Geradlinige Elastizität ist die mathematische Studie dessen, wie feste Gegenstände deformieren und innerlich betont wegen vorgeschriebener ladender Bedingungen werden. Geradlinige Elastizitätsmustermaterialien als Kontinua. Geradlinige Elastizität ist eine Vereinfachung der allgemeineren nichtlinearen Theorie der Elastizität und ist ein Zweig der Kontinuum-Mechanik. Die grundsätzlichen "linearizing" Annahmen der geradlinigen Elastizität sind: unendlich kleine Beanspruchungen oder "kleine" Deformierungen (oder Beanspruchungen) und geradlinige Beziehungen zwischen den Bestandteilen der Betonung und Beanspruchung. Außerdem ist geradlinige Elastizität nur für Betonungsstaaten gültig, die das Tragen nicht erzeugen. Diese Annahmen sind für viele Technikmaterialien und Technikdesigndrehbücher angemessen. Geradlinige Elastizität wird deshalb umfassend in der Strukturanalyse und dem Technikdesign häufig mithilfe von der begrenzten Element-Analyse verwendet.

Mathematische Formulierung

Gleichungen, ein geradliniges elastisches Grenzwertproblem regelnd, basieren auf drei Tensor teilweise Differenzialgleichungen für das Gleichgewicht des geradlinigen Schwungs und der sechs unendlich kleinen Beanspruchungsversetzungsbeziehungen. Die Systeme von Differenzialgleichungen werden durch eine Reihe geradliniger algebraischer bestimmender Beziehungen vollendet.

Direkte Tensor-Form

In der direkten Tensor-Form, die der Wahl des Koordinatensystems unabhängig ist, sind diese Regierungsgleichungen:

• Die Gleichung der Bewegung, die ein Ausdruck des zweiten Gesetzes von Newton ist:

:

• Beanspruchungsversetzungsgleichungen:

:

• Bestimmende Gleichungen. Für elastische Materialien vertritt das Gesetz von Hooke das materielle Verhalten und verbindet die unbekannten Betonungen und Beanspruchungen. Die allgemeine Gleichung für das Gesetz von Hooke ist:

:

\boldsymbol {\\Sigma} = \mathsf {C}:\boldsymbol {\\varepsilon }\

\\! </Mathematik>

wo der Spannungstensor von Cauchy ist, der unendlich kleine Deformationstensor ist, der Versetzungsvektor ist, der Steifkeitstensor der vierten Ordnung ist, die Körperkraft pro Einheitsvolumen ist, die Massendichte ist, der Abschweifungsmaschinenbediener ist, den Anstieg-Maschinenbediener vertritt und ein Umstellen vertritt, die zweite Ableitung in Bezug auf die Zeit vertritt, und das Skalarprodukt von zwei Tensor der zweiten Ordnung ist (die Summierung über wiederholte Indizes wird einbezogen).

Kartesianische Koordinatenform

Ausgedrückt in Bezug auf Bestandteile in Bezug auf ein rechteckiges Kartesianisches Koordinatensystem sind die Regierungsgleichungen der geradlinigen Elastizität:

• Gleichung der Bewegung:

::

:where die Subschrift ist eine Schnellschrift für und: Zeigt an, ist: Spannungstensor von Cauchy, sind die Körperkräfte, ist die Masse: Dichte, und ist die Versetzung.

:These sind 3 unabhängige Gleichungen mit 6 unabhängigen unknowns (Betonungen).

Beanspruchungsversetzungsgleichungen:::

:where ist die Beanspruchung. Das sind 6 unabhängige Gleichungen, die Beanspruchungen und Versetzungen mit 9 unabhängigen unknowns (Beanspruchungen und Versetzungen) verbinden.

• Bestimmende Gleichungen. Die Gleichung für das Gesetz von Hooke ist:

:

\sigma_ {ij} = C_ {ijkl} \, \varepsilon_ {kl }\

\\! </Mathematik>

:where ist der Steifkeitstensor. Das sind 6 unabhängige Gleichungen, die Betonungen und Beanspruchungen verbinden. Die Koeffizienten des Steifkeitstensor können immer so dass angegeben werden.

Ein elastostatic Grenzwertproblem für isotropisch-homogene Medien ist ein System von 15 unabhängigen Gleichungen und gleiche Anzahl von unknowns (3 Gleichgewicht-Gleichungen, 6 Beanspruchungsversetzungsgleichungen und 6 bestimmende Gleichungen). Die Grenzbedingungen angebend, wird das Grenzwertproblem völlig definiert. Um das System zu lösen, können zwei Annäherungen gemäß Grenzbedingungen des Grenzwertproblems genommen werden: eine Versetzungsformulierung und eine Betonungsformulierung.

Zylindrische Koordinatenform

In zylindrischen Koordinaten sind die Gleichungen der Bewegung

:

\begin {richten }\aus

& \frac {\\teilweiser \sigma_ {rr}} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {r\theta}} {\\teilweiser \theta} + \frac {\\teilweiser \sigma_ {rz}} {\\teilweise z\+ \cfrac {1} {r} (\sigma_ {rr}-\sigma_ {\\theta\theta}) + F_r = \rho ~\frac {\\Partial^2 u_r} {\\teilweiser t^2} \\

& \frac {\\teilweiser \sigma_ {r\theta}} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {\\theta\theta}} {\\teilweiser \theta} + \frac {\\teilweiser \sigma_ {\\theta z\} {\\teilweise z\+ \cfrac {2} {r }\\sigma_ {r\theta} + F_\theta = \rho ~\frac {\\Partial^2 u_\theta} {\\teilweiser t^2} \\

& \frac {\\teilweiser \sigma_ {rz}} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {\\theta z}} {\\teilweiser \theta} + \frac {\\teilweiser \sigma_ {zz}} {\\teilweise z\+ \cfrac {1} {r }\\sigma_ {rz} + F_z = \rho ~\frac {\\Partial^2 u_z} {\\teilweiser t^2 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Die Beanspruchungsversetzungsbeziehungen sind

: \begin {richten }\aus

\varepsilon_ {rr} & = \cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweise r\~; ~~

\varepsilon_ {\\theta\theta} = \cfrac {1} {r }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser \theta} + u_r\right) ~ abgereist; ~~

\varepsilon_ {zz} = \cfrac {\\teilweiser u_z} {\\teilweise z\\\

\varepsilon_ {r\theta} & = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {1} {r }\\cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta} + \cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweise r\-\cfrac {u_\theta} {r }\\Recht) ~ abgereist; ~~

\varepsilon_ {\\theta z\= \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser z} + \cfrac {1} {r }\\cfrac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser \theta }\\Recht) ~ abgereist; ~~

\varepsilon_ {zr} = \cfrac {1} {2 }\\ist (\cfrac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser z} + \cfrac {\\teilweiser u_z} {\\teilweiser r }\\Recht) abgereist

\end {richten }\aus

</Mathematik>

und die bestimmenden Beziehungen sind dasselbe als in Kartesianischen Koordinaten, außer dass die Indizes jetzt beziehungsweise eintreten.

Kugelförmige Koordinatenform

In kugelförmigen Koordinaten sind die Gleichungen der Bewegung

: \begin {richten }\aus

& \frac {\\teilweiser \sigma_ {rr}} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {r\theta}} {\\teilweiser \theta} + \cfrac {1} {r\sin\theta }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {r\phi}} {\\teilweiser \phi} + \cfrac {1} {r} (2\sigma_ {rr}-\sigma_ {\\theta\theta}-\sigma_ {\\phi\phi} + \sigma_ {r\theta }\\cot\theta) + F_r = \rho ~\frac {\\Partial^2 u_r} {\\teilweiser t^2} \\

& \frac {\\teilweiser \sigma_ {r\theta}} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {\\theta\theta}} {\\teilweiser \theta} + \cfrac {1} {r\sin\theta }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {\\theta \phi}} {\\teilweiser \phi} + \cfrac {1} {r} [(\sigma_ {\\theta\theta}-\sigma_ {\\phi\phi}) \cot\theta + 3\sigma_ {r\theta}] + F_\theta = \rho ~\frac {\\Partial^2 u_\theta} {\\teilweiser t^2} \\

& \frac {\\teilweiser \sigma_ {r\phi}} {\\teilweise r\+ \cfrac {1} {r }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {\\theta \phi}} {\\teilweiser \theta} + \cfrac {1} {r\sin\theta }\\frac {\\teilweiser \sigma_ {\\phi\phi}} {\\teilweiser \phi} + \cfrac {1} {r} (2\sigma_ {\\theta\phi }\\cot\theta+3\sigma_ {r\phi}) + F_\phi = \rho ~\frac {\\Partial^2 u_\phi} {\\teilweiser t^2 }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Der Deformationstensor in kugelförmigen Koordinaten ist

: \begin {richten }\aus

\varepsilon_ {rr} & = \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser r }\\\

\varepsilon_ {\\theta\theta} & = \frac {1} {r }\\ist (\frac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser \theta} + u_r\right) \\abgereist

\varepsilon_ {\\phi\phi} & = \frac {1} {r\sin\theta }\\ist (\frac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweiser \phi} + u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta\right) \\abgereist

\varepsilon_ {r\theta} & = \frac {1} {2 }\\ist (\frac {1} {r }\\frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \theta} + \frac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweise r\-\frac {u_\theta} {r }\\Recht) \\abgereist

\varepsilon_ {\\theta \phi} & = \frac {1} {2r }\\ist abgereist (\frac {1} {\\sin\theta }\\frac {\\teilweiser u_\theta} {\\teilweiser \phi }\

+ \left (\frac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweiser \theta}-u_\phi \cot (\theta) \right) \right) \\

\varepsilon_ {r \phi} & = \frac {1} {2} \left (\frac {1} {r \sin \theta} \frac {\\teilweiser u_r} {\\teilweiser \phi} + \frac {\\teilweiser u_\phi} {\\teilweise r\-\frac {u_\phi} {r }\\Recht)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Isotropische homogene Medien

In isotropischen Medien gibt der Steifkeitstensor die Beziehung zwischen den Betonungen (innere Betonungen resultierend), und die Beanspruchungen (Deformierungen resultierend). Für ein isotropisches Medium hat der Steifkeitstensor keine bevorzugte Richtung: Eine angewandte Kraft wird dieselben Versetzungen (hinsichtlich der Richtung der Kraft) macht dir nichts aus der Richtung geben, in der die Kraft angewandt wird. Im isotropischen Fall kann der Steifkeitstensor geschrieben werden:

:

K \, \delta_ {ij }\\, \delta_ {kl }\

+ \mu \, (\delta_ {ik }\\delta_ {jl} + \delta_ {il }\\delta_ {jk}-\textstyle {\\frac {2} {3} }\\, \delta_ {ij }\\, \delta_ {kl})

\\! </Mathematik>

wo das Delta von Kronecker ist, ist K das Hauptteil-Modul (oder incompressibility), und ist das Schubmodul (oder Starrheit), zwei elastische Module. Wenn das Medium ebenso homogen ist, dann werden die elastischen Module keine Funktion der Position im Medium sein. Die bestimmende Gleichung kann jetzt als geschrieben werden:

:

K\delta_ {ij }\\varepsilon_ {kk} +2\mu (\varepsilon_ {ij}-\textstyle {\\frac {1} {3} }\\delta_ {ij }\\varepsilon_ {kk}).

\\! </Mathematik>

Dieser Ausdruck trennt die Betonung in einen Skalarteil links, der mit einem Skalardruck vereinigt werden kann, und ein traceless Teil rechts, der damit vereinigt werden kann, Kräfte schert. Ein einfacherer Ausdruck ist:

:

\lambda \delta_ {ij} \varepsilon_ {kk} +2\mu\varepsilon_ {ij }\

\\! </Mathematik>

wo λ der erste Parameter von Lamé ist. Da die bestimmende Gleichung einfach eine Reihe geradliniger Gleichungen ist, kann die Beanspruchung als eine Funktion der Betonungen als ausgedrückt werden:

:

\frac {1} {9K }\\delta_ {ij }\\sigma_ {kk} + \frac {1} {2\mu }\\ist (\sigma_ {ij}-\textstyle {\\frac {1} {3} }\\delta_ {ij }\\sigma_ {kk }\\Recht) abgereist

\\! </Mathematik>

der wieder ist, scheren ein Skalarteil links und ein traceless Teil rechts. Einfacher:

:

\frac {1} {2\mu }\\sigma_ {ij}-\frac {\\nu} {E }\\delta_ {ij }\\sigma_ {kk}

\frac {1} {E} [(1 +\nu) \sigma_ {ij}-\nu\delta_ {ij }\\sigma_ {kk}]

\\! </Mathematik>

wo ν das Verhältnis von Poisson ist und E das Modul von Young ist.

Elastostatics

Elastostatics ist die Studie der geradlinigen Elastizität unter den Bedingungen des Gleichgewichts, in dem alle Kräfte auf der elastischen Körpersumme zur Null und die Versetzungen nicht eine Funktion der Zeit sind. Die Gleichgewicht-Gleichungen sind dann

:

\sigma_ {ji, j} + F_i = 0.

\\! </Mathematik>:

Diese Abteilung wird nur den isotropischen homogenen Fall besprechen.

Versetzungsformulierung

In diesem Fall werden die Versetzungen überall in der Grenze vorgeschrieben. In dieser Annäherung werden die Beanspruchungen und Betonungen von der Formulierung beseitigt, die Versetzungen als der unknowns verlassend, der für in den Regierungsgleichungen zu lösen ist.

Erstens werden die Beanspruchungsversetzungsgleichungen in die bestimmenden Gleichungen (das Gesetz von Hooke) eingesetzt, die Beanspruchungen als unknowns beseitigend:

:

\sigma_ {ij} &= \lambda \delta_ {ij} \varepsilon_ {kk} +2\mu\varepsilon_ {ij} \\

&= \lambda\delta_ {ij} u_ {k, k} + \mu\left (u_ {ich, j} +u_ {j, ich }\\Recht). \\

\end {richten }\aus

\\! </Mathematik>

Das Unterscheiden von Erträgen:

:

\sigma_ {ij, j} = \lambda u_ {k, ki} + \mu\left (u_ {ich, jj} +u_ {j, ij }\\Recht). \, \! </math>

Das Ersetzen in die Gleichgewicht-Gleichungserträge:

:oder:

wo und Rahmen von Lamé sind.

Auf diese Weise sind die einzigen verlassenen unknowns die Versetzungen, folglich der Name für diese Formulierung. Die auf diese Weise erhaltenen Regierungsgleichungen werden Navier-Cauchy Gleichungen oder, wechselweise, die elastostatic Gleichungen genannt.

:

Sobald das Versetzungsfeld berechnet worden ist, können die Versetzungen in die Beanspruchungsversetzungsgleichungen ersetzt werden, um für Beanspruchungen zu lösen, die später in den bestimmenden Gleichungen verwendet werden, um für Betonungen zu lösen.

Die biharmonic Gleichung

Die elastostatic Gleichung kann geschrieben werden:

:

\beta^2u_ {ich, Mm} =-f_i. \, \! </math>

Die Einnahme der Abschweifung von beiden Seiten der elastostatic Gleichung und das Annehmen der Kraft haben Nullabschweifung wir haben

:

Anmerkung, die Indizes summiert hat, braucht nicht zusammenzupassen, und dass die partiellen Ableitungen pendeln, wie man sieht, sind die zwei Differenzialbegriffe dasselbe, und wir haben:

:

aus dem wir dass beschließen:

:

Laplacian von beiden Seiten der elastostatic Gleichung nehmend, und außerdem annehmend, haben wir

:

Von der Abschweifungsgleichung ist der erste Begriff links Null (Zeichen: Wieder brauchen die summierten Indizes nicht zusammenzupassen), und wir haben:

:aus dem wir dass beschließen::

oder, in der freien Koordinatennotation, die gerade die biharmonic Gleichung darin ist.

Betonungsformulierung

In diesem Fall werden die Oberflächentraktionen überall an der Oberflächengrenze vorgeschrieben. In dieser Annäherung werden die Beanspruchungen und Versetzungen beseitigt, die Betonungen als der unknowns verlassend, der für in den Regierungsgleichungen zu lösen ist. Sobald das Betonungsfeld gefunden wird, werden die Beanspruchungen dann mit den bestimmenden Gleichungen gefunden.

Es gibt sechs unabhängige Bestandteile des Spannungstensors, der noch in der Versetzungsformulierung bestimmt werden muss, gibt es nur drei Bestandteile des Versetzungsvektoren, der bestimmt werden muss. Das bedeutet, dass es einige Einschränkungen gibt, die auf den Spannungstensor gelegt werden müssen, um die Anzahl von Graden der Freiheit zu drei zu vermindern. Mit den bestimmenden Gleichungen werden diese Einschränkungen direkt von entsprechenden Einschränkungen abgeleitet, die für den Deformationstensor halten müssen, der auch sechs unabhängige Bestandteile hat. Die Einschränkungen auf den Deformationstensor sind direkt von der Definition des Deformationstensors als eine Funktion des Versetzungsvektorfeldes ableitbar, was bedeutet, dass diese Einschränkungen keine neuen Konzepte oder Information einführen. Es sind die Einschränkungen auf den Deformationstensor, die am leichtesten verstanden werden. Wenn das elastische Medium als eine Reihe unendlich kleiner Würfel im ungespannten Staat vergegenwärtigt wird, dann nachdem wird das Medium gespannt, ein willkürlicher Deformationstensor muss eine Situation nachgeben, in der die verdrehten Würfel noch zusammen ohne Überschneidung passen. Mit anderen Worten, für eine gegebene Beanspruchung, dort muss ein dauerndes Vektorfeld bestehen (die Versetzung), von dem dieser Deformationstensor abgeleitet werden kann. Die Einschränkungen auf den Deformationstensor, die erforderlich sind zu versichern, dass das der Fall ist, wurden vom Heiligen Venant entdeckt, und werden die "Heilig 1Venantvereinbarkeitsgleichungen" genannt. Das sind 81 Gleichungen, von denen 6 unabhängige nichttriviale Gleichungen sind, die die verschiedenen Beanspruchungsbestandteile verbinden. Diese werden in der Index-Notation als ausgedrückt:

::

Die Beanspruchungen in dieser Gleichung werden dann in Bezug auf die Betonungen mit den bestimmenden Gleichungen ausgedrückt, der die entsprechenden Einschränkungen auf den Spannungstensor nachgibt. Diese Einschränkungen auf den Spannungstensor sind als die Beltrami-Michell Gleichungen der Vereinbarkeit bekannt:

:

In der speziellen Situation, wo die Körperkraft homogen ist, nehmen die obengenannten Gleichungen zu ab

:

Eine notwendige aber ungenügende, Bedingung für die Vereinbarkeit unter dieser Situation ist oder.

Diese Einschränkungen, zusammen mit der Gleichgewicht-Gleichung (oder Gleichung der Bewegung für elastodynamics) erlauben die Berechnung des Spannungstensor-Feldes. Sobald das Betonungsfeld von diesen Gleichungen berechnet worden ist, können die Beanspruchungen bei den bestimmenden Gleichungen und dem Versetzungsfeld von den Beanspruchungsversetzungsgleichungen erhalten werden.

Eine Alternativlösungstechnik soll den Spannungstensor in Bezug auf Betonungsfunktionen ausdrücken, die automatisch eine Lösung der Gleichgewicht-Gleichung nachgeben. Die Betonungsfunktionen folgen dann einer einzelnen Differenzialgleichung, die den Vereinbarkeitsgleichungen entspricht.

Lösungen für elastostatic Fälle

::

Andere Lösungen:

• Punkt-Kraft innerhalb eines unendlichen isotropischen Halbraums
• Kontakt von zwei elastischen Körpern: die Hertz-Lösung. Siehe auch die Seite auf der Kontakt-Mechanik.

Elastodynamics - die Wellengleichung

Elastodynamics ist die Studie von elastischen Wellen und schließt geradlinige Elastizität mit der Schwankung rechtzeitig ein. Eine elastische Welle ist ein Typ der mechanischen Welle, die sich in elastischen oder viscoelastic Materialien fortpflanzt. Die Elastizität des Materials stellt die Wiederherstellungskraft der Welle zur Verfügung. Wenn sie in der Erde als das Ergebnis eines Erdbebens oder anderer Störung vorkommen, werden elastische Wellen gewöhnlich seismische Wellen genannt.

Die Wellengleichung von elastodynamics ist einfach die Gleichgewicht-Gleichung von elastostatics mit einem zusätzlichen Trägheitsbegriff:

:

\sigma_ {ji, j} + F_i = \rho \,\ddot {u} _i = \rho \,\partial_ {tt} u_i.

\\! </Mathematik>

Wenn das Material isotropisch und homogen ist (d. h. der Steifkeitstensor überall im Material unveränderlich ist), hat die elastodynamic Wellengleichung die Form:

:

\mu u_ {ich, jj} + (\mu +\lambda) u_ {j, ij} +F_i =\rho\partial_ {tt} u_i

\\, \, \, \, \, \, \, \mathrm {oder }\\, \, \, \, \, \, \, \,

\mu\nabla^2\mathbf {u} + (\mu +\lambda) \nabla (\nabla\cdot\mathbf {u}) + \mathbf {F} = \rho\frac {\\Partial^2\mathbf {u}} {\\teilweiser t^2}.

\\! </Mathematik>

Die elastodynamic Wellengleichung kann auch als ausgedrückt werden

:

\frac {1} {\\rho} F_k \, \! </math>

wo:

ist der akustische Differenzialoperator, und ist Delta von Kronecker.

In isotropischen Medien hat der Steifkeitstensor die Form

:

K \, \delta_ {ij }\\, \delta_ {kl }\

+ \mu \, (\delta_ {ik }\\delta_ {jl} + \delta_ {il }\\delta_ {jk}-\frac {2} {3 }\\, \delta_ {ij }\\, \delta_ {kl}) \, \! </Mathematik>

wo

ist das Hauptteil-Modul (oder incompressibility), und

ist das Schubmodul (oder Starrheit), zwei elastische Module. Wenn das Material homogen ist (d. h. der Steifkeitstensor überall im Material unveränderlich ist), wird der akustische Maschinenbediener:

:

Für Flugzeug-Wellen wird der obengenannte Differenzialoperator der akustische algebraische Maschinenbediener:

:wo:

sind der eigenvalues mit Eigenvektoren, die parallel und zur Fortpflanzungsrichtung beziehungsweise orthogonal sind. In der seismologischen Literatur werden die entsprechenden Flugzeug-Wellen P-Wellen und S-Wellen genannt (sieh Seismische Welle).

Anisotropic homogene Medien

Für anisotropic Medien ist der Steifkeitstensor mehr kompliziert. Die Symmetrie des Spannungstensors bedeutet, dass es höchstens 6 verschiedene Elemente der Betonung gibt. Ähnlich gibt es höchstens 6 verschiedene Elemente des Deformationstensors. Folglich kann der 4. Reihe-Steifkeitstensor als eine 2. Reihe-Matrix geschrieben werden. Notation von Voigt ist für Tensor-Indizes, Standard-kartografisch darzustellen

:

\begin {Matrix-}\

ij & = \\

\Downarrow & \\

\alpha & =

\end {Matrix}

\begin {Matrix-}\

11 & 22 & 33 & 23,32 & 13,31 & 12,21 \\

\Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \\

1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6

\end {Matrix-}\\, \! </Mathematik>

Mit dieser Notation kann man die Elastizitätsmatrix für jedes linear elastische Medium als schreiben:

:

C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & C_ {14} & C_ {15} & C_ {16} \\

C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} & C_ {24} & C_ {25} & C_ {26} \\

C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} & C_ {34} & C_ {35} & C_ {36} \\

C_ {14} & C_ {24} & C_ {34} & C_ {44} & C_ {45} & C_ {46} \\

C_ {15} & C_ {25} & C_ {35} & C_ {45} & C_ {55} & C_ {56} \\

C_ {16} & C_ {26} & C_ {36} & C_ {46} & C_ {56} & C_ {66}

\end {bmatrix}.

\\! </Mathematik>

Wie gezeigt, ist die Matrix, wegen der geradlinigen Beziehung zwischen Betonung und Beanspruchung symmetrisch. Folglich gibt es höchstens 21 verschiedene Elemente dessen.

Der isotropische spezielle Fall hat 2 unabhängige Elemente:

:

K+4 \mu\/3 & k-2 \mu\/3 & k-2 \mu\/3 & 0 & 0 & 0 \\

k-2 \mu\/3 & K+4 \mu\/3 & k-2 \mu\/3 & 0 & 0 & 0 \\

k-2 \mu\/3 & k-2 \mu\/3 & K+4 \mu\/3 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & \mu\& 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & \mu\& 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu\

\end {bmatrix}.\\! </Mathematik>

Der einfachste anisotropic Fall, diese der Kubiksymmetrie hat 3 unabhängige Elemente:

:

C_ {11} & C_ {12} & C_ {12} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {12} & C_ {11} & C_ {12} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {12} & C_ {12} & C_ {11} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44}

\end {bmatrix}.\\! </Mathematik>

Der Fall der Querisotropie, auch genannt polaren anisotropy, (mit einer einzelnen Achse (der 3-Achsen-) der Symmetrie) hat 5 unabhängige Elemente:

:

C_ {11} & C_ {11}-2C_ {66} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {11}-2C_ {66} & C_ {11} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {13} & C_ {13} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66}

\end {bmatrix}.\\! </Mathematik>

Wenn die Querisotropie (d. h. in der Nähe von der Isotropie), eine Alternative parametrization das Verwenden von Rahmen von Thomsen schwach ist, ist für die Formeln für Welle-Geschwindigkeiten günstig.

Der Fall von orthotropy (die Symmetrie eines Ziegels) hat 9 unabhängige Elemente:

:

C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {12} & C_ {22} & C_ {23} & 0 & 0 & 0 \\

C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & C_ {55} & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66}\end {bmatrix}.\\! </Mathematik>

Elastodynamics

Die elastodynamic Wellengleichung für anisotropic Medien kann als ausgedrückt werden

:

\frac {1} {\\rho} F_k \, \! </math>

wo:ist der akustische Differenzialoperator, und ist Delta von Kronecker.

Flugzeug-Wellen und Gleichung von Christoffel

Eine Flugzeug-Welle hat die Form

:

mit der Einheitslänge.

Es ist eine Lösung der Wellengleichung mit dem Nullzwingen, wenn und nur wenn

und setzen Sie ein eigenvalue/eigenvector Paar des ein

akustischer algebraischer Maschinenbediener

:

Diese Fortpflanzungsbedingung (auch bekannt als die Gleichung von Christoffel) kann als geschrieben werden

:wo

zeigt Fortpflanzungsrichtung an

und ist Phase-Geschwindigkeit.

Siehe auch

• Die Methode von Castigliano
• Der Lehrsatz von Clapeyron (Elastizität)
• Setzen Sie sich mit Mechanik in Verbindung
• Deformierung
• Elastizität (Physik)
• Das Gesetz von Hooke
• Unendlich kleine Beanspruchungstheorie
• Lösung von Michell
• Knetbarkeit (Physik)
• Problem von Signorini
• Frühlingssystem
• Betonung (Mechanik)
• Betonung fungiert