Harmonische Zahl des Begriffes von:The hat vielfache Bedeutungen. Für andere Bedeutungen, sieh harmonische Zahl (Begriffserklärung).

In der Mathematik ist die n-te harmonische Zahl die Summe der Gegenstücke der ersten n natürlichen Zahlen:

::

Das kommt auch n Zeiten das Gegenteil der dieser natürlichen Zahlen bösartigen Harmonischen gleich.

Harmonische Zahlen wurden in der Altertümlichkeit studiert und sind in verschiedenen Zweigen der Zahlentheorie wichtig. Sie werden manchmal harmonische Reihe lose genannt, sind nah mit dem Riemann zeta Funktion verbunden, und erscheinen in verschiedenen Ausdrücken für verschiedene spezielle Funktionen.

Wenn der Wert einer großen Menge von Sachen einen Gesetzvertrieb von Zipf, hat

der Gesamtwert des n am meisten - wertvolle Sachen ist die n-te harmonische Zahl.

Das führt zu einer Vielfalt von überraschenden Beschlüssen im Langen Schwanz und der Theorie des Netzwerts.

Berechnung

Eine integrierte Darstellung wird von Euler gegeben:

:

Die Gleichheit ist oben durch die einfache algebraische Identität unter offensichtlich

:

Ein eleganter kombinatorischer Ausdruck kann erhalten werden, für das einfache Integral zu verwenden, verwandeln Sie sich:

:\begin {richten }\aus

H_n

&= \int_0^1 \frac {\\, \, \, 1 - x^n} {1 - x }\\, dx

=-\int_1^0\frac {1-(1-u) ^n} {u }\\, du

= \int_0^1\frac {1-(1-u) ^n} {u }\\, du \\

&= \int_0^1\left [\sum_ {k=1} ^n (-1) ^ {k-1 }\\binom nk u^ {k-1 }\\Recht] \, du \\

&= \sum_ {k=1} ^n (-1) ^ {k-1 }\\binom nk \int_0^1u^ {k-1 }\\, du \\

&= \sum_ {k=1} ^n (-1) ^ {k-1 }\\frac {1} {k }\\binom nk.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dieselbe Darstellung kann durch das Verwenden des dritten Identitätsstellens von Retkes und Verwendens der Tatsache das erzeugt werden.

H wächst über so schnell wie den natürlichen Logarithmus von n. Der Grund besteht darin, dass der Summe durch den integrierten näher gekommen wird

:

wessen Wert ln (n) ist.

Die Werte der Folge H - ln (n) vermindern monotonically zur Grenze:

:

(wo γ die Euler-Mascheroni unveränderlichen 0.5772156649... ist), und die entsprechende asymptotische Vergrößerung als:

:

wo die Zahlen von Bernoulli sind.

Spezielle Werte für Bruchargumente

Es gibt die folgenden speziellen analytischen Werte für Bruchargumente zwischen 0 und 1, gegeben durch den integrierten

:

Mehr kann von der Wiederauftreten-Beziehung oder von der Nachdenken-Beziehung erzeugt werden.

Für jeden, ganze Zahl oder nicht, haben wir:

::::::::

Gestützt auf haben wir: wo die Euler-Mascheroni Konstante oder mehr allgemein ist, für jeden n haben wir:

Das Erzeugen von Funktionen

Eine Erzeugen-Funktion für die harmonischen Zahlen ist

:

\frac {-\ln (1-z)} {1-z}, </Mathematik>

wo der natürliche Logarithmus ist. Eine Exponentialerzeugen-Funktion ist

:

- E^z \sum_ {k=1} ^\\infty \frac {1} {k} \frac {(-z) ^k} {k!} =

E^z \mbox {Ein} (z) </Mathematik>

wo das komplette Exponentialintegral ist. Bemerken Sie das

:

\Gamma (0, z) + \gamma + \ln z \, </math>

wo die unvollständige Gammafunktion ist.

Anwendungen

Die harmonischen Zahlen erscheinen in mehreren Berechnungsformeln wie die Digamma-Funktion:

:

Diese Beziehung wird auch oft verwendet, um die Erweiterung der harmonischen Zahlen zur nichtganzen Zahl n zu definieren. Die harmonischen Zahlen werden auch oft verwendet, um γ, mit der in der vorherigen Abteilung eingeführten Grenze, obwohl zu definieren

:

läuft schneller zusammen.

2002 hat Jeffrey Lagarias bewiesen, dass die Hypothese von Riemann zur Behauptung das gleichwertig

ist:ist

für jede ganze Zahl n  1 mit der strengen Ungleichheit wenn n &gt wahr; 1; hier zeigt σ (n) die Summe der Teiler von n an.

Der eigenvalues des nichtlokalen Problems

:

wird, wo durch die Tagung, durch gegeben

Generalisation

Verallgemeinerte harmonische Zahlen

Die verallgemeinerte harmonische Zahl der Ordnung der M wird durch gegeben

:

Bemerken Sie, dass die Grenze als n zur Unendlichkeit neigt, besteht wenn.

Andere gelegentlich verwendete Notationen schließen ein

:

Der spezielle Fall dessen wird einfach eine harmonische Zahl genannt und wird oft ohne den Exponenten, als geschrieben

:

In der Grenze läuft die verallgemeinerte harmonische Zahl dem Riemann zeta Funktion zusammen

:

Die zusammenhängende Summe kommt in der Studie von Zahlen von Bernoulli vor; die harmonischen Zahlen erscheinen auch in der Studie von Zahlen von Stirling.

Einige Integrale der verallgemeinerten Harmonischen sind:

und wo die Konstante von Apéry ist.

Eine Erzeugen-Funktion für die verallgemeinerten harmonischen Zahlen ist

:

wo der Polylogarithmus und |z ist

:

oder, mehr allgemein:

:

wo der natürliche Logarithmus ist.

Für verallgemeinerte harmonische Zahlen haben wir:

::

wo der Riemann zeta Funktion ist.

Generalisation zum komplizierten Flugzeug

Die integrierte Formel von Euler für die harmonischen Zahlen folgt aus der integrierten Identität

:

- \sum_ {k=1} ^\\infty \frac {1} {k} {s \choose k} (a-1) ^k </Mathematik>

der für den General Komplex-geschätzten s für die angemessen verlängerten binomischen Koeffizienten hält. Durch die Auswahl a=0 gibt diese Formel sowohl ein Integral als auch eine Reihe-Darstellung für eine Funktion, die die harmonischen Zahlen interpoliert und eine Definition zum komplizierten Flugzeug erweitert. Diese integrierte Beziehung wird durch die Manipulierung der Reihe von Newton leicht abgeleitet

:

der gerade der verallgemeinerte binomische Lehrsatz des Newtons ist. Die interpolierende Funktion ist tatsächlich die Digamma-Funktion:

:

wo der digamma ist, und die Euler-Mascheroni Konstante ist. Der Integrationsprozess kann wiederholt werden, um zu erhalten

:

Beziehung dem Riemann zeta Funktion

Durch einige Ableitungen von harmonischen Bruchzahlen wird gegeben:

:::

Und mit der Reihe von Maclaurin haben wir für x

::wo der Riemann zeta Funktion ist.

Siehe auch

• Vorkalkulator von Watterson
• Der D von Tajima
• Gutschein-Sammler-Problem
• Problem von Jeep
• Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, Eine Stirling-Begegnung mit Harmonischen Zahlen, (2002) Mathematik-Zeitschrift, 75 (2) Seiten 95-103.
• Donald Knuth. Die Kunst der Computerprogrammierung, Bands 1: Grundsätzliche Algorithmen, die Dritte Ausgabe. Addison-Wesley, 1997. Internationale Standardbuchnummer 0-201-89683-4. Abschnitt 1.2.7: Harmonische Zahlen, Seiten 75-79.
• Ed Sandifer, Wie Euler Es - das Schätzen des Baseler Problems (2003) Getan

hat

• Peter Paule und Carsten Schneider, Computerbeweise einer Neuen Familie der Harmonischen Zahl-Identität, (2003) Adv. in Appl. Mathematik. 31 (2), Seiten 359-378.
• Wenchang CHU, Eine Binomische mitwirkende Identität, die mit der Vermutung von Beukers auf Apery Zahlen, (2004) Die Elektronische Zeitung von Combinatorics, 11, #N15. verbunden

ist

• Ayhan Dil und Istvan Mezo, Ein Symmetrischer Algorithmus für den Hyperharmonischen und die Fibonacci-Zahlen, (2008) Angewandte Mathematik und Berechnung 206, 942 — 951.
• Zoltán Retkes, "Eine Erweiterung der Hermite-Hadamard Ungleichheit", Acta Sci. Mathematik. (Szeged), 74 (2008), Seiten 95-106.