Anbetracht einer Teilmenge S einer Gruppe G wird die kleinste Untergruppe von G, der S enthält, die durch S erzeugte Untergruppe genannt. Es wird häufig angezeigt

Beide Untergruppen und normale Untergruppen einer gegebenen Gruppe bilden ein ganzes Gitter unter der Einschließung von Teilmengen; dieses Eigentum und einige zusammenhängende Ergebnisse werden durch den Gitter-Lehrsatz beschrieben.

In Anbetracht jedes Satzes A kann man eine Gruppe als die kleinste Gruppe definieren, die die freie Halbgruppe von A enthält. Diese Gruppe besteht aus den begrenzten Schnuren genannt Wörter, die durch Elemente aus A und ihren Gegenteilen zusammengesetzt werden können. Die Multiplikation von Schnuren wird durch die Verkettung, zum Beispiel definiert

Jede Gruppe G ist grundsätzlich eine Faktor-Gruppe einer freien durch den Satz seiner Elemente erzeugten Gruppe. Dieses Phänomen wird formell mit Gruppenpräsentationen gemacht.

Das direkte Produkt, die direkte Summe und das halbdirekte Produkt von Gruppen kleben mehrere Gruppen zusammen unterschiedlich. Das direkte Produkt einer Familie von Gruppen G ist zum Beispiel das kartesianische Produkt der Sätze, die dem verschiedenen G unterliegen, und die Gruppenoperation wird teilklug durchgeführt.

Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Karte f: G  H zwischen zwei Gruppen, der die Struktur bewahrt, die durch die Operation, d. h. auferlegt ist

:f (a · b) = f (a) · f (b).

Bijektiv (in - surjective) sind Karten Isomorphismus von Gruppen (mono - epimorphisms, beziehungsweise). Der Kern ker (f) ist immer eine normale Untergruppe der Gruppe. Für f als oben verbindet der Hauptsatz auf dem Homomorphismus die Struktur von G und H, und des Kerns und Images des Homomorphismus, nämlich

:G / ker (f) ≅ im (f).

Eines der grundsätzlichen Probleme der Gruppentheorie ist die Klassifikation von Gruppen bis zum Isomorphismus.

Gruppen zusammen mit dem Gruppenhomomorphismus bilden eine Kategorie.

In der universalen Algebra werden Gruppen allgemein als algebraische Strukturen der Form behandelt (G, · e,), d. h. das Identitätselement e und die Karte, die jedes Element der Gruppe zu seinem Gegenteil nimmt behandelt als integrale Bestandteile der formellen Definition einer Gruppe zu sein.

Endlichkeitsbedingungen

Die Ordnung |G (oder o (G)) einer Gruppe ist der cardinality von G. Wenn die Ordnung |G (in-) begrenzt ist, dann wird G selbst (in-) begrenzt genannt. Eine wichtige Klasse ist die Gruppe von Versetzungen oder symmetrischen Gruppen von N Briefen, hat angezeigt, dass der Lehrsatz von S. Cayley jede begrenzte Gruppe G als eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf G ausstellt. Die Theorie von begrenzten Gruppen ist sehr reich. Der Lehrsatz von Lagrange stellt fest, dass die Ordnung jeder Untergruppe H einer begrenzten Gruppe G die Ordnung von G teilt. Ein teilweiser gegenteiliger wird durch die Lehrsätze von Sylow gegeben: Wenn p die größte Macht eines ersten p das Teilen der Ordnung einer begrenzten Gruppe G ist, dann dort besteht eine Untergruppe des Auftrags p, und die Zahl dieser Untergruppen ist auch bekannt. Eine projektive Grenze von begrenzten Gruppen wird pro-begrenzt genannt. Eine wichtige pro-begrenzte Gruppe, die für die p-adic Analyse, Klassenfeldtheorie und l-adic cohomology grundsätzlich ist, ist der Ring von p-adic ganzen Zahlen und die pro-begrenzte Vollziehung von Z, beziehungsweise

: und

Die meisten Tatsachen von begrenzten Gruppen können direkt zum pro-begrenzten Fall verallgemeinert werden.

Bestimmte Bedingungen auf Ketten von Untergruppen, Parallele zum Begriff von Ringen von Noetherian und Artinian, erlauben, weitere Eigenschaften abzuleiten. Zum Beispiel stellt der Lehrsatz von Krull-Schmidt fest, dass eine Gruppe, die bestimmte Endlichkeitsbedingungen für Ketten seiner Untergruppen befriedigt, als ein begrenztes direktes Produkt von unzerlegbaren Untergruppen einzigartig geschrieben werden kann.

Ein anderer, noch ein bisschen schwächer, Niveau der Endlichkeit ist der folgende: Wie man sagt, erzeugt eine Teilmenge G die Gruppe, wenn ein Element h als das Produkt von Elementen von A geschrieben werden kann. Wie man sagt, wird eine Gruppe begrenzt erzeugt, wenn es möglich ist, eine begrenzte Teilmenge Ein Erzeugen der Gruppe zu finden. Begrenzt erzeugte Gruppen sind in vieler Hinsicht ebenso-treatable als begrenzte Gruppen.

Gruppen von Abelian

Die Kategorie von Gruppen kann auf mehrere Weisen unterteilt werden. Eine besonders gut verstandene Klasse von Gruppen ist der so genannte abelian (zu Ehren von Niels Abel, oder auswechselbar) Gruppen, d. h. diejenigen, befriedigend

Eine andere Weise, das zu sagen, besteht dass der Umschalter darin

kommt dem Identitätselement gleich. Eine non-abelian Gruppe ist eine Gruppe, die nicht abelian ist. Noch mehr besondere, zyklische Gruppen sind die durch ein einzelnes Element erzeugten Gruppen. Entweder isomorph zu Z oder zu Z, die ganzen Zahlen modulo n seiend, sind sie immer abelian. Irgendwelcher hat begrenzt abelian Gruppe erzeugt ist bekannt, eine direkte Summe von Gruppen dieser zwei Typen zu sein. Die Kategorie von abelian Gruppen ist eine abelian Kategorie. Tatsächlich, abelian Gruppen dienen als der Prototyp von abelian Kategorien. Ein gegenteiliger wird durch den Einbetten-Lehrsatz von Mitchell gegeben.

Normale Reihe

Die meisten in der Gruppentheorie entwickelten Begriffe werden entworfen, um non-abelian Gruppen anzupacken. Es gibt mehrere Begriffe, die entworfen sind, um zu messen, wie weit eine Gruppe davon ist, abelian zu sein. Die Umschalter-Untergruppe (oder abgeleitete Gruppe) ist die Untergruppe, die durch Umschalter [a, b] erzeugt ist, wohingegen das Zentrum die Untergruppe von Elementen ist, die mit jedem anderen Gruppenelement pendeln.

In Anbetracht einer Gruppe G und einer normalen Untergruppe N G, angezeigter N  G, gibt es eine genaue Folge:

:1 → N → G → H → 1,

wo 1 die triviale Gruppe anzeigt und H der Quotient G/N ist. Das erlaubt die Zergliederung von G in zwei kleinere Stücke. Andersherum, in Anbetracht zwei Gruppen N und H, wird eine Gruppe G, eine genaue Folge einbauend, als oben eine Erweiterung von H durch N genannt. Gegebener H und N dort sind viele verschiedene Gruppenerweiterungen G, der zum Erweiterungsproblem führt. Es gibt immer mindestens eine Erweiterung, genannt die triviale Erweiterung, nämlich die direkte Summe G = N  H, aber gewöhnlich gibt es mehr. Zum Beispiel ist der vier-Gruppen-Klein eine nichttriviale Erweiterung von Z durch Z. Das ist ein erster Anblick der homological Algebra und des App. functors.

Viele Eigenschaften für Gruppen, zum Beispiel eine begrenzte Gruppe oder eine P-Gruppe seiend (d. h. die Ordnung jedes Elements ist eine Macht von p), sind unter Erweiterungen und sub - und Quotient-Gruppen stabil, d. h. wenn N und H das Eigentum, dann so G und umgekehrt haben. Diese Art der Information wird deshalb bewahrt, während man es mittels genauer Folgen zerbricht. Wenn dieser Prozess abgelaufen ist, d. h. wenn eine Gruppe G keine (nichttrivialen) normalen Untergruppen hat, wird G einfach genannt. Der Name ist irreführend, weil eine einfache Gruppe tatsächlich sehr kompliziert sein kann. Ein Beispiel ist die Ungeheuer-Gruppe, deren Ordnung ungefähr 10 ist. Die begrenzten einfachen Gruppen sind bekannt und klassifiziert.

Wiederholt nehmende normale Untergruppen (wenn sie bestehen) führen zu normaler Reihe:

:1 = G  G ...  G = G,

d. h. jeder G ist eine normale Untergruppe der folgenden G. Eine Gruppe ist lösbar (oder auflösbar), wenn sie eine normale Reihe hat alle sind dessen Quotienten abelian. Weiter commutativity Einschränkungen auf die Quotienten G / G auferlegend, erhält man Hauptreihen, die zu nilpotent Gruppen führen. Sie sind eine Annäherung von abelian Gruppen im Sinn das

: [... g, g], g]..., g] =1

für alle Wahlen von Gruppenelementen g.

Es kann verschiedene normale Reihe für eine Gruppe G geben. Wenn es unmöglich ist, eine gegebene Reihe durch das Einfügen weiter normaler Untergruppen zu raffinieren, wird es Zusammensetzungsreihe genannt. Durch den Lehrsatz des Jordans-Hölder sind irgendwelche zwei Zusammensetzungsreihen einer gegebenen Gruppe gleichwertig.

Andere Begriffe

Allgemeine geradlinige Gruppe, die durch GL angezeigt ist (n, F), ist die Gruppe "durch" invertible matrices, wo die Elemente des matrices von einem Feld wie die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen genommen werden.

Gruppendarstellung (um mit der Präsentation einer Gruppe nicht verwirrt zu sein). Eine Gruppendarstellung ist ein Homomorphismus von einer Gruppe zu einer allgemeinen geradlinigen Gruppe. Man versucht grundsätzlich, eine gegebene abstrakte Gruppe als eine konkrete Gruppe von invertible matrices "zu vertreten", der viel leichter ist zu studieren.

Referenzen

• Eine zeitgenössische Standardverweisung.