Eine komplizierte Quadratmatrix A ist eine normale Matrix wenn

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wo A* das verbundene ist, stellen von A um. D. h. eine Matrix ist normal, wenn sie mit seinem verbundenen pendelt, stellen um.

Wenn A eine echte Matrix, dann * = A ist. Folglich ist die Matrix wenn AA = AA normal.

Normalität ist ein günstiger Test auf diagonalizability: Jede normale Matrix kann zu einer Diagonalmatrix durch einen einheitlichen umgewandelt werden verwandeln sich, und jede Matrix, die diagonal durch einen einheitlichen gemacht werden kann, verwandelt sich ist auch normal, aber Entdeckung des gewünschten verwandelt sich verlangt, dass viel mehr Arbeit als einfache Prüfung sieht, ob die Matrix normal ist.

Das Konzept normalen matrices kann normalen Maschinenbedienern auf unendlichen dimensionalen Räumen von Hilbert und zu normalen Elementen in C*-algebras erweitert werden. Als im Matrixfall bedeutet Normalität, dass commutativity, im Ausmaß möglich in der Nichtersatzeinstellung bewahrt wird. Das macht normale Maschinenbediener und normale Elemente C*-algebras, zugänglicher der Analyse.

Spezielle Fälle

Unter dem Komplex matrices verdrehen alle einheitlich, Hermitian, und matrices-Hermitian sind normal. Ebenfalls, unter echtem matrices, verdrehen alle orthogonal, symmetrisch, und - symmetrische matrices sind normal.

Jedoch ist es nicht der Fall, dass alle normalen matrices entweder einheitlich sind oder (verdrehen Sie-) Hermitian. Als ein Beispiel, die Matrix

:ist

weil normal

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Die Matrix A, ist Hermitian weder einheitlich, noch verdrehen-Hermitian.

Die Summe oder das Produkt von zwei normalen matrices sind nicht notwendigerweise normal. Wenn sie jedoch pendeln, dann ist das wahr.

Wenn A sowohl eine Dreiecksmatrix als auch eine normale Matrix ist, dann ist A diagonal. Das kann durch das Schauen auf die diagonalen Einträge von AA und AA gesehen werden, wo A eine normale, dreieckige Matrix ist.

Folgen

Das Konzept der Normalität ist wichtig, weil normale matrices genau diejenigen sind, für die der geisterhafte Lehrsatz gilt: Eine Matrix A ist normal, wenn, und nur wenn sie durch eine Diagonalmatrix Λ und eine einheitliche Matrix U durch die Formel vertreten werden kann

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Die Einträge λ der Diagonalmatrix Λ sind der eigenvalues von A, und die Säulen von U sind die Eigenvektoren von A. Das Zusammenbringen eigenvalues in Λ kommt in derselben Ordnung, wie die Eigenvektoren als Säulen von U bestellt werden.

Eine andere Weise, den geisterhaften Lehrsatz festzusetzen, soll sagen, dass normale matrices genau jene matrices sind, die durch eine Diagonalmatrix in Bezug auf eine richtig gewählte orthonormale Basis von C vertreten werden können. Ausgedrückt verschieden: Eine Matrix ist normal, wenn, und nur wenn seine eigenspaces C abmessen und orthogonal in Bezug auf das Standardskalarprodukt von C pairwise sind.

Der geisterhafte Lehrsatz für normalen matrices kann als ein spezieller Fall des allgemeineren Ergebnisses gesehen werden, das für das ganze Quadrat matrices hält: Zergliederung von Schur. Lassen Sie tatsächlich A eine Quadratmatrix sein. Dann durch die Zergliederung von Schur ist es ähnlich einer Ober-Dreiecksmatrix, sagen wir, B einheitlich. Wenn A normal ist, B auch., Aber dann muss B diagonal sein, weil, wie bemerkt, oben eine normale Ober-Dreiecksmatrix diagonal ist.

Der geisterhafte Lehrsatz erlaubt die Klassifikation von normalem matrices in Bezug auf ihre Spektren. Zum Beispiel ist eine normale Matrix einheitlich, wenn, und nur wenn sein Spektrum im Einheitskreis des komplizierten Flugzeugs enthalten wird. Außerdem ist eine normale Matrix selbst adjungiert, wenn, und nur wenn sein Spektrum aus reals besteht.

Im Allgemeinen brauchen die Summe oder das Produkt von zwei normalen matrices nicht normal zu sein. Jedoch gibt es einen speziellen Fall: Wenn A und B mit AB = BA normal sind, dann sind sowohl AB als auch + B auch normal. Außerdem sind die zwei gleichzeitig diagonalizable, der ist: Sowohl A als auch B werden diagonal durch dieselbe einheitliche Matrix U gemacht. Sowohl UAU als auch UBU sind Diagonalmatrizen. In diesem speziellen Fall sind die Säulen von U Eigenvektoren sowohl von A als auch von B und bilden eine orthonormale Basis in C.

Gleichwertige Definitionen

Es ist möglich, eine ziemlich lange Liste von gleichwertigen Definitionen einer normalen Matrix zu geben. Lassen Sie A eine n-by-n Matrix sein. Dann ist der folgende gleichwertig:

1. A ist normal.
2. A ist diagonalizable durch eine einheitliche Matrix.
3. Der komplette Raum wird durch einen orthonormalen Satz von Eigenvektoren von A abgemessen.

1. für jeden x.

1. (D. h. die Norm von Frobenius von A kann durch den eigenvalues von A. geschätzt werden)
2. Der Hermitian Teil und verdreht einen Teil von A-Hermitian pendeln.

1. ist ein Polynom (vom Grad  n  1) darin.

1. für eine einheitliche Matrix U.
2. U und P pendeln, wo wir die polare Zergliederung = mit einer einheitlichen Matrix U und einer positiven halbbestimmten Matrix P haben.
3. Ein Eintauschen mit einer normalen Matrix N mit verschiedenem eigenvalues.
4. für alle, wo A einzigartige Werte und eigenvalues hat

Einige, aber nicht der ganze obengenannte verallgemeinern normalen Maschinenbedienern auf unendlich-dimensionalen Räumen von Hilbert. Zum Beispiel ist ein begrenzter Maschinenbediener, der (9) befriedigt, nur quasinormal.

Die Maschinenbediener-Norm einer normalen Matrix N kommt den geisterhaften und numerischen Radien von N. gleich (Diese Tatsache verallgemeinert normalen Maschinenbedienern.) Ausführlich bedeutet das:

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Analogie

Es ist gelegentlich nützlich (aber manchmal verführend), an die Beziehungen von verschiedenen Arten von normalem matrices als analog den Beziehungen zwischen verschiedenen Arten von komplexen Zahlen zu denken:

• Invertible matrices sind komplexen Nichtnullzahlen analog
• Die verbundenen stellen um ist verbundenem des Komplexes analog
• Einheitliche matrices sind komplexen Zahlen analog, deren absoluter Wert 1 ist
• Hermitian matrices sind reellen Zahlen analog
• Hermitian positiver bestimmter matrices sind positiven reellen Zahlen analog
• Verdrehen Sie Hermitian matrices sind rein imaginären Zahlen analog

(Als ein spezieller Fall können die komplexen Zahlen im normalen echten matrices dadurch eingebettet werden, kartografisch darzustellen, der Hinzufügung und Multiplikation bewahrt. Es ist leicht zu überprüfen, dass dieses Einbetten alle obengenannten Analogien respektiert.)

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