In der Mathematik besteht der Verschluss einer Teilmenge S in einem topologischen Raum aus allen Punkten in S plus die Grenze-Punkte von S. Intuitiv sind das alle Punkte, die "in der Nähe von" S sind. Ein Punkt, der im Verschluss von S ist, ist ein Punkt des Verschlusses von S. Der Begriff des Verschlusses ist auf viele zum Begriff des Interieurs Doppel-Weisen.

Definitionen

Punkt des Verschlusses

Für S ist eine Teilmenge eines Euklidischen Raums, x ein Punkt des Verschlusses von S, wenn jeder offene an x in den Mittelpunkt gestellte Ball einen Punkt von S enthält (dieser Punkt kann x selbst sein).

Diese Definition verallgemeinert zu jeder Teilmenge S von einem metrischen Raum X. Fully ausgedrückt, für X ein metrischer Raum mit metrischem d, x ist ein Punkt des Verschlusses von S wenn für jeden r> 0, es gibt einen y in solchem S dass die Entfernung d (x, y) oder. Der Verschluss eines Satzes hat die folgenden Eigenschaften.

• Kl. (S) ist eine geschlossene Obermenge von S.
• Kl. (S) ist die Kreuzung aller geschlossenen Sätze, die S enthalten.
• Kl. (S) ist der kleinste geschlossene Satz, der S enthält.
• Ein Satz S wird wenn und nur wenn S = Kl. (S) geschlossen.
• Wenn S eine Teilmenge von T ist, dann ist Kl. (S) eine Teilmenge der Kl. (T).
• Wenn A ein geschlossener Satz ist, dann enthält A S, wenn, und nur wenn A Kl. (S) enthält.

Manchmal wird das zweite oder dritte Eigentum oben als die Definition des topologischen Verschlusses genommen, die noch Sinn, wenn angewandt, auf andere Typen von Verschlüssen (sieh unten) haben.

In einem erst-zählbaren Raum (wie ein metrischer Raum) ist Kl. (S) der Satz aller Grenzen aller konvergenten Folgen von Punkten in S. Für einen allgemeinen topologischen Raum bleibt diese Behauptung wahr, wenn man "Folge" durch "das Netz" oder "den Filter" ersetzt.

Bemerken Sie, dass diese Eigenschaften auch zufrieden sind, ob "Verschluss", "Obermenge", "Kreuzung", "/enthält" enthält", "am kleinsten" und "geschlossen" werden durch "das Interieur", "die Teilmenge", "die Vereinigung" ersetzt, "hat in", "am größten", und "offen" enthalten. Für mehr auf dieser Sache, sieh Verschluss-Maschinenbediener unten.

Beispiele

• In jedem Raum ist der Verschluss des leeren Satzes der leere Satz.
• In jedem Raum X, X = Kl. (X).
• Wenn X der Euklidische Raum R von reellen Zahlen, dann Kl. ((0, 1)) = [0, 1] ist.
• Wenn X der Euklidische Raum R ist, dann ist der Verschluss des Satzes Q rationaler Zahlen der ganze Raum R. Wir sagen, dass Q in R dicht ist.
• Wenn X das komplizierte Flugzeug C = R, dann Kl. ist ({z in C: z> 1\) = {z in C: z  1\.
• Wenn S eine begrenzte Teilmenge eines Euklidischen Raums ist, dann Kl. (S) = S. (Für einen allgemeinen topologischen Raum, dieses Eigentum ist zum T Axiom gleichwertig.)

Auf dem Satz von reellen Zahlen kann man andere Topologien aber nicht die normale stellen.

• Wenn X = R, wo R die niedrigere Grenze-Topologie, dann Kl. ((0, 1)) = 0, 1) hat.
• Wenn man auf R die Topologie denkt, in der jeder Satz (geschlossen), dann Kl. ((0, 1)) = (0, 1) offen ist.
• Wenn man auf R die Topologie denkt, in der die einzigen offenen (geschlossenen) Sätze der leere Satz und R selbst, dann Kl. ((0, 1)) = R sind.

Diese Beispiele zeigen, dass der Verschluss eines Satzes von der Topologie des zu Grunde liegenden Raums abhängt. Die letzten zwei Beispiele sind spezielle Fälle des folgenden.

• In jedem getrennten Raum da ist jeder Satz (geschlossen) offen, jeder Satz ist seinem Verschluss gleich.
• In jedem homogenen Raum X da sind die einzigen offenen (geschlossenen) Sätze der leere Satz und X selbst, wir haben das der Verschluss des leeren Satzes ist der leere Satz, und für jede nichtleere Teilmenge von X, Kl. (A) = X. Mit anderen Worten ist jede nichtleere Teilmenge eines homogenen Raums dicht.

Der Verschluss eines Satzes hängt auch ab, in dem Raum wir den Verschluss nehmen. Zum Beispiel, wenn X der Satz von rationalen Zahlen mit der üblichen Subraumtopologie ist, die durch den Euklidischen Raum R, und wenn S = {q in Q veranlasst ist: q> 2\, dann S wird in Q geschlossen, und der Verschluss von S in Q ist S; jedoch ist der Verschluss von S im Euklidischen Raum R der Satz aller reellen Zahlen größer oder gleich

Verschluss-Maschinenbediener

Der Verschluss-Maschinenbediener ist dem Innenmaschinenbediener, im Sinn das Doppel-

:S = X \(X \S)

und auch

:S = X \(X \S)

wo X den topologischen Raum anzeigt, der S enthält, und sich der umgekehrte Schrägstrich auf den mit dem Satz theoretischen Unterschied bezieht.

Deshalb kann die abstrakte Theorie von Verschluss-Maschinenbedienern und den Verschluss-Axiomen von Kuratowski in die Sprache von Innenmaschinenbedienern, durch das Ersetzen von Sätzen mit ihren Ergänzungen leicht übersetzt werden.

Tatsachen über Verschlüsse

Der Satz wird wenn und nur wenn geschlossen. Insbesondere der Verschluss des leeren Satzes ist der leere Satz, und der Verschluss von sich ist. Der Verschluss einer Kreuzung von Sätzen ist immer eine Teilmenge (aber braucht nicht gleich zu sein) die Kreuzung der Verschlüsse der Sätze. In einer Vereinigung von begrenzt vielen Sätzen ist der Verschluss der Vereinigung und der Vereinigung der Verschlüsse gleich; die Vereinigung von Nullsätzen ist der leere Satz, und so enthält diese Behauptung die frühere Behauptung über den Verschluss des leeren Satzes als ein spezieller Fall. Der Verschluss der Vereinigung von ungeheuer vielen Sätzen braucht der Vereinigung der Verschlüsse nicht gleichzukommen, aber es ist immer eine Obermenge der Vereinigung der Verschlüsse.

Wenn ein Subraum ist zu enthalten, dann ist der Verschluss von geschätzten darin der Kreuzung und dem Verschluss von geschätzten gleich in:. Insbesondere ist darin dicht, wenn, und nur wenn eine Teilmenge dessen ist.

Kategorische Interpretation

Man kann den Verschluss-Maschinenbediener in Bezug auf universale Pfeile wie folgt elegant definieren.

Der powerset eines Satzes X kann als eine teilweise Ordnungskategorie P begriffen werden, in dem die Gegenstände Teilmengen sind und die morphisms Einschließungen sind, wann auch immer A eine Teilmenge von B ist. Außerdem ist eine Topologie T auf X eine Unterkategorie von P mit der Einschließung functor. Der Satz von geschlossenen Teilmengen, die eine feste Teilmenge enthalten, kann mit der Komma-Kategorie identifiziert werden. Diese Kategorie - auch eine teilweise Ordnung - hat dann Initiale-Gegenstand-Kl. (A). So gibt es einen universalen Pfeil von bis mich, gegeben durch die Einschließung.

Ähnlich seit jedem geschlossenen Satz, der X \enthält, entspricht A einem offenen in uns enthaltenen Satz kann die Kategorie als der Satz von offenen Teilmengen interpretieren, die in A, mit dem Endgegenstand, dem Interieur von A enthalten sind.

Alle Eigenschaften des Verschlusses können aus dieser Definition und einigen Eigenschaften der obengenannten Kategorien abgeleitet werden. Außerdem macht diese Definition genau die Analogie zwischen dem topologischen Verschluss und den anderen Typen von Verschlüssen (zum Beispiel algebraisch), da alle Beispiele von universalen Pfeilen sind.

Siehe auch

• Verschluss-Algebra