In der Kategorie-Theorie ist das Produkt zwei (oder mehr) Gegenstände in einer Kategorie ein Begriff, der entworfen ist, um die Essenz hinter Aufbauten in anderen Gebieten der Mathematik wie das kartesianische Produkt von Sätzen, das direkte Produkt von Gruppen, das direkte Produkt von Ringen und das Produkt von topologischen Räumen zu gewinnen. Im Wesentlichen ist das Produkt einer Familie von Gegenständen der "allgemeinste" Gegenstand, der einen morphism zu jedem der gegebenen Gegenstände zulässt.

Definition

Lassen Sie, eine Kategorie mit einigen Gegenständen zu sein, und. Ein Gegenstand ist das Produkt und, angezeigt, iff befriedigt es dieses universale Eigentum:

: dort bestehen Sie morphisms, genannt die kanonischen Vorsprünge oder den Vorsprung morphisms, solch, dass für jeden Gegenstand und Paar von morphisms dort ein einzigartiger solcher morphism besteht, dass das folgende Diagramm pendelt:

Der einzigartige morphism wird das Produkt von morphisms genannt und und wird angezeigt.

Oben haben wir das binäre Produkt definiert. Statt zwei Gegenstände können wir eine willkürliche Familie von durch einen Satz mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Gegenständen nehmen. Dann erhalten wir die Definition eines Produktes.

Ein Gegenstand ist das Produkt einer Familie von Gegenständen iff dort bestehen morphisms, solch, dass für jeden Gegenstand und - die mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familie von morphisms dort ein einzigartiger solcher morphism besteht, dass die folgenden Diagramme für alle pendeln:

Das Produkt wird angezeigt; wenn, dann angezeigt und das Produkt von morphisms wird angezeigt.

Wechselweise kann Produkt völlig durch Gleichungen definiert werden, hier ist ein Beispiel für das binäre Produkt:

• Existenz dessen wird durch die Operation versichert.
• Commutativity von Diagrammen werden oben durch die Gleichheit versichert.
• Einzigartigkeit dessen wird durch die Gleichheit versichert.

Auch Produkt kann aus Grenze abgeleitet werden. Eine Familie von Gegenständen ist ein Diagramm ohne morphisms. Wenn wir unser Diagramm als ein functor betrachten, ist es ein functor vom betrachteten als eine getrennte Kategorie. Dann fällt die Definition des Produktes mit der Definition der Grenze zusammen, ein Kegel und Vorsprünge seiend, die die Grenze sind (Kegel beschränkend).

Sowie Grenze, Produkt kann über das universale Eigentum definiert werden. Sieh zum Vergleich Limit#Universal Eigentum. Lässt entfalten diese Definition für das binäre Produkt. In unserem Fall ist eine getrennte Kategorie mit zwei Gegenständen, ist einfach die Produktgruppe, Diagonale functor teilt jedem Gegenstand das befohlene Paar und jedem morphism das Paar zu. Das Produkt darin wird durch einen universalen morphism vom functor bis den Gegenstand darin gegeben. Dieser universale morphism besteht aus einem Gegenstand und einem morphism, der Vorsprünge enthält.

Beispiele

• In der Kategorie von Sätzen ist das Produkt (in der Kategorie theoretischer Sinn) das kartesianische Produkt. In Anbetracht einer Familie von Sätzen X wird das Produkt als definiert

mit den kanonischen Vorsprüngen

In Anbetracht jedes Satzes Y mit einer Familie von Funktionen

der universale Pfeil f wird als definiert

• In der Kategorie von topologischen Räumen ist das Produkt der Raum, dessen zu Grunde liegender Satz das kartesianische Produkt ist, und der die Produkttopologie trägt.
• In der Kategorie von Modulen über einen Ring R ist das Produkt das kartesianische Produkt mit definiertem componentwise der Hinzufügung und verteilender Multiplikation.
• In der Kategorie von Gruppen wird das Produkt durch das kartesianische Produkt mit definiertem componentwise der Multiplikation gegeben.
• In der Kategorie von algebraischen Varianten wird das kategorische Produkt durch das Einbetten von Segre gegeben.
• In der Kategorie von semi-abelian monoids wird das kategorische Produkt durch die Geschichte monoid gegeben.
• Ein teilweise bestellter Satz kann als eine Kategorie mit der Ordnungsbeziehung als der morphisms behandelt werden. In diesem Fall entsprechen die Produkte und coproducts größten niedrigeren Grenzen (trifft sich), und kleinste obere Grenzen (schließt sich an).

Diskussion

Das Produkt besteht nicht notwendigerweise. Zum Beispiel ist ein leeres Produkt (d. h. ist der leere Satz), dasselbe als ein Endgegenstand, und einige Kategorien, wie die Kategorie von unendlichen Gruppen, haben keinen Endgegenstand: In Anbetracht jeder unendlichen Gruppe gibt es ungeheuer viele morphisms, so kann nicht letzt sein.

Wenn ein solcher Satz ist, dass alle Produkte für Familien damit mit einem Inhaltsverzeichnis versehen haben, bestehen, dann ist es möglich, die Produkte auf eine vereinbare Mode zu wählen, so dass sich das Produkt in einen functor verwandelt. Wie dieser functor Karte-Gegenstände offensichtlich ist. Von morphisms kartografisch darzustellen, ist fein, weil das Produkt von morphisms, der oben definiert ist, nicht passt. Denken Sie erstens binäres Produkt functor, der ein bifunctor ist. Weil wir einen morphism finden sollten. Wir wählen. Diese Operation auf morphisms wird kartesianisches Produkt von morphisms genannt. Denken Sie zweitens Produkt functor. Für Familien sollten wir einen morphism finden. Wir wählen das Produkt von morphisms.

Eine Kategorie, wo jeder begrenzte Satz von Gegenständen ein Produkt hat, wird manchmal eine kartesianische Kategorie genannt

(obwohl einige Autoren diesen Ausdruck verwenden, um "eine Kategorie mit allen begrenzten Grenzen" zu bedeuten).

Denken Sie ist eine kartesianische Kategorie, Produkt sind functors als oben gewählt worden, und zeigt den Endgegenstand dessen an. Wir haben dann natürlichen Isomorphismus

Diese Eigenschaften sind denjenigen eines auswechselbaren monoid formell ähnlich; eine Kategorie mit seinen begrenzten Produkten setzt eine symmetrische monoidal Kategorie ein.

Distributivity

In einer Kategorie mit begrenzten Produkten und coproducts gibt es einen kanonischen morphism X×Y+X×Z  X× (Y+Z), wo das Pluszeichen hier den coproduct anzeigt. Um das zu sehen, bemerken Sie, dass wir verschiedene kanonische Vorsprünge und Einspritzungen haben, die das Diagramm ausfüllen

Das universale Eigentum für X× (Y+Z) versichert dann einen einzigartigen morphism X×Y+X×Z  X× (Y+Z). Eine verteilende Kategorie ist diejenige, in der dieser morphism wirklich ein Isomorphismus ist. So in einer verteilenden Kategorie hat man den kanonischen Isomorphismus

Siehe auch

• Coproduct - das Doppel-vom Produkt
• Grenze und colimits
• Equalizer
• Umgekehrte Grenze
• Kartesianische geschlossene Kategorie
• Kategorisches Hemmnis
• Kapitel 5.

Außenverbindungen

• Interaktive Webseite, die Beispiele von Produkten in der Kategorie von begrenzten Sätzen erzeugt. Geschrieben von Jocelyn Paine.