In der Mathematik sind formelle Macht-Reihen eine Generalisation von Polynomen als formelle Gegenstände, wo der Zahl von Begriffen erlaubt wird, unendlich zu sein; das bedeutet, die Möglichkeit aufzugeben, gegen willkürliche Werte indeterminates auszuwechseln. Diese Perspektive hebt sich von dieser von Macht-Reihen ab, deren Variablen numerische Werte benennen, und welche Reihen deshalb nur einen bestimmten Wert haben, wenn Konvergenz gegründet werden kann. Formelle Macht-Reihen werden häufig bloß verwendet, um die ganze Sammlung ihrer Koeffizienten zu vertreten. In combinatorics stellen sie Darstellungen von numerischen Folgen und Mehrsätze zur Verfügung, und erlauben zum Beispiel, kurze Ausdrücke für rekursiv definierte Folgen unabhängig davon zu geben, ob der recursion ausführlich gelöst werden kann; das ist als die Methode bekannt, Funktionen zu erzeugen.

Einführung

Von einer formellen Macht-Reihe kann als ein Gegenstand lose gedacht werden, der einem Polynom, aber mit ungeheuer vielen Begriffen ähnlich ist. Wechselweise, für diejenigen, die mit der Macht-Reihe (oder Reihe von Taylor) vertraut sind, kann man an eine formelle Macht-Reihe als eine Macht-Reihe denken, in der wir Fragen der Konvergenz ignorieren, indem wir nicht annehmen, dass die Variable X jeden numerischen Wert (nicht sogar ein unbekannter Wert) anzeigt. Denken Sie zum Beispiel die Reihe

:

Wenn wir das als eine Macht-Reihe studieren würden, würden seine Eigenschaften zum Beispiel einschließen, dieser sein Radius der Konvergenz ist 1. Jedoch, als eine formelle Macht-Reihe können wir das völlig ignorieren; alles, was wichtig ist, ist die Folge von Koeffizienten [1, −3, 5, −7, 9, −11...]. Mit anderen Worten ist eine formelle Macht-Reihe ein Gegenstand, der gerade eine Folge von Koeffizienten registriert. Es ist vollkommen annehmbar, eine formelle Macht-Reihe mit dem factorials [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …] als Koeffizienten zu denken, wenn auch die entsprechende Macht-Reihe für jeden Nichtnullwert von X abweicht.

Die Arithmetik auf der formellen Macht-Reihe wird durch das einfache Vorgeben ausgeführt, dass die Reihen Polynome sind. Zum Beispiel, wenn

:

dann fügen wir A- und B-Begriff durch den Begriff hinzu:

:

Wir können formelle Macht-Reihe wieder gerade multiplizieren, indem wir sie als Polynome behandeln (sieh im besonderen Produkt von Cauchy):

:

Bemerken Sie, dass jeder Koeffizient im Produkt AB nur von einer begrenzten Zahl von Koeffizienten von A und B abhängt. Zum Beispiel wird der X Begriff durch gegeben

:

Deshalb kann man formelle Macht-Reihe multiplizieren, ohne sich über die üblichen Fragen der absoluten, bedingten und gleichförmigen Konvergenz zu sorgen, die im Umgang mit der Macht-Reihe in der Einstellung der Analyse entstehen.

Sobald wir Multiplikation für die formelle Macht-Reihe definiert haben, können wir multiplicative Gegenteile wie folgt definieren. Das multiplicative Gegenteil einer formellen Macht-Reihe A ist eine formelle Macht-Reihe C solch, dass AC = 1, vorausgesetzt, dass solch eine formelle Macht-Reihe besteht. Es stellt sich heraus, dass, wenn A ein multiplicative Gegenteil hat, es einzigartig ist, und wir es durch A anzeigen. Jetzt können wir Abteilung der formellen Macht-Reihe definieren, indem wir B / definieren, um das Produkt B A zu sein, vorausgesetzt, dass das Gegenteil von A besteht. Zum Beispiel kann man die Definition der Multiplikation oben verwenden, um die vertraute Formel nachzuprüfen

:

Eine wichtige Operation auf der formellen Macht-Reihe ist mitwirkende Förderung. In seiner grundlegendsten Form, dem mitwirkenden Förderungsmaschinenbediener für eine formelle Macht-Reihe in variablen Extrakten der Koeffizient X, und wird z.B [X] A, so dass [X] = 5 und [X] = −11 geschrieben. Andere Beispiele schließen ein

:und:

\text {und }\

[X^n] \frac {X} {(1-x) ^2} = n. </math>

Ähnlich können viele andere Operationen, die auf Polynomen ausgeführt werden, zur formellen Macht-Reihe-Einstellung, wie erklärt, unten erweitert werden.

Der Ring der formellen Macht-Reihe

Der Satz der ganzen formellen Macht-Reihe in X mit Koeffizienten in einem Ersatzring R bildet einen anderen Ring, der R geschrieben wird

Definition des formellen Macht-Reihe-Rings

Man kann R charakterisieren

Es ist möglich, R zu beschreiben

Ringstruktur

Als ein Satz, R

:

(a_n) _ {n\in\N} + (b_n) _ {n\in\N} = \left (a_n + b_n \right) _ {n\in\N }\

</Mathematik>

und Multiplikation durch

:

(a_n) _ {n\in\N} \times (b_n) _ {n\in\N} =

\left (\sum_ {k=0} ^n a_k b_ {n-k} \right) _ {n\in\N}.

</Mathematik>

Dieser Typ des Produktes wird das Produkt von Cauchy der zwei Folgen von Koeffizienten genannt, und ist eine Art getrennte Gehirnwindung. Mit diesen Operationen wird R ein Ersatzring mit dem Nullelement (0, 0, 0...) und multiplicative Identität (1, 0, 0...).

Das Produkt ist tatsächlich dasselbe ein hat gepflegt, das Produkt von Polynomen in einem unbestimmtem zu definieren, der andeutet, eine ähnliche Notation zu verwenden. Man bettet R in R ein

:

(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n = \sum_ {i=0} ^n a_i X^i;

</Mathematik>

das sind genau die Polynome in X. In Anbetracht dessen ist es ziemlich natürlich und günstig, eine allgemeine Folge durch durch den formellen Ausdruck zu benennen, wenn auch der Letztere nicht ein Ausdruck ist, der durch die Operationen der Hinzufügung und Multiplikation gebildet ist, die oben definiert ist (von dem nur begrenzte Summen gebaut werden können). Diese notational Tagung erlaubt neuer Darlegung die obengenannten Definitionen als

:

\left (\sum_ {i\in\N} a_i X^i\right) + \left (\sum_ {i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_ {i\in\N} (a_i+b_i) X^i

</Mathematik>und:

\left (\sum_ {i\in\N} a_i X^i\right) \times \left (\sum_ {i\in\N} b_i X^i\right) =

\sum_ {n\in\N} \left (\sum_ {k=0} ^n a_k b_ {n-k }\\Recht) X^n.

</Mathematik>

der ziemlich günstig ist, aber man muss der Unterscheidung zwischen formeller Summierung (eine bloße Tagung) und wirklicher Hinzufügung bewusst sein.

Topologische Struktur

Als eine Tagung das verfügt

:

(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_ {i=0} ^\\infty a_i X^i, \qquad (1)

</Mathematik>

man würde auch gern eine Bedeutung der rechten Seite als eine unendliche Summierung geben. Dafür braucht man einen Begriff der Konvergenz in R, mit anderen Worten muss man eine Topologie auf R einführen. Es gibt mehrere gleichwertige Weisen, die passende Topologie zu definieren.

• Wir können R die Produkttopologie geben, wo jede Kopie von R die getrennte Topologie gegeben wird.
• Wir können R die I-adic Topologie geben, wo ich = (X) das Ideal bin, das durch X erzeugt ist, der aus allen Folgen besteht, deren zuerst nennen, ist Null.
• Für diejenigen, die nicht mit der allgemeinen Topologie bekannt gemacht sind, kann die gewünschte Topologie auch aus dem folgenden metrischen (oder "Entfernungsfunktion") abgeleitet werden. Die Entfernung zwischen verschiedenen Folgen (a) und (b) in R, wird definiert, um zu sein

::

:where k ist die kleinste solche natürliche Zahl dass &ne; b; die Entfernung zwischen zwei gleichen Folgen ist natürlich Null.

Informell werden zwei Folgen (a) und (b) näher und näher, wenn, und nur wenn immer mehr ihrer Begriffe genau zustimmen. Formell läuft die Folge von teilweisen Summen von etwas unendlicher Summierung zusammen, wenn für jede feste Macht X sich der Koeffizient stabilisiert: Es gibt einen Punkt, außer dem alle weiteren teilweisen Summen denselben Koeffizienten haben. Das ist klar der Fall für die rechte Seite (1), unabhängig von den Werten a da ändert sich die Einschließung des Begriffes, weil ich = n das letzte gebe (und tatsächlich nur) zum Koeffizienten X. Es ist auch offensichtlich, dass die Grenze der Folge von teilweisen Summen der linken Seite gleich ist.

Diese topologische Struktur, zusammen mit den Ringoperationen, die oben beschrieben sind, bildet einen topologischen Ring. Das wird den Ring der formellen Macht-Reihe über R genannt und wird durch R angezeigt

Die topologische Struktur erlaubt viel flexibleren Gebrauch von unendlichen Summierungen. Zum Beispiel kann die Regel für die Multiplikation einfach als neu formuliert werden

:\left (\sum_ {i\in\N} a_i X^i\right) \times \left (\sum_ {i\in\N} b_i X^i\right) =

\sum_ {ich, j\in\N} a_i b_j X^ {i+j},

</Mathematik>

da nur begrenzt viele Begriffe rechts betreffen, hat irgendwelcher X befestigt. Unendliche Produkte werden auch durch die topologische Struktur definiert; es kann gesehen werden, dass ein unendliches Produkt zusammenläuft, wenn, und nur wenn die Folge seiner Faktoren zu 1 zusammenläuft.

Alternative Topologien

Die obengenannte Topologie ist die feinste Topologie, für die immer als eine Summierung zur formellen Macht-Reihe zusammenläuft, die durch denselben Ausdruck benannt ist, und es häufig genügt, um eine Bedeutung unendlichen Summen und Produkten oder anderen Arten von Grenzen zu geben, die man verwenden möchte, um besondere formelle Macht-Reihe zu benennen. Es kann jedoch gelegentlich geschehen, dass man eine rauere Topologie verwenden möchte, so dass bestimmte Ausdrücke konvergent werden, der sonst abweichen würde. Das gilt insbesondere, wenn der Grundring R bereits mit einer Topologie außer der getrennten zum Beispiel kommt, wenn es auch ein Ring der formellen Macht-Reihe ist.

Denken Sie den Ring der formellen Macht-Reihe

:

dann bezieht sich die Topologie des obengenannten Aufbaus nur auf den unbestimmten Y, seitdem die Topologie, die angezogen wurde, durch die getrennte Topologie ersetzt worden ist, wenn man die Topologie des ganzen Rings definiert. So

:

läuft zur angedeuteten Macht-Reihe zusammen, der als geschrieben werden kann; jedoch die Summierung

:

würde betrachtet, auseinander gehend zu sein, da jeder Begriff den Koeffizienten von Y betrifft (welcher Koeffizient selbst eine Macht-Reihe in X ist). Diese Asymmetrie verschwindet, wenn der Macht-Reihe-Ring in Y die Produkttopologie gegeben wird, wo jede Kopie dessen seine Topologie als ein Ring der formellen Macht-Reihe aber nicht die getrennte Topologie gegeben wird. Demzufolge, für die Konvergenz einer Folge von Elementen davon genügt dann, dass der Koeffizient jeder Macht von Y zu einer formellen Macht-Reihe in X, eine schwächere Bedingung dieses Stabilisieren völlig zusammenläuft; zum Beispiel im zweiten Beispiel angeführt hier läuft der Koeffizient von Y dazu zusammen, so läuft die ganze Summierung dazu zusammen.

Diese Weise, die Topologie zu definieren, ist tatsächlich die normale für wiederholte Aufbauten von Ringen der formellen Macht-Reihe, und gibt dieselbe Topologie, wie man Einnahme formeller Macht-Reihe im ganzen inderteminates sofort vorbeigehen würde. Im obengenannten Beispiel, das bedeuten würde, und hier zu bauen, läuft eine Folge zusammen, wenn, und nur wenn der Koeffizient jedes Monoms sich XY stabilisiert. Diese Topologie, die auch die I-adic Topologie ist, wo ich = (X, Y) das Ideal bin, das durch X und Y erzeugt ist, genießt noch das Eigentum, dass eine Summierung zusammenläuft, wenn, und nur wenn seine Begriffe zu 0 neigen.

Derselbe Grundsatz konnte verwendet werden, um andere auseinander gehende Grenzen zusammenlaufen zu lassen. Zum Beispiel in der Grenze

:

besteht nicht, also insbesondere läuft es dazu nicht zusammen. Das ist, weil für i2 sich der Koeffizient von Xdoes nicht stabilisiert, als n zur Unendlichkeit geht. Es läuft wirklich jedoch in der üblichen Topologie von R, und tatsächlich zum Koeffizienten von exp (X) zusammen. Deshalb, wenn man die Produkttopologie von R geben würde, wo die Topologie von R die übliche Topologie aber nicht die getrennte ist, dann würde die obengenannte Grenze zu exp (X) zusammenlaufen. Diese mehr permissive Annäherung ist nicht jedoch der Standard, wenn sie formelle Macht-Reihe denkt, weil es zu Konvergenz-Rücksichten führen würde, die so fein sind, wie sie in der Analyse sind, während die Philosophie der formellen Macht-Reihe Konvergenz-Fragen so trivial im Gegenteil machen soll, wie sie vielleicht sein können. Mit dieser Topologie würde es nicht der Fall sein, dass eine Summierung zusammenläuft, wenn, und nur wenn seine Begriffe zu 0 neigen.

Universales Eigentum

Der Ring R

• Φ ist ein R-Algebra-Homomorphismus
• Φ ist dauernder
• Φ (X) = x.

Operationen auf der formellen Macht-Reihe

Man kann algebraische Operationen auf der Macht-Reihe durchführen, um neue Macht-Reihe zu erzeugen.

Das Multiplizieren der Reihe

Das Produkt von zwei Reihen wird durch gegeben

:

wo

:

Die Folge ist das Produkt von Cauchy der Folgen und.

Zu Mächten erhobene Macht-Reihe

Wenn n eine natürliche Zahl ist, haben wir

:

wo

:

dafür. (Diese Formel kann nur verwendet werden, wenn und invertible im Ring von Skalaren sind.)

Im Fall von der formellen Macht-Reihe mit komplizierten Koeffizienten werden die komplizierten Mächte mindestens für die Reihe mit dem unveränderlichen Begriff gut definiert, der dem gleich ist. In diesem Fall, kann entweder durch die Zusammensetzung mit der binomischen Reihe, oder durch die Zusammensetzung mit dem Exponential- und der logarithmischen Reihe, oder als die Lösung der Differenzialgleichung mit dem unveränderlichen Begriff, die drei Definitionen definiert werden, die gleichwertig sind. Die Regeln der Rechnung und folgen leicht.

Das Umkehren der Reihe

Die Reihe

:

in R

Diese Bedingung ist aus dem folgenden Grund notwendig: Wenn wir annehmen, dass A ein Gegenteil dann hat, ist der unveränderliche Begriff dessen der unveränderliche Begriff der Identitätsreihe, d. h. es ist 1. Diese Bedingung ist auch genügend; wir können die Koeffizienten der umgekehrten Reihe B über die ausführliche rekursive Formel schätzen

:

b_n &=-\frac {1} {a_0} \sum_ {i=1} ^n a_i b_ {n-i }\\qquad \text {für} n \ge 1.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Ein wichtiger spezieller Fall ist, dass die geometrische Reihe-Formel in R gültig

ist:

\left (1 - X \right) ^ {-1} = \sum_ {n \ge 0} X^n.

</Mathematik>

Wenn R=K ein Feld ist, dann ist eine Reihe invertible, wenn, und nur wenn der unveränderliche Begriff Nichtnull ist, d. h., wenn, und nur wenn die Reihe durch X nicht teilbar ist. Das sagt, dass das ein getrennter Schätzungsring mit dem uniformizing Parameter X ist.

Das Teilen der Reihe

Die Berechnung eines Quotienten f/g = h

:

das Annehmen des Nenners ist invertible (d. h. ist invertible im Ring von Skalaren), kann als ein Produkt f und das Gegenteil von g oder direkt die Gleichstellung der Koeffizienten in f = gh durchgeführt werden:

:

Das Extrahieren von Koeffizienten

Der mitwirkende Förderungsmaschinenbediener hat sich für eine formelle Macht-Reihe gewandt

:

darin wird geschrieben

:

und Extrakte der Koeffizient, so dass

:

Zusammensetzung der Reihe

In Anbetracht der formellen Macht-Reihe

:und:

man kann die Zusammensetzung bilden

:

wo die Koeffizienten c "die Erweiterung" der Mächte von f (X) bestimmt werden:

:

Hier wird die Summe über alle (k, j) mit und mit erweitert

Eine ausführlichere Beschreibung dieser Koeffizienten wird durch die Formel von Faà di Bruno mindestens im Fall zur Verfügung gestellt, wo der mitwirkende Ring ein Feld der Eigenschaft 0 ist.

Ein Punkt hier ist, dass diese Operation nur gültig ist, wenn f (X) keinen unveränderlichen Begriff hat, so dass die Reihe für g (f (X)) in der Topologie von R zusammenläuft

Beispiel

Nehmen Sie an, dass der Ring R Eigenschaft 0 hat. Wenn wir durch exp (X) die formelle Macht-Reihe anzeigen

:

dann der Ausdruck

:

hat vollkommenen Sinn als eine formelle Macht-Reihe. Jedoch, die Behauptung

:

ist nicht eine gültige Anwendung der Zusammensetzungsoperation wegen der formellen Macht-Reihe. Eher ist es die Begriffe der Konvergenz in R verwirrend

Zusammensetzungsgegenteil

Jede formelle Reihe damit hat ein zur Verfügung gestelltes Zusammensetzungsgegenteil ist ein invertible Element von R. Die Koeffizienten werden rekursiv von der obengenannten Formel für die Koeffizienten einer Zusammensetzung gefunden, sie mit denjenigen der Zusammensetzungsidentität X ausgleichend (der 1 am Grad 1 und 0 an jedem Grad ist, der größer ist als 1). Im Fall, wenn der mitwirkende Ring ein Feld der Eigenschaft 0 ist, stellt die Inversionsformel von Lagrange ein starkes Werkzeug zur Verfügung, um die Koeffizienten von g, sowie die Koeffizienten der (multiplicative) Mächte von g zu schätzen.

Formelle Unterscheidung der Reihe

In Anbetracht einer formellen Macht-Reihe

:in R:

Df = \sum_ {n \geq 1} a_n n X^ {n-1}.

</Mathematik>

Das Symbol D wird den formellen Unterscheidungsmaschinenbediener genannt. Die Motivation hinter dieser Definition ist, dass sie einfach Begriff-für-Begriff-Unterscheidung eines Polynoms nachahmt.

Diese Operation ist R-linear:

:

D (Niederfrequenz + bg) = \cdot Df + b \cdot Dg

</Mathematik>

für jeden a, b in R und jedem f, g in R

:

D (fg) = f \cdot (Dg) + (Df) \cdot g,

</Mathematik>

und die Kette herrscht über Arbeiten ebenso:

:

D (f\circ g) = \left (Df\circ g\right) \cdot Dg,

</Mathematik>

wann auch immer die passenden Zusammensetzungen der Reihe definiert werden (sieh oben unter der Zusammensetzung der Reihe).

So in dieser Hinsicht benehmen sich formelle Macht-Reihen wie Reihe von Taylor. Tatsächlich, für den f, der oben definiert ist, finden wir das

:

(D^k f) (0) = k! a_k,

</Mathematik>

wo D die kth formelle Ableitung (d. h. das Ergebnis anzeigt, formell k Zeiten zu unterscheiden).

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften des formellen Macht-Reihe-Rings

R

Der von R radikale Jacobson

Die maximalen Ideale von R

Mehrere algebraische Eigenschaften von R werden durch R geerbt

• wenn R ein lokaler Ring ist, dann so ist R
• wenn R Noetherian ist, dann so ist R
• wenn R ein integriertes Gebiet ist, dann so ist R
• wenn R = K ein Feld, dann K ist

Topologische Eigenschaften des formellen Macht-Reihe-Rings

Der metrische Raum (R

Der Ring R

Anwendungen

Formelle Macht-Reihe kann verwendet werden, um Wiederauftreten zu lösen, die in der Zahlentheorie und combinatorics vorkommen. Für ein Beispiel-Beteiligen, das einen geschlossenen Form-Ausdruck für die Fibonacci-Zahlen findet, sieh den Artikel über Beispiele, Funktionen zu erzeugen.

Man kann formelle Macht-Reihe verwenden, um mehrere Beziehungen zu beweisen, die von der Analyse in einer rein algebraischen Einstellung vertraut sind. Denken Sie zum Beispiel die folgenden Elemente von Q

:

\sin (X): = \sum_ {n \ge 0} \frac {(-1) ^n} {(2n+1)!} X^ {2n+1 }\

</Mathematik>:

\cos (X): = \sum_ {n \ge 0} \frac {(-1) ^n} {(2n)!} X^ {2n }\

</Mathematik>

Dann kann man dem zeigen

:

\sin^2 (X) + \cos^2 (X) = 1 \,

</Mathematik>und:

\frac {\\teilweise} {\\teilweise X\\sin (X) = \cos (X)

</Mathematik>

sowie

:

\sin (X+Y) = \sin (X) \cos (Y) + \cos (X) \sin (Y) \,

</Mathematik>

(das letzte Wesen, das im Ring Q gültig

ist

In der Algebra, der Ring K

Die Interpretation formeller Macht-Reihe als Funktionen

In der mathematischen Analyse definiert jede konvergente Macht-Reihe eine Funktion mit Werten in den reellen Zahlen oder komplexen Zahlen. Formelle Macht-Reihe kann auch als Funktionen interpretiert werden, aber man muss mit dem Gebiet und codomain sorgfältig sein. Wenn f = a X ein Element von R ist

:

f (X) = \sum_ {n\ge 0} a_n X^n.

</Mathematik>Wie man

versichert, läuft diese letzte Reihe in S gegeben die obengenannten Annahmen auf X zusammen. Außerdem haben wir

:und:

Unterschiedlich im Fall von ehrlichen Funktionen sind diese Formeln nicht Definitionen, aber müssen bewiesen werden.

Seit der Topologie auf R

Mit diesem Formalismus können wir eine ausführliche Formel für das multiplicative Gegenteil einer Macht-Reihe f geben, dessen unveränderlicher Koeffizient = f (0) invertible in R ist:

:

f^ {-1} = \sum_ {n \ge 0} a^ {-n-1} (a-f) ^n.

</Mathematik>

Wenn die formelle Macht-Reihe g mit g (0) = 0 implizit durch die Gleichung gegeben wird

:

f (g) = X \,

</Mathematik>

wo f eine bekannte Macht-Reihe mit f (0) = 0 ist, dann können die Koeffizienten von g mit der Inversionsformel von Lagrange ausführlich geschätzt werden.

Generalisationen

Formelle Reihe von Laurent

Eine formelle Reihe von Laurent über einen Ring R wird auf eine ähnliche Weise zu einer formellen Macht-Reihe definiert, außer dass wir auch begrenzt viele Begriffe des negativen Grads erlauben (das ist von der klassischen Reihe von Laurent verschieden), der Reihe der Form ist

:

f = \sum_ {n\in\Z} a_n X^n

</Mathematik>

wo für alle außer begrenzt vielen negativen Indizes n. Die Multiplikation solcher Reihe kann definiert werden. Tatsächlich, ähnlich zur Definition für die formelle Macht-Reihe, den Koeffizienten zwei Reihen mit jeweiligen Folgen von Koeffizienten und ist

:

welche Summe wegen des angenommenen Verschwindens von Koeffizienten an genug negativen Indizes effektiv begrenzt ist, und die Null für genug negativen k aus demselben Grund summieren.

Für eine formelle Nichtnullreihe von Laurent hat die minimale ganze Zahl n solch, dass a0 die Ordnung von f genannt wird, ord (f) angezeigt. (Die Ordnung der Nullreihe ist + .) Die formellen Reihen von Laurent bilden den Ring der formellen Reihe von Laurent über R, der durch R (X) angezeigt ist. Es ist der Lokalisierung von R gleich

Wenn R = K ein Feld ist, dann ist K (X) tatsächlich ein Feld, das als das Feld von Bruchteilen des integrierten Gebiets K wechselweise erhalten werden kann

Man kann formelle Unterscheidung für die formelle Reihe von Laurent auf eine natürliche Weise (Begriff-für-Begriff) definieren. Genau ist die formelle Ableitung der formellen Reihe von Laurent f oben

:

Df = \sum_ {n\in\Z} na_n X^ {n-1 }\

</Mathematik>

der wieder ein Element von K (X) ist. Bemerken Sie, dass, wenn f eine nichtunveränderliche formelle Reihe von Laurent ist, und K ein Feld der Eigenschaft 0 ist, dann hat man

:

Jedoch im Allgemeinen ist das nicht der Fall, seitdem der Faktor n für den niedrigsten Ordnungsbegriff 0 in R gleich sein konnte.

Formeller Rückstand

Nehmen Sie an, dass R Feld K der Eigenschaft 0 ist. Dann die Karte

:

ist eine K-Abstammung, die nachprüft

::

Die letzten Shows, dass der Koeffizient X im ƒ von besonderem Interesse ist; es wird formellen Rückstand von ƒ genannt und hat Res (ƒ) angezeigt. Die Karte

:

ist K-linear, und durch die obengenannte Beobachtung hat man eine genaue Folge

:

Einige Regeln der Rechnung. Als eine ziemlich direkte Folge der obengenannten Definition, und der Regeln der formellen Abstammung hat man, für jeden ƒ und g in K (X)

:i.

:ii.

:iii.

:iv.

:v.

Eigentum (i) ist ein Teil der genauen Folge oben. Eigentum (ii) folgt (i) in Bezug auf (den ƒg)' = ƒg' + ƒ 'g. Eigentum (iii): Jeder ƒ kann im Form-ƒ = xg, mit der M = ord (ƒ) und ord (g) = 0 geschrieben werden: dann ƒ '/ƒ = mX + g '/g. Seitdem ord (g) = 0 ist das Element g invertible in K

Die Lagrange Inversionsformel

Wie oben erwähnt hat jede formelle Reihe damit und ein Zusammensetzungsgegenteil. Die folgende Beziehung zwischen den Koeffizienten dessen und hält (""):

:

Insbesondere für n = 1 und der ganze k  1,

:

Da der Beweis der Inversionsformel von Lagrange eine sehr kurze Berechnung ist, lohnt es sich, es hier zu melden. Durch die obengenannten Regeln der Rechnung,

:\begin {richten }\aus

k [X^k] g^n & =k\mathrm {ist Res }\\(g^n X^ {-k-1} \right) abgereist

k\mathrm {Res }\\ist (X^n f^ {-k-1} f \, '\right) abgereist

- \mathrm {Res }\\ist (X^n (F^ {-k}) '\right) \\[6pt] abgereist

& = \mathrm {ist Res }\\(\left (X^n\right)' f^ {-k }\\Recht) abgereist

n\mathrm {Res }\\ist (X^ {n-1} f^ {-k }\\Recht) abgereist

n [X^ {-n}] f^ {-k}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Generalisationen. Man kann bemerken, dass die obengenannte Berechnung einfach in allgemeineren Einstellungen wiederholt werden kann als: Eine Generalisation der Inversionsformel von Lagrange ist bereits das verfügbare Arbeiten in - Module, wo eine komplizierte Hochzahl ist. Demzufolge, wenn f und g als oben, damit sind, können wir die komplizierten Mächte von f/X und g/X verbinden: Genau, wenn und komplexe Nichtnullzahlen mit der negativen Summe der ganzen Zahl, dann sind

:.

Zum Beispiel dieser Weg findet man die Macht-Reihe für komplizierte Mächte der Funktion von Lambert.

Macht-Reihe in mehreren Variablen

Die formelle Macht-Reihe in jeder Zahl von indeterminates (sogar ungeheuer viele) kann definiert werden. Wenn ich ein Index-Satz bin und X der Satz von indeterminates X für iI ist, dann ist ein Monom X jedes begrenzte Produkt von Elementen X (Wiederholungen erlaubt); eine formelle Macht-Reihe in X mit Koeffizienten in einem Ring R wird von irgendwelchem bestimmt, vom Satz von Monomen X zu einem entsprechenden Koeffizienten c kartografisch darstellend und wird angezeigt. Der Satz der ganzen formellen Macht-Reihe wird R angezeigt

:und:

Topologie

Die Topologie auf R

Wie bemerkt, oben klingelt die Topologie auf einer wiederholten formellen Macht-Reihe wie R

Operationen

Alle Operationen, die für die Reihe in einer Variable definiert sind, können zum mehreren Variable-Fall erweitert werden.

• Eine Reihe ist invertible, wenn, und nur wenn sein unveränderlicher Begriff invertible in R ist.
• Die Komposition f (g (X)) zwei Reihen f und g wird definiert, wenn f eine Reihe in einer Single unbestimmt ist, und der unveränderliche Begriff von g Null ist. Für eine Reihe f in mehreren indeterminates kann eine Form "der Zusammensetzung", mit als viele getrennte Reihen im Platz von g ähnlich definiert werden, weil es indeterminates gibt.

Im Fall von der formellen Ableitung gibt es jetzt getrennte Maschinenbediener der partiellen Ableitung, die in Bezug auf jeden der indeterminates differenzieren. Sie alle pendeln mit einander.

Universales Eigentum

Im mehreren Variable-Fall, das universale Eigentum, das R charakterisiert

Φ ist ein R-Algebra-Homomorphismus Φ ist dauernder

• Φ (X) = x weil ich = 1..., r.

Das Ersetzen des Index ist durch eine befohlene abelian Gruppe untergegangen

Nehmen Sie an, dass G eine befohlene abelian Gruppe ist, eine abelian Gruppe mit einer Gesamteinrichtung "bedeutend

für ganzen ich, mit in einem Ersatzring R, wo wir annehmen, dass für jeden Index untergegangen ist, wenn ganzer Null dann ist, ist die Summe Null. Dann R ist ((G)) der Ring der formellen Macht-Reihe auf G; wegen der Bedingung, dass der Indexieren-Satz, das Produkt gut bestellt werden, bestimmt ist, und nehmen wir natürlich an, dass zwei Elemente, die sich durch die Null unterscheiden, dasselbe sind.

Verschiedene Eigenschaften von R wechseln zu R ((G)) über. Wenn R ein Feld ist, dann auch ist R ((G)). Wenn R ein bestelltes Feld ist, können wir R ((G)) bestellen, indem wir jedes Element veranlassen, dasselbe Zeichen wie sein Hauptkoeffizient, definiert als kleinstes Element des Index-Satzes zu haben, den ich zu einem Nichtnullkoeffizienten vereinigt habe. Schließlich, wenn G eine teilbare Gruppe ist und R ein echtes geschlossenes Feld ist, dann ist R ((G)) ein echtes geschlossenes Feld, und wenn R algebraisch geschlossen wird, dann auch ist R ((G)).

Diese Theorie ist wegen Hans Hahns, der auch gezeigt hat, dass man Teilfelder erhält, wenn die Zahl von (nichtnull)-Begriffen durch einen festen unendlichen cardinality begrenzt wird.

Beispiele und verwandte Themen

• Glockenreihen werden verwendet, um die Eigenschaften von multiplicative arithmetischen Funktionen zu studieren

Referenzen

• Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.