In der Mathematik kann das Ausmaß, in dem einzigartiger factorization im Ring von ganzen Zahlen eines Feldes der algebraischen Zahl scheitert (oder mehr allgemein jedes Gebiet von Dedekind) von einer bestimmten Gruppe beschrieben werden, die als eine ideale Klassengruppe (oder Klassengruppe) bekannt ist. Wenn diese Gruppe begrenzt ist (wie es im Fall vom Ring von ganzen Zahlen eines numerischen Feldes ist), dann wird die Ordnung der Gruppe den Klassifikationsindex genannt.

Die multiplicative Theorie eines Gebiets von Dedekind wird an die Struktur seiner Klassengruppe vertraut gebunden. Zum Beispiel ist die Klassengruppe eines Gebiets von Dedekind trivial, wenn, und nur wenn der Ring ein einzigartiges factorization Gebiet ist.

Geschichte und Ursprung der idealen Klassengruppe

Ideale Klassengruppen (oder, eher, was effektiv ideale Klassengruppen war) wurden eine Zeit studiert, bevor die Idee von einem Ideal formuliert wurde. Diese Gruppen sind in der Theorie von quadratischen Formen erschienen: Im Fall von binären integrierten quadratischen Formen, wie gestellt, in etwas wie eine Endform durch Gauss, wurde ein Zusammensetzungsgesetz auf bestimmten Gleichwertigkeitsklassen von Formen definiert. Das hat eine begrenzte abelian Gruppe gegeben, wie zurzeit erkannt wurde.

Später arbeitete Kummer zu einer Theorie von cyclotomic Feldern. Es war begriffen worden (wahrscheinlich durch mehrere Menschen), dass Misserfolg, Beweise im allgemeinen Fall des letzten Lehrsatzes von Fermat durch factorisation das Verwenden der Wurzeln der Einheit zu vollenden, aus einem sehr guten Grund war: Ein Misserfolg des Hauptsatzes der Arithmetik, um in den durch jene Wurzeln der Einheit erzeugten Ringen zu halten, war ein Haupthindernis. Aus der Arbeit von Kummer ist zum ersten Mal eine Studie des Hindernisses für den factorisation gekommen. Wir erkennen jetzt das als ein Teil der idealen Klassengruppe: Tatsächlich hatte Kummer die P-Verdrehung in dieser Gruppe für das Feld von P-Wurzeln der Einheit, für jede Primzahl p als der Grund für den Misserfolg der Standardmethode des Angriffs auf das Problem von Fermat isoliert (sieh regelmäßige Blüte).

Etwas später wieder hat Dedekind das Konzept des Ideales, Kummer formuliert, der auf eine verschiedene Weise gearbeitet hat. An diesem Punkt konnten die vorhandenen Beispiele vereinigt werden. Es wurde gezeigt, dass, während Ringe von algebraischen ganzen Zahlen einzigartigen factorization in die Blüte nicht immer haben (weil sie ideale Hauptgebiete nicht zu sein brauchen) sie wirklich das Eigentum haben, dass jedes richtige Ideal einen einzigartigen factorization als ein Produkt von Hauptidealen zulässt (d. h. jeder Ring von algebraischen ganzen Zahlen ist ein Gebiet von Dedekind). Die Größe der idealen Klassengruppe kann als ein Maß für die Abweichung eines Rings davon betrachtet werden, ein Hauptgebiet zu sein; ein Ring ist ein Hauptgebiet, wenn, und nur wenn er eine triviale ideale Klassengruppe hat.

Definition

Wenn R ein integriertes Gebiet ist, definieren Sie eine Beziehung ~ auf Nichtnullbruchidealen von R durch mich ~ J, wann auch immer dort Nichtnullelemente a und b von solchem R bestehen, dass (a) ich = (b) J. (Hier bedeutet die Notation (a) das Hauptideal von R, der aus allen Vielfachen von a besteht.) Wird es leicht gezeigt, dass das eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist. Die Gleichwertigkeitsklassen werden die idealen Klassen von R genannt.

Ideale Klassen können multipliziert werden: Wenn [ich] die Gleichwertigkeitsklasse des Ideales I anzeige, dann die Multiplikation bin [ich] [J] = [IJ] bestimmt und auswechselbar. Die Hauptideale bilden die ideale Klasse [R], die als ein Identitätselement für diese Multiplikation dient. So eine Klasse habe [ich] ein Gegenteil [J] wenn und nur, wenn es ein Ideal J solch gibt, dass IJ ein Hauptideal ist. Im Allgemeinen kann solch ein J nicht bestehen, und folglich kann der Satz von idealen Klassen von R nur ein monoid sein.

Jedoch, wenn R der Ring von algebraischen ganzen Zahlen in einem Feld der algebraischen Zahl, oder mehr allgemein ein Gebiet von Dedekind ist, verwandelt die Multiplikation, die oben definiert ist, den Satz von idealen Bruchklassen in eine abelian Gruppe, die ideale Klassengruppe von R. Das Gruppeneigentum der Existenz von umgekehrten Elementen folgt leicht von der Tatsache, dass, in einem Gebiet von Dedekind, jedes Nichtnullideal (außer R) ein Produkt von Hauptidealen ist.

Eigenschaften

Die ideale Klassengruppe ist trivial (d. h. hat nur ein Element), wenn, und nur wenn alle Ideale von R hauptsächlich sind. In diesem Sinn misst die ideale Klassengruppe, wie weit R davon ist, ein ideales Hauptgebiet zu sein, und folglich davon, einzigartigen ersten factorization zu befriedigen (Gebiete von Dedekind einzigartige factorization Gebiete sind, wenn, und nur wenn sie ideale Hauptgebiete sind).

Die Zahl von idealen Klassen (der Klassifikationsindex von R) kann im Allgemeinen unendlich sein. Tatsächlich ist jede abelian Gruppe zur idealen Klassengruppe von einem Gebiet von Dedekind isomorph. Aber wenn R tatsächlich ein Ring von algebraischen ganzen Zahlen ist, dann ist der Klassifikationsindex immer begrenzt. Das ist eines der Hauptergebnisse der klassischen Theorie der algebraischen Zahl.

Die Berechnung der Klassengruppe ist im Allgemeinen hart; es kann mit der Hand für den Ring von ganzen Zahlen in einem Feld der algebraischen Zahl von kleinem discriminant getan werden, das Verwenden von Minkowski hat gebunden. Dieses Ergebnis gibt einen bestimmten, abhängig vom Ring, solch, dass jede ideale Klasse ein Ideal der Norm weniger enthält als das bestimmte. Im Allgemeinen ist das bestimmte nicht scharf genug, um die Berechnung praktisch für Felder mit großem discriminant zu machen, aber Computern wird der Aufgabe gut angepasst.

Von Ringen von ganzen Zahlen R zu ihren entsprechenden Klassengruppen kartografisch darzustellen, ist functorial, und die Klassengruppe kann unter dem Kopfstück der algebraischen K-Theorie mit K(R) untergeordnet werden, der der functor ist, der R seine ideale Klassengruppe zuteilt; genauer, K(R) = Z×C(R), wo C(R) die Klassengruppe ist. Höher K Gruppen kann auch verwendet und arithmetisch in der Verbindung zu Ringen von ganzen Zahlen interpretiert werden.

Beziehung mit der Gruppe von Einheiten

Es wurde darüber bemerkt die ideale Klassengruppe stellt einen Teil der Antwort auf die Frage dessen zur Verfügung, wie viel sich Ideale in einem Gebiet von Dedekind wie Elemente benehmen. Der andere Teil der Antwort wird von der multiplicative Gruppe von Einheiten des Gebiets von Dedekind, seit dem Durchgang von Hauptidealen zur Verfügung gestellt

zu ihren Generatoren verlangt den Gebrauch von Einheiten (und das ist der Rest des Grunds dafür, das Konzept des Bruchideales, ebenso einzuführen):

Definieren Sie eine Karte von K bis den Satz aller Nichtnullbruchideale von R, indem Sie jedes Element an das hauptsächliche (unbedeutende) Ideal senden, das es erzeugt. Das ist ein Gruppenhomomorphismus; sein Kern ist die Gruppe von Einheiten von R, und sein cokernel ist die ideale Klassengruppe von R. Der Misserfolg dieser Gruppen, trivial zu sein, ist ein Maß des Misserfolgs der Karte, ein Isomorphismus zu sein: Das ist der Misserfolg von Idealen, wie Ringelemente das heißt, wie Zahlen zu handeln.

Beispiele von idealen Klassengruppen

• Die Ringe Z, Z [ω] und Z [ich], wo ω eine Würfel-Wurzel 1 ist und bin ich eine vierte Wurzel 1 (d. h. eine Quadratwurzel −1), bin alle idealen Hauptgebiete, und so haben Sie Klassifikationsindex 1: D. h. sie haben triviale ideale Klassengruppen.
• Wenn k ein Feld ist, dann ist der polynomische Ring k [X, X, X...] ein integriertes Gebiet. Es hat einen zählbar unendlichen Satz von idealen Klassen.

Klassifikationsindexe von quadratischen Feldern

Wenn d eine quadratfreie ganze Zahl (ein Produkt der verschiedenen Blüte) anders ist als 1, dann ist Q (d) eine quadratische Erweiterung von Q. Wenn d

Für d

Beispiel einer nichttrivialen Klassengruppe

Die quadratische ganze Zahl klingelt R = Z [−5] ist der Ring von ganzen Zahlen von Q (−5). Es besitzt einzigartigen factorization nicht; tatsächlich ist die Klassengruppe von R vom Auftrag 2 zyklisch. Tatsächlich, das Ideal

: J = (2, 1 + √−5)

ist

nicht hauptsächlich, der durch den Widerspruch wie folgt bewiesen werden kann. Wenn J durch ein Element x R erzeugt würden, dann würde sich x sowohl 2 und 1 + −5 teilen. Dann würde die Norm N (x) von x sowohl N (2) = 4 als auch N (1 + −5) = 6 teilen, so würde sich N (x) 2 teilen. Wir nehmen an, dass x nicht eine Einheit von R ist, so kann N (x) nicht 1 sein. Es kann nicht 2 auch sein, weil R keine Elemente der Norm 2 hat, d. h. hat die Gleichung b + 5c = 2 keine Lösungen in ganzen Zahlen.

Man schätzt auch das J = (2), der hauptsächlich ist, so hat die Klasse von J in der idealen Klassengruppe Ordnung zwei. Vertretung, dass es nicht irgendwelche anderen idealen Klassen gibt, verlangt mehr Anstrengung.

Die Tatsache, dass dieser J nicht hauptsächlich ist, ist auch mit der Tatsache verbunden, dass das Element 6 zwei verschiedene factorisations in irreducibles hat:

: 6 = 2 × 3 = (1 + √−5) × (1 − √−5).

Verbindungen zur Klassenfeldtheorie

Klassenfeldtheorie ist ein Zweig der Theorie der algebraischen Zahl, die sich bemüht, alle abelian Erweiterungen eines gegebenen Feldes der algebraischen Zahl zu klassifizieren, Erweiterungen von Galois mit der abelian Gruppe von Galois bedeutend. Ein besonders schönes Beispiel wird im Klassenfeld von Hilbert eines numerischen Feldes gefunden, das als die maximale unverzweigte abelian Erweiterung solch eines Feldes definiert werden kann. Die Hilbert Klasse ist Feld L eines numerischen Feldes K einzigartig und hat die folgenden Eigenschaften:

• Jedes Ideal des Rings von ganzen Zahlen von K wird hauptsächlich in L, d. h., wenn ich ein integriertes Ideal von K dann das Image davon bin, bin mir ein Hauptideal in L.
• L ist eine Erweiterung von Galois von K mit der zur idealen Klassengruppe von K isomorphen Gruppe von Galois.

Kein Eigentum ist besonders leicht sich zu erweisen.

Siehe auch

• Klassifikationsindex-Formel
• Klassifikationsindex-Problem
• Lehrsatz von Brauer-Siegel — eine asymptotische Formel für den Klassifikationsindex
• Liste von numerischen Feldern mit dem Klassifikationsindex ein
• Ideales Hauptgebiet
• Algebraische K-Theorie
• Theorie von Galois
• Der letzte Lehrsatz von Fermat
• Schmale Klassengruppe
• Gruppe von Picard — eine Verallgemeinerung der Klassengruppe, die in der algebraischen Geometrie erscheint

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