In der Mechanik stellt der virial Lehrsatz eine allgemeine Gleichung zur Verfügung, die den Durchschnitt mit der Zeit der kinetischen Gesamtenergie von einem stabilen System verbindet, das aus N Partikeln besteht, die durch potenzielle Kräfte mit dieser der potenziellen Gesamtenergie gebunden sind, wo Winkelklammern den Durchschnitt mit der Zeit der beiliegenden Menge vertreten. Mathematisch setzt der Lehrsatz fest

:

2 \left\langle T \right\rangle =-\sum_ {k=1} ^N \left\langle \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k \right\rangle

</Mathematik>

wo F die Kraft auf der kth Partikel vertritt, die an der Position r gelegen wird. Das Wort "virial" ist auf Kraft, das lateinische Wort für "die Kraft" oder "Energie" zurückzuführen, und wurde seine technische Definition von Rudolf Clausius 1870 gegeben.

Die Bedeutung des virial Lehrsatzes besteht darin, dass er der durchschnittlichen kinetischen Gesamtenergie erlaubt, sogar für sehr komplizierte Systeme berechnet zu werden, die sich über eine genaue Lösung, wie diejenigen hinwegsetzen, die in der statistischen Mechanik betrachtet sind; diese durchschnittliche kinetische Gesamtenergie ist mit der Temperatur des Systems durch den equipartition Lehrsatz verbunden. Jedoch hängt der virial Lehrsatz vom Begriff der Temperatur nicht ab und hält sogar für Systeme, die nicht im Thermalgleichgewicht sind. Der virial Lehrsatz ist auf verschiedene Weisen am meisten namentlich zu einer Tensor-Form verallgemeinert worden.

Wenn sich die Kraft zwischen irgendwelchen zwei Partikeln des Systems aus einer potenziellen Energie V(r) = αr ergibt, der zu etwas Macht n von der Zwischenpartikel-Entfernung r proportional ist, nimmt der virial Lehrsatz die einfache Form an

:

2 \langle T \rangle = n \langle V_\text {KLEINKIND} \rangle.

</Mathematik>

So zweimal kommt die durchschnittliche kinetische Gesamtenergie n Zeiten die durchschnittliche potenzielle Gesamtenergie gleich. Wohingegen V(r) die potenzielle Energie zwischen zwei Partikeln vertritt, V vertritt die potenzielle Gesamtenergie des Systems, d. h., die Summe der potenziellen Energie V(r) über alle Paare von Partikeln im System. Ein allgemeines Beispiel solch eines Systems ist ein durch seinen eigenen Ernst zusammengehaltener Stern, wo n &minus;1. gleich ist

Obwohl der virial Lehrsatz davon abhängt, die potenziellen und kinetischen Gesamtenergien im Durchschnitt zu betragen, verschiebt die Präsentation hier die Mittelwertbildung dem letzten Schritt.

Geschichte des virial Lehrsatzes

1870 hat Rudolf Clausius den Vortrag "Auf einem Mechanischen Lehrsatz geliefert, der auf die Hitze" zur Vereinigung für Natürliche und Medizinische Wissenschaften des Niedrigeren Rheins im Anschluss an eine 20-jährige Studie der Thermodynamik anwendbar ist. Der Vortrag hat festgestellt, dass die Mittelkraft viva des Systems seinem virial gleich ist, oder dass die durchschnittliche kinetische Energie 1/2 die durchschnittliche potenzielle Energie gleich ist. Der virial Lehrsatz kann direkt bei der Identität von Lagrange, wie angewandt, in der klassischen Gravitationsdynamik erhalten werden, deren ursprüngliche Form in den "Aufsatz von Lagrange auf dem Problem von Drei Körpern" veröffentlicht 1772 eingeschlossen wurde. Die Generalisation von Karl Jacobi der Identität zu n Körpern und zur gegenwärtigen Form der Identität von Laplace ähnelt nah dem klassischen virial Lehrsatz. Jedoch waren die Interpretationen, die zur Entwicklung der Gleichungen führen, sehr verschieden, seitdem zur Zeit der Entwicklung hatte statistische Dynamik die getrennten Studien der Thermodynamik und klassischen Dynamik noch nicht vereinigt. Der Lehrsatz wurde später verwertet, verbreitet, verallgemeinert und weiter von James Clerk Maxwell, Herrn Rayleigh, Henri Poincaré, Subrahmanyan Chandrasekhar, Enrico Fermi, Paul Ledoux und Eugene Parker entwickelt. Fritz Zwicky war erst, um den virial Lehrsatz zu verwenden, um die Existenz der ungesehenen Sache abzuleiten, die jetzt dunkle Sache genannt wird. Als ein anderes Beispiel seiner vieler Anwendungen ist der virial Lehrsatz verwendet worden, um die Grenze von Chandrasekhar für die Stabilität von weißen Zwergsternen abzuleiten.

Behauptung und Abstammung

Definitionen des virial und seiner Zeitableitung

Für eine Sammlung von N-Punkt-Partikeln wird der Skalarmoment der Trägheit I über den Ursprung durch die Gleichung definiert

:

I = \sum_ {k=1} ^ {N} m_ {k} | \mathbf {r} _ {k} | ^ {2} = \sum_ {k=1} ^ {N} m_ {k} r_ {k} ^ {2 }\

</Mathematik>

wo M und r die Masse und Position der kth Partikel vertreten. r = | ist r der Positionsvektor-Umfang. Der Skalar virial G wird durch die Gleichung definiert

:

G = \sum_ {k=1} ^N \mathbf {p} _k \cdot \mathbf {r} _k

</Mathematik>

wo p der Schwung-Vektor der kth Partikel ist. Annehmend, dass die Massen unveränderlich sind, ist der virial G eine Hälfte der Zeitableitung dieses Moments der Trägheit

:

\frac {1} {2} \frac {dI} {dt} = \frac {1} {2} \frac {d} {dt} \sum_ {k=1} ^N m_ {k} \, \mathbf {r} _k \cdot \mathbf {r} _k = \sum_ {k=1} ^N m_ {k} \, \frac {d\mathbf {r} _k} {dt} \cdot \mathbf {r} _k = \sum_ {k=1} ^N \mathbf {p} _k \cdot \mathbf {r} _k = G \.

</Mathematik>

Der Reihe nach kann die Zeitableitung des virial G geschrieben werden

:

\begin {richten }\aus

\frac {dG} {dt} & = \sum_ {k=1} ^N \mathbf {p} _k \cdot \frac {d\mathbf {r} _k} {dt} +

\sum_ {k=1} ^N \frac {d\mathbf {p} _k} {dt} \cdot \mathbf {r} _k \\

& = \sum_ {k=1} ^N m_k \frac {d\mathbf {r} _ {k}} {dt} \cdot \frac {d\mathbf {r} _k} {dt} + \sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k \\

& = 2 T + \sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k \,

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo M die Masse der k-th Partikel ist, ist die Nettokraft auf dieser Partikel, und T ist die kinetische Gesamtenergie des Systems

:

T = \frac {1} {2} \sum_ {k=1} ^N m_k v_k^2 =

\frac {1} {2} \sum_ {k=1} ^N m_k \frac {d\mathbf {r} _k} {dt} \cdot \frac {d\mathbf {r} _k} {dt}.

</Mathematik>

Verbindung mit der potenziellen Energie zwischen Partikeln

Die Gesamtkraft auf der Partikel k ist die Summe aller Kräfte von den anderen Partikeln j im System

:

\mathbf {F} _k = \sum_ {j=1} ^N \mathbf {F} _ {jk }\

</Mathematik>

wo die Kraft ist, die durch die Partikel j auf der Partikel k angewandt ist. Folglich kann der Kraft-Begriff der virial Zeitableitung geschrieben werden

:

\sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k =

\sum_ {k=1} ^N \sum_ {j=1} ^N \mathbf {F} _ {jk} \cdot \mathbf {r} _k.

</Mathematik>

Da keine Partikel sich folgt (d. h., wann auch immer), haben wir

:\sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k =

\sum_ {k=1} ^N \sum_ {j

\sum_ {k=1} ^N \sum_ {j

wo wir angenommen haben, dass das dritte Gesetz von Newton der Bewegung, d. h., (gleiche und entgegengesetzte Reaktion) hält.

Es geschieht häufig, dass die Kräfte aus einer potenziellen Energie V abgeleitet werden können, der eine Funktion nur der Entfernung r zwischen den Punkt-Partikeln j und k ist. Da die Kraft der negative Anstieg der potenziellen Energie ist, haben wir in diesem Fall

:

\mathbf {F} _ {jk} =-\nabla_ {\\mathbf {r} _k} V =

- \frac {dV} {Dr} \left (\frac {\\mathbf {r} _k - \mathbf {r} _j} {r_ {jk}} \right),

</Mathematik>

der klar gleich ist und gegenüber, die Kraft, die durch die Partikel an die Partikel j angewandt ist, wie durch die ausführliche Berechnung bestätigt werden kann. Folglich ist der Kraft-Begriff der virial Zeitableitung

:\sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k =\sum_ {k=1} ^N \sum_ {j

So haben wir

:

\frac {dG} {dt} = 2 T +

\sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k = 2 T -

\sum_ {k=1} ^N \sum_ {j

Spezieller Fall von mit der Machtgesetzkräften

In einem allgemeinen speziellen Fall ist die potenzielle Energie V zwischen zwei Partikeln zu einer Macht n von ihrer Entfernung r proportional

:

V (r_ {jk}) = \alpha r_ {jk} ^n,

</Mathematik>

wo der Koeffizient α und die Hochzahl n Konstanten ist. In solchen Fällen wird der Kraft-Begriff der virial Zeitableitung durch die Gleichung gegeben

:

- \sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k =

\sum_ {k=1} ^N \sum_ {j

wo V die potenzielle Gesamtenergie des Systems ist

:

V_\text {KLEINKIND} = \sum_ {k=1} ^N \sum_ {j

So haben wir:\frac {dG} {dt} = 2 T +

\sum_ {k=1} ^N \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k = 2 T - n V_\text {KLEINKIND}.

</Mathematik>

Für angezogen werdende Systeme und auch für elektrostatische Systeme ist die Hochzahl n &minus;1 gleich, die Identität von Lagrange gebend

:

\frac {dG} {dt} = \frac {1} {2} \frac {d^2 I} {dt^2} = 2 T + V_\text {KLEINKIND }\

</Mathematik>

der von Lagrange abgeleitet und von Jacobi erweitert wurde.

Zeit im Durchschnitt betragend und der virial Lehrsatz

Der Durchschnitt dieser Ableitung im Laufe einer Zeit wird als definiert

:

\left\langle \frac {dG} {dt} \right\rangle_\tau = \frac {1 }\\tau \int_ {0} ^\\tau \frac {dG} {dt }\\, dt = \frac {1} {\\tau} \int_ {0} ^\\tau \, dG = \frac {G (\tau) - G (0)} {\\tau},

</Mathematik>

von dem wir die genaue Gleichung erhalten

:

\left\langle \frac {dG} {dt} \right\rangle_\tau =

2 \left\langle T \right\rangle_\tau + \sum_ {k=1} ^N \left\langle \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k \right\rangle_\tau.

</Mathematik>

Der virial Lehrsatz stellt dass, wenn, dann fest

:

2 \left\langle T \right\rangle_\tau =-\sum_ {k=1} ^N \left\langle \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k \right\rangle_\tau.

</Mathematik>

Es gibt viele Gründe, warum der Durchschnitt der Zeitableitung verschwinden könnte, d. h.. Ein häufig zitierter Grund gilt für stabile bestimmte Systeme, d. h., Systeme, die zusammen für immer hängen, und dessen Rahmen begrenzt sind. In diesem Fall haben Geschwindigkeiten und Koordinaten der Partikeln des Systems obere und niedrigere Grenzen, so dass der virial zwischen zwei Extremen begrenzt wird, und, und der Durchschnitt zur Null in der Grenze von sehr langen Zeiten geht

:

\lim_ {\\tau \rightarrow \infty} \left | \left\langle \frac {dG^ {\\mathrm {gebunden}}} {dt} \right\rangle_\tau \right | =

\lim_ {\\tau \rightarrow \infty} \left | \frac {G (\tau) - G (0)} {\\tau} \right | \le

\lim_ {\\tau \rightarrow \infty} \frac {G_\max - G_\min} {\\tau} = 0.

</Mathematik>

Selbst wenn der Durchschnitt der Zeitableitung nur ungefähr Null ist, hält der virial Lehrsatz an demselben Grad der Annäherung.

Für mit der Machtgesetzkräfte mit einer Hochzahl n hält die allgemeine Gleichung

:

\langle T \rangle_\tau =-\frac {1} {2} \sum_ {k=1} ^N \langle \mathbf {F} _k \cdot \mathbf {r} _k \rangle_\tau = \frac {n} {2} \langle V_\text {KLEINKIND} \rangle_\tau.

</Mathematik>

Für die Gravitationsanziehungskraft ist n &minus;1 gleich, und die durchschnittliche kinetische Energie kommt Hälfte der durchschnittlichen negativen potenziellen Energie gleich

:

\langle T \rangle_\tau =-\frac {1} {2} \langle V_\text {KLEINKIND} \rangle_\tau.

</Mathematik>

Dieses allgemeine Ergebnis ist für komplizierte angezogen werdende Systeme wie Sonnensysteme oder Milchstraßen nützlich.

Eine einfache Anwendung des virial Lehrsatzes betrifft Milchstraße-Trauben. Wenn ein Gebiet des Raums mit Milchstraßen ungewöhnlich voll ist, ist es sicher anzunehmen, dass sie zusammen seit langem gewesen sind, und der virial Lehrsatz angewandt werden kann. Maße von Doppler geben niedrigere Grenzen für ihre Verhältnisgeschwindigkeiten, und der virial Lehrsatz gibt einen niedrigeren, der für die Gesamtmasse der Traube einschließlich jeder dunklen Sache gebunden ist.

Die Mittelwertbildung braucht mit der Zeit nicht genommen zu werden; ein Ensemble-Durchschnitt kann auch mit gleichwertigen Ergebnissen genommen werden.

Obwohl abgeleitet, für die klassische Mechanik hält der virial Lehrsatz auch für die Quant-Mechanik, die von Fock bewiesen wurde (das des l.h.s. gleichwertige Quant verschwindet für die Energie eigenstates).

Der virial Lehrsatz und die spezielle Relativität

Für eine einzelne Partikel in der speziellen Relativität ist es nicht der Fall das. Statt dessen ist es das und wahr

:

\frac 12 \mathbf {p} \cdot \mathbf {v}

&

\frac 12 \vec {\\Beta} \gamma mc \cdot \vec {\\Beta} c

\frac 12 \gamma \beta^2 mc^2

\left (\frac {\\Gamma \beta^2} {2 (\gamma-1) }\\Recht) T

\.\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der letzte Ausdruck kann entweder zu vereinfacht werden oder zu.

So, unter den Bedingungen, die in früheren Abteilungen (einschließlich des dritten Gesetzes von Newton der Bewegung, trotz der Relativität) beschrieben sind, ist der Zeitdurchschnitt für Partikeln mit einem Macht-Gesetzpotenzial

:

\left\langle \sum_ {k

1\^N \left (\frac {1 + \sqrt {1-\beta_k^2}} {2 }\\Recht) T_k \right\rangle_\tau

\left\langle \sum_ {k

1\^N \left (\frac {\\gamma_k + 1} {2 \gamma_k }\\Recht) T_k \right\rangle_\tau

\. </Mathematik>

Insbesondere das Verhältnis der kinetischen Energie zur potenziellen Energie wird nicht mehr befestigt, aber fällt notwendigerweise in einen Zwischenraum:

:

wo die relativistischeren Systeme die größeren Verhältnisse ausstellen.

Generalisationen des virial Lehrsatzes

Herr Rayleigh hat eine Generalisation des virial Lehrsatzes 1903 veröffentlicht. Henri Poincaré hat eine Form des virial Lehrsatzes 1911 zum Problem angewandt, kosmologische Stabilität zu bestimmen. Eine abweichende Form des virial Lehrsatzes wurde 1945 von Ledoux entwickelt. Eine Tensor-Form des virial Lehrsatzes wurde von Parker, Chandrasekhar und Fermi entwickelt. Die folgende Generalisation des virial Lehrsatzes ist von Pollard 1964 für den Fall des umgekehrten Quadratgesetzes gegründet worden

: die Behauptung ist wahr, wenn, und nur wenn Ein Grenzbegriff sonst, solcher als in Bezüglich hinzugefügt werden muss.

Einschließung von elektromagnetischen Feldern

Der virial Lehrsatz kann erweitert werden, um elektrische und magnetische Felder einzuschließen. Das Ergebnis ist

:

\frac {1} {2 }\\frac {d^2} {dt^2} ich

+ \int_Vx_k\frac {\\teilweiser G_k} {\\teilweise t\\, d^3r

2 (T+U) + W^E + W^M - \int x_k (p_ {ik} +T_ {ik}) \, dS_i,

</Mathematik>

wo ich der Moment der Trägheit bin, ist G die Schwung-Dichte des elektromagnetischen Feldes, T ist die kinetische Energie der "Flüssigkeit", U ist die zufällige "Thermal"-Energie der Partikeln, W, und W sind der elektrische und magnetische Energieinhalt des betrachteten Volumens. Schließlich ist p der Tensor des flüssigen Drucks, der im lokalen bewegenden Koordinatensystem ausgedrückt ist

:

p_ {ik }\

\Sigma n^\\Sigma m^\\Sigma \langle v_iv_k\rangle^\\Sigma

- V_iV_k\Sigma m^\\Sigma n^\\Sigma,

</Mathematik>

und T ist der elektromagnetische Spannungstensor,

:

T_ {ik }\

\left (\frac {\\varepsilon_0E^2} {2} + \frac {B^2} {2\mu_0} \right) \delta_ {ik }\

- \left (\varepsilon_0E_iE_k + \frac {B_iB_k} {\\mu_0} \right).

</Mathematik>

Ein plasmoid ist eine begrenzte Konfiguration von magnetischen Feldern und Plasma. Mit dem virial Lehrsatz ist es leicht zu sehen, dass sich jede solche Konfiguration wenn nicht enthalten durch Außenkräfte ausbreiten wird. In einer begrenzten Konfiguration ohne Druck tragende Wände oder magnetische Rollen wird das Oberflächenintegral verschwinden. Da alle anderen Begriffe auf der rechten Seite positiv sind, wird die Beschleunigung des Moments der Trägheit auch positiv sein. Es ist auch leicht, die Vergrößerungszeit τ zu schätzen. Wenn eine GesamtmassenM innerhalb eines Radius R beschränkt wird, dann ist der Moment der Trägheit grob HERR, und die linke Seite des virial Lehrsatzes ist MR/τ. Die Begriffe belaufen sich auf der rechten Seite über pR, wo p der größere vom Plasmadruck oder dem magnetischen Druck ist. Diese zwei Begriffe ausgleichend und für τ lösend, finden wir

:

wo c die Geschwindigkeit des Ions akustische Welle ist (oder die Welle von Alfvén, wenn der magnetische Druck höher ist als der Plasmadruck). So, wie man erwartet, ist die Lebenszeit eines plasmoid auf der Ordnung des Hörgeräts (oder Alfvén) Transitzeit.

Radius von Virial

In der Astronomie wird der Begriff virial Radius gebraucht, um sich auf den Radius eines Bereichs zu beziehen, der auf eine Milchstraße oder eine Milchstraße-Traube in den Mittelpunkt gestellt ist, innerhalb deren virial Gleichgewicht hält. Da dieser Radius schwierig ist, Beobachtungs-zu bestimmen, wird ihm häufig als der Radius näher gekommen, innerhalb dessen die durchschnittliche Dichte durch einen angegebenen Faktor größer ist als die kritische Dichte. (Hier ist H der Parameter von Hubble, und G ist die Gravitationskonstante.) Ist eine allgemeine Wahl für den Faktor 200, in welchem Fall dem virial Radius als r näher gekommen wird.

Siehe auch

• Virial betonen
• Masse von Virial
• Lehrsatz von Equipartition
• Liste von Plasma (Physik) Artikel

Weiterführende Literatur

Links

• Der Virial Lehrsatz an MathPages
• Gravitationszusammenziehungs- und Sternbildung, staatliche Universität von Georgia