In der Mathematik, wenn L eine Felderweiterung von K ist, dann wird ein Element L ein algebraisches Element über K, oder gerade algebraisch über K genannt, wenn dort ein Nichtnullpolynom g (x) mit Koeffizienten in solchem K dass g (a) =0 besteht. Elemente von L, die über K nicht algebraisch sind, werden transzendental über K genannt.

Diese Begriffe verallgemeinern die algebraischen Zahlen und die transzendenten Zahlen (wo die Felderweiterung C/Q, C ist das Feld von komplexen Zahlen und Q zu sein, das Feld von rationalen Zahlen zu sein).

Beispiele

• Die Quadratwurzel 2 ist über Q algebraisch, da es die Wurzel des Polynoms g (x) = x - 2 ist, dessen Koeffizienten vernünftig sind.
• Pi ist über Q transzendental, aber über das Feld von reellen Zahlen R algebraisch: Es ist die Wurzel von g (x) = x - π, dessen Koeffizienten (1 und-π) beide, aber nicht jedes Polynoms mit nur vernünftigen Koeffizienten echt sind. (Die Definition des Begriffes transzendente Zahl verwendet C/Q, nicht C/R.)

Eigenschaften

Die folgenden Bedingungen sind für ein Element von L gleichwertig:

• algebraisch über K zu sein
• die Felderweiterung K (a)/K hat begrenzten Grad, d. h. die Dimension von K (a), weil ein K-Vektorraum begrenzt ist. (Hier K zeigt (a) das kleinste Teilfeld von L an, der K und enthält)
• K = K (a), wo K des Satzes aller Elemente von L zu sein, der in der Form g (a) mit einem Polynom g geschrieben werden kann, dessen Koeffizienten in K liegen.

Diese Charakterisierung kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Summe, der Unterschied, das Produkt und der Quotient von algebraischen Elementen über K wieder über K algebraisch sind. Der Satz aller Elemente von L, die über K algebraisch sind, ist ein Feld, das Zwischenhändler L und K sitzt.

Wenn algebraisch über K zu sein, dann gibt es viele Nichtnullpolynome g (x) mit Koeffizienten in solchem K dass g (a) = 0. Jedoch gibt es ein einzelnes mit dem kleinsten Grad und mit dem Hauptkoeffizienten 1. Das ist das minimale Polynom von a, und es verschlüsselt viele wichtige Eigenschaften von a.

Felder, die keine algebraischen Elemente über sie erlauben (außer ihren eigenen Elementen) werden algebraisch geschlossen genannt. Das Feld von komplexen Zahlen ist ein Beispiel.