Sexagesimal (stützen 60), ist ein Ziffer-System mit sechzig als seine Basis. Es ist mit den alten Sumerern im 3. Millennium v. Chr. entstanden, es wurde an den alten Babyloniern überliefert, und es wird noch — in einer modifizierten Form verwendet — um Zeit, Winkel und geografische Koordinaten zu messen.

Die Nummer 60, eine hoch zerlegbare Zahl, hat zwölf Faktoren, nämlich}, von denen zwei, drei, und fünf Primzahlen sind. Mit so vielen Faktoren werden viele Bruchteile, die sexagesimal Zahlen einschließen, vereinfacht. Zum Beispiel kann eine Stunde gleichmäßig in Abteilungen von 30 Minuten, 20 Minuten, 15 Minuten, 12 Minuten, 10 Minuten, sechs Minuten, fünf Minuten usw. geteilt werden. Sechzig ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl von ein bis sechs gleichmäßig teilbar ist; d. h. es ist das niedrigste Gemeinsame Vielfache 1, 2, 3, 4, 5, und 6.

In diesem Artikel werden alle sexagesimal Ziffern als Dezimalzahlen vertreten, außer, wo sonst bemerkt. [Zum Beispiel, 10 Mittel zehn und 60 Mittel sechzig.]

Ursprung

Es ist für Leute möglich, auf ihren Fingern bis das 12 Verwenden einer Hand nur mit dem Daumen zu zählen, der zu jedem Finger-Knochen auf den vier Fingern der Reihe nach hinweist. Ein traditionelles zählendes System noch im Gebrauch in vielen Gebieten von Arbeiten von Asien auf diese Weise, und konnte helfen, das Ereignis von Ziffer-Systemen zu erklären, die auf 12 und 60 außer denjenigen gestützt sind, die auf 10, 20 und 5 gestützt sind. In diesem System das ein (gewöhnlich Recht) zählt Hand wiederholt bis 12, die Zahl von Wiederholungen auf dem anderen (gewöhnlich verlassen) zeigend, bis fünf Dutzende, d. h. die 60, voll sind.

Gemäß Neugebauer waren die Ursprünge des sechzig-Zählungen-durch eine Zählung von drei zwanziger Jahren. Der Vorgänger zum späteren sechs war zehn Wechsel durch Symbole für die Sechstel, (d. h. 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6), verbunden mit Dezimalzahlen, führen Sie zu derselben sechzig Zählung, und auch zum Abteilungssystem, wegen dessen die Sumerer berühmt waren. Im normalen Gebrauch waren Zahlen eine willkürliche Sammlung von Einheiten, Zehnen, sechziger Jahre und Hunderte. Eine Zahl wie 192, würde gleichförmig in den Tischen als 3A2 ausgedrückt (Als das Symbol für '10', würde im Umgebungstext, als XIxii d. h., Hundert (große 10), sechzig (großer 1), zehn (wenig 10), zwei (wenig 1's) gegeben werden.

Gebrauch

Babylonische Mathematik

Das sexagesimal System, wie verwendet, in altem Mesopotamia war nicht eine reine Basis 60 System im Sinn, dass es 60 verschiedene Symbole für seine Ziffern nicht verwendet hat. Statt dessen haben die keilförmigen Ziffern zehn als eine Subbasis nach der Mode einer Notation des Zeichen-Werts verwendet: Eine sexagesimal Ziffer wurde aus einer Gruppe von schmalen, keilförmigen Zeichen zusammengesetzt, die Einheiten bis zu neun (Y, YY, YYY, YYYY... YYYYYYYYY) und einer Gruppe von breiten, keilförmigen Zeichen vertreten, die bis zu fünf Zehnen vertreten (= 12,960,000 und seine Teiler. Diese Zahl hat die besonders einfache sexagesimal Darstellung 1:0:0:0:0. Spätere Gelehrte haben sowohl babylonische Mathematik als auch Musik-Theorie in einem Versuch angerufen, diesen Durchgang zu erklären.

Basis 60 Zahl-Systeme sind auch in einigen anderen Kulturen verwendet worden, die zu den Sumerern, weil durch das Beispiel die Leute von Ekagi des Westlichen Neuen Guineas ohne Beziehung sind.

Moderner Gebrauch

Verschieden von den meisten anderen Ziffer-Systemen wird sexagesimal soviel in modernen Zeiten nicht verwendet wie ein Mittel für die allgemeine Berechnung, oder in der Logik, aber eher es wird im Messen von Winkeln, geografischen Koordinaten, und Zeit verwendet.

Eine Stunde der Zeit wird in 60 Minuten geteilt, und eine Minute wird in 60 Sekunden geteilt. So kann ein Maß der Zeit wie "3:23:17 Uhr" (drei Stunden, 23 Minuten und 17 Sekunden) als eine sexagesimal Zahl interpretiert werden, 3×60 + 23×60 + 17×60 bedeutend. Als mit dem alten babylonischen sexagesimal System, jedoch, wird jede der drei sexagesimal Ziffern in dieser Zahl (3, 23, und 17) mit dem dezimalen System geschrieben.

Ähnlich ist die praktische Einheit des winkeligen Maßes der Grad, von dem es 360 in einem Kreis gibt. Es gibt 60 Minuten des Kreisbogens in einem Grad und 60 arcseconds in einer Minute.

In einigen Gebrauch-Systemen wurde jede Position vorbei am Sexagesimal-Punkt mit lateinischen oder französischen Wurzeln numeriert: erst oder primus, seconde oder secundus, tierce, quatre, quinte, usw. Bis jetzt nennen wir den Teil der zweiten Ordnung einer Stunde oder eines Grads pro "Sekunde". Bis mindestens das 18. Jahrhundert, 1/60 einer Sekunde einen "tierce" oder "Drittel" genannt wurde.

Bruchteile

Im sexagesimal System kann jeder Bruchteil, in dem der Nenner eine regelmäßige Zahl ist (nur 2, 3, und 5 in seinem ersten factorization habend), genau ausgedrückt werden. Der Tisch zeigt unten die sexagesimal Darstellung aller Bruchteile dieses Typs, in dem der Nenner weniger als 60 ist. Die Sexagesimal-Werte in diesem Tisch können als das Geben der Zahl von Minuten und Sekunden in einem gegebenen Bruchteil einer Stunde interpretiert werden; zum Beispiel, 1/9 einer Stunde ist 6 Minuten und 40 Sekunden. Jedoch hängt die Darstellung dieser Bruchteile als sexagesimal Zahlen von solch einer Interpretation nicht ab.

Jedoch Zahlen, die nicht regelmäßige Form mehr komplizierte sich wiederholende Bruchteile sind. Zum Beispiel:

:1/7 =0:8:34:17:8:34:17... (Mit der Folge von sexagesimal Ziffer-8:34:17 Uhr, sich ungeheuer häufig wiederholend).

Die Tatsache in der Arithmetik dass die zwei Zahlen, die neben 60, nämlich 59 und 61 sind, ist beide Primzahlen deutet an, dass einfache sich wiederholende Bruchteile, die sich mit einer Periode von einer oder zwei sexagesimal Ziffern wiederholen, nur 59 oder 61 als ihre Nenner haben können, und dass andere nichtregelmäßige Blüte Bruchteile hat, die sich mit einer längeren Periode wiederholen.

Beispiele

Der Quadratwurzel 2, der Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats, wurde von den Babyloniern der Alten babylonischen Periode (1900 v. Chr. - 1650 v. Chr.) als näher gekommen

Weil eine irrationale Zahl ist, kann sie nicht genau in sexagesimal Zahlen ausgedrückt werden, aber seine sexagesimal Vergrößerung beginnt wirklich 1: 24: 51: 10: 7: 46: 6: 4: 44...

Die Länge des tropischen Jahres in der neo babylonischen Astronomie (sieh Hipparchus), 365.24579... Tage, kann in sexagesimal als 6:5:14:44:51 (6×60 ＋ 5 + 14/60 + 44/60 + 51/60) Tage ausgedrückt werden. Die durchschnittliche Länge eines Jahres im Gregorianischen Kalender ist genau 6: 5: 14: 33 in derselben Notation, weil die Werte 14 und 33 die ersten zwei Werte für das tropische Jahr von den Tischen von Alfonsine waren, die in der sexagesimal Notation waren.

Der Wert von π, wie verwendet, durch den griechischen Mathematiker und Wissenschaftler Claudius Ptolemaeus (Ptolemy) war 3.141666...  377/120 = 3:8:30 = 3 + 8/60 + 30/60. Jamshīd al-Kāshī, ein persischer Mathematiker des 15. Jahrhunderts, hat π in sexagesimal Zahlen zu einer Genauigkeit von neun sexagesimal Ziffern berechnet.

Siehe auch

• Breite
• Trigonometrie

Das zusätzliche Lesen