Theorie der algebraischen Zahl ist ein Hauptzweig der Zahlentheorie, die algebraische mit algebraischen ganzen Zahlen verbundene Strukturen studiert. Das wird allgemein durch das Betrachten eines Rings von algebraischen ganzen Zahlen O in einer algebraischen Zahl Feld K/Q und das Studieren ihrer algebraischen Eigenschaften wie factorization, das Verhalten von Idealen und die Felderweiterungen vollbracht. In dieser Einstellung brauchen die vertrauten Eigenschaften der ganzen Zahlen — wie einzigartiger factorization — nicht zu halten. Der Vorteil der primären Maschinerie hat — Theorie von Galois, Gruppe cohomology, Gruppendarstellungen verwendet, und L-Funktionen — bestehen darin, dass es erlaubt, sich mit neuen Phänomenen zu befassen und noch teilweise das Verhalten der üblichen ganzen Zahlen wieder zu erlangen.

Grundlegende Begriffe

Einzigartiger factorization und die ideale Klassengruppe

Einer der ersten Eigenschaften von Z, der im Ring von ganzen Zahlen O von einer algebraischen Zahl Feld K scheitern kann, ist die der einzigartigen factorization von ganzen Zahlen in Primzahlen. Die Primzahlen in Z werden zu nicht zu vereinfachenden Elementen in O verallgemeinert, und obwohl der einzigartige factorization von Elementen von O in nicht zu vereinfachende Elemente in einigen Fällen halten kann (solcher bezüglich der ganzen Zahlen von Gaussian Z [ich]), kann es auch, als im Fall von Z [] wo scheitern

Die ideale Klassengruppe von O ist ein Maß dessen, wie viel einzigartiger factorization von Elementen scheitert; insbesondere die ideale Klassengruppe ist trivial, wenn, und nur wenn O ein einzigartiges factorization Gebiet ist.

Factoring Hauptideale in Erweiterungen

Einzigartiger factorization kann für O teilweise wieder erlangt werden, in dem er das Eigentum von einzigartigem factorization von Idealen in Hauptideale hat (d. h. es ein Gebiet von Dedekind ist). Das macht die Studie der Hauptideale im O besonders wichtig. Das ist ein anderes Gebiet, wo sich Dinge von Z bis O ändern: Die Primzahlen, die Hauptideale von Z erzeugen (tatsächlich ist jedes einzelne Hauptideal von Z der Form (p): =pZ für eine Primzahl p,) kann Hauptideale in O nicht mehr erzeugen. Zum Beispiel, im Ring von ganzen Zahlen von Gaussian, das Ideal 2Z bin [ich] nicht mehr ein Hauptideal; tatsächlich

Andererseits das Ideal 3Z bin [ich] ein Hauptideal. Die ganze Antwort für die ganzen Zahlen von Gaussian wird durch das Verwenden eines Lehrsatzes von Fermat mit dem Ergebnis erhalten, das das für eine sonderbare Primzahl p ist

Die Generalisierung dieses einfachen Ergebnisses zu allgemeineren Ringen von ganzen Zahlen ist ein grundlegendes Problem in der Theorie der algebraischen Zahl. Klassenfeldtheorie vollbringt diese Absicht, wenn K eine abelian Erweiterung von Q (d. h. eine Erweiterung von Galois mit der abelian Gruppe von Galois) ist.

Blüte und Plätze

Eine wichtige Generalisation des Begriffs des Hauptideales in O wird durch den Übergang von der so genannten ideal-theoretischen Annäherung bis die so genannte mit der Schätzung theoretische Annäherung erhalten. Die Beziehung zwischen den zwei Annäherungen entsteht wie folgt. Zusätzlich zum üblichen absoluten Wert fungieren | · |: Q  R gibt es absolute Wertfunktionen | · |: Q  R definiert für jede Primzahl p in Z, genannt p-adic absolute Werte. Der Lehrsatz von Ostrowski stellt fest, dass das alle möglichen absoluten Wertfunktionen auf Q (bis zur Gleichwertigkeit) sind. Das weist darauf hin, dass der übliche absolute Wert als eine andere Blüte betrachtet werden konnte. Mehr allgemein ist eine Blüte einer algebraischen Zahl Feld K (hat auch einen Platz genannt), eine Gleichwertigkeitsklasse von absoluten Werten auf K. Die Blüte in K ist zwei Sorten: -Adic absolute Werte wie | · |, ein für jedes Hauptideal von O und absolute Werte wie | · | erhalten durch das Betrachten K als eine Teilmenge der komplexen Zahlen auf verschiedene mögliche Weisen und das Verwenden des absoluten Werts | · |: C  R. Eine Blüte der ersten Art wird eine begrenzte Blüte genannt (oder begrenzter Platz), und eine der zweiten Art wird eine unendliche Blüte (oder unendlichen Platz) genannt. So wird der Satz der Blüte von Q allgemein {2, 3, 5, 7..., } angezeigt, und der übliche absolute Wert auf Q wird häufig | angezeigt · | in diesem Zusammenhang.

Der Satz der unendlichen Blüte von K kann ausführlich in Bezug auf den embeddings K  C (d. h. der Nichtnullringhomomorphismus von K bis C) beschrieben werden. Spezifisch kann der Satz von embeddings in zwei zusammenhanglose Teilmengen, diejenigen aufgeteilt werden, deren Image in R und dem Rest enthalten wird. Zu jedem Einbetten σ: K  R, dort entspricht eine einzigartige Blüte von K, der aus dem absoluten erhaltenen Wert durch das Bestehen σ mit dem üblichen absoluten Wert auf R kommt; ein Hauptentstehen auf diese Mode wird eine echte Blüte (oder echten Platz) genannt. Zu einem Einbetten τ: K  C, dessen Image in R nicht enthalten wird, kann man ein verschiedenes Einbetten, genannt das verbundene Einbetten bauen, indem man τ mit der komplizierten Konjugationskarte C  C dichtet. In Anbetracht solch eines Paares von embeddings τ und, dort entspricht eine einzigartige Blüte von wieder erhaltenem K durch das Bestehen τ mit dem üblichen absoluten Wert (das Bestehen gibt stattdessen dieselbe absolute Wertfunktion seitdem |z = | für jede komplexe Zahl z, wo den Komplex anzeigt, der von z verbunden ist). Solch eine Blüte wird eine komplizierte Blüte (oder komplizierten Platz) genannt. Die Beschreibung des Satzes der unendlichen Blüte ist dann wie folgt: Jede unendliche Blüte entspricht irgendein zu einem einzigartigen Einbetten σ: K  R, oder ein Paar von verbundenem embeddings τ: K  C. Die Zahl von echten (beziehungsweise, Komplex) Blüte wird häufig r (beziehungsweise, r) angezeigt. Dann ist die Gesamtzahl von embeddings K  C r+2r (der tatsächlich dem Grad der Erweiterung K/Q gleichkommt).

Einheiten

Der Hauptsatz der Arithmetik beschreibt die multiplicative Struktur von Z. Es stellt fest, dass jede ganze Nichtnullzahl (im Wesentlichen) einzigartig als ein Produkt von Hauptmächten und ±1 geschrieben werden kann. Der einzigartige factorization von Idealen im Ring O erlangt einen Teil dieser Beschreibung wieder, aber scheitert, den Faktor ±1 zu richten. Die ganzen Zahlen 1 und-1 sind die invertible Elemente (d. h. Einheiten) Z. Mehr allgemein formen sich die invertible Elemente in O eine Gruppe unter der Multiplikation hat die Einheitsgruppe von O genannt, hat O angezeigt. Diese Gruppe kann viel größer sein, als die zyklische Gruppe des durch die Einheiten des Einheitslehrsatzes von Z. Dirichlet gebildeten Auftrags 2 die abstrakte Struktur der Einheitsgruppe als eine abelian Gruppe beschreibt. Eine genauere Behauptung, die die Struktur von O  Q als ein Modul von Galois für die Gruppe von Galois von K/Q gibt, ist auch möglich. Die Größe der Einheitsgruppe und seine Gitter-Struktur geben wichtige numerische Information über O, wie in der Klassifikationsindex-Formel gesehen werden kann.

Lokale Felder

ein numerisches Feld K an einem Platz vollendet, gibt w ein ganzes Feld. Wenn die Schätzung archimedean ist, bekommt man R oder C, wenn es non-archimedean ist und über einen ersten p des rationals liegt, bekommt man eine begrenzte Erweiterung K / Q: ein ganzes, getrenntes geschätztes Feld mit dem begrenzten Rückstand-Feld. Dieser Prozess vereinfacht die Arithmetik des Feldes und erlaubt die lokale Studie von Problemen. Zum Beispiel kann der Lehrsatz von Kronecker-Weber leicht aus der analogen lokalen Behauptung abgeleitet werden. Die Philosophie hinter der Studie von lokalen Feldern wird durch geometrische Methoden größtenteils motiviert. In der algebraischen Geometrie ist es üblich, Varianten lokal an einem Punkt durch das Beschränken zu einem maximalen Ideal zu studieren. Globale Information kann dann durch das Kleben zusammen lokaler Daten wieder erlangt werden. Dieser Geist wird in der Theorie der algebraischen Zahl angenommen. In Anbetracht einer Blüte im Ring von algebraischen ganzen Zahlen in einem numerischen Feld ist es wünschenswert, das Feld lokal an dieser Blüte zu studieren. Deshalb lokalisiert man den Ring von algebraischen ganzen Zahlen zu dieser Blüte und vollendet dann das Bruchteil-Feld viel im Geist der Geometrie.

Hauptergebnisse

Endlichkeit der Klassengruppe

Eines der klassischen Ergebnisse in der Theorie der algebraischen Zahl ist, dass die ideale Klassengruppe einer algebraischen Zahl Feld K begrenzt ist. Die Ordnung der Klassengruppe wird den Klassifikationsindex genannt, und wird häufig durch den Brief h angezeigt.

Der Einheitslehrsatz von Dirichlet

Der Einheitslehrsatz von Dirichlet stellt eine Beschreibung der Struktur der multiplicative Gruppe von Einheiten O vom Ring von ganzen Zahlen O zur Verfügung. Spezifisch stellt es fest, dass O zu G × Z isomorph ist, wo G die begrenzte zyklische Gruppe ist, die aus allen Wurzeln der Einheit in O und r = r + r  1 besteht (wo r (beziehungsweise, r) die Zahl von echtem embeddings (beziehungsweise, Paare von verbundenem nichtechtem embeddings) K) anzeigt. Mit anderen Worten ist O eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe der Reihe r + r  1, dessen Verdrehung aus den Wurzeln der Einheit in O besteht.

Reziprozität von Artin

Siehe auch

:Quadratic-Reziprozität

:Cubic-Reziprozität

:Quartic-Reziprozität

Klassifikationsindex-Formel

Referenzen

Einleitende Texte

• Kenneth Ireland und Michael Rosen, "Eine Klassische Einführung in die Moderne Zahlentheorie, die Zweite Ausgabe", Springer-Verlag, 1990
• Ian Stewart und David O. Tall, "Theorie der algebraischen Zahl und der Letzte Lehrsatz von Fermat," A. K. Peters, 2002

Zwischentexte

• Daniel A. Marcus, "numerische Felder"

Absolventenniveau-Rechnungen

Spezifische Verweisungen

Siehe auch

• Ein Überblick über die Zahlentheorie, mit Anwendungen (in der französischen Wikipedia)
• Programm von Langlands
• Ring von Adele
• Zahl von Tamagawa
• Theorie von Iwasawa
• Arithmetische algebraische Geometrie