In der Mathematik, in Anbetracht einer Teilmenge S völlig oder teilweise bestellt setzt T, das Supremum (Mund voll) von S, wenn es besteht, ist kleinstes Element von T, der größer oder gleich jedem Element von S ist. Folglich wird das Supremum auch das am wenigsten obere gebunden (lub oder LUB) genannt. Wenn das Supremum besteht, ist es einzigartig. Wenn S ein größtes Element enthält, dann ist dieses Element das Supremum; sonst gehört das Supremum S nicht (oder besteht nicht). Zum Beispiel haben die negativen reellen Zahlen kein größtes Element, und ihr Supremum ist 0 (der nicht eine negative reelle Zahl ist).

Die Existenz oder das Nichtsein eines Supremums werden häufig im Zusammenhang mit Teilmengen von reellen Zahlen, rationalen Zahlen oder jeder anderen wohl bekannten mathematischen Struktur besprochen, für die es sofort klar ist, was es für ein Element bedeutet, "größer oder gleich" einem anderen Element zu sein. Die Definition verallgemeinert leicht zur abstrakteren Einstellung der Ordnungstheorie, wo man willkürliche teilweise bestellte Sätze denkt.

Das Konzept des Supremums fällt mit dem Konzept von am wenigsten oberen gebunden, aber nicht mit den Konzepten des minimalen oberen bestimmten, maximalen Elements oder größten Elements zusammen. Das Supremum ist in einem genauen zum Konzept eines infimum Doppel-Sinn.

Supremum von einer Reihe von reellen Zahlen

In der Analyse wird das Supremum oder am wenigsten ober gebunden eines Satzes S reeller Zahlen durch den Mund voll S angezeigt und wird definiert, um die kleinste reelle Zahl zu sein, die größer oder gleich jeder Zahl in S ist. Ein wichtiges Eigentum der reellen Zahlen ist Vollständigkeit: Jede nichtleere Teilmenge des Satzes von reellen Zahlen, der oben begrenzt wird, hat ein Supremum, das auch eine reelle Zahl ist.

Beispiele

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Im letzten Beispiel ist das Supremum von einer Reihe von rationals vernunftwidrig, was bedeutet, dass die rationals unvollständig sind.

Ein grundlegendes Eigentum des Supremums ist

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für jeden functionals f und g.

Wenn, außerdem, wir Mund voll (S) =  definieren, wenn S leer ist und Mund voll (S) = + , wenn S oben nicht begrenzt wird, dann hat jeder Satz von reellen Zahlen ein Supremum unter dem erweiterten System der reellen Zahl des affinely.

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Wenn das Supremum dem Satz gehört, dann ist es das größte Element im Satz. Der Begriff maximales Element ist synonymisch, so lange befasst man sich mit reellen Zahlen oder jedem anderen völlig bestellten Satz.

Zu zeigen, dass = Mund voll (S), man zeigen muss, dass eines oberen zu sein, für S gebunden hat, und dass irgendwelcher anderes für S gebundenes oberes größer ist als a. Gleichwertig konnte man wechselweise zeigen, dass eines oberen zu sein, für S und dass jede Zahl gebunden hat weniger als nicht ein für S gebundener oberer ein zu sein.

Suprema innerhalb teilweise bestellter Sätze

Kleinste obere Grenzen sind wichtige Konzepte in der Ordnungstheorie, wo sie auch genannt werden, schließt sich (besonders in der Gitter-Theorie) an. Als im speziellen Fall hat oben behandelt, ein Supremum eines gegebenen Satzes ist gerade kleinstes Element des Satzes seiner oberen Grenzen, vorausgesetzt, dass solch ein Element besteht.

Formell haben wir: Für Teilmengen S willkürlicher teilweise bestellter Sätze (P, ), ist ein Supremum oder am wenigsten ober gebunden S ein Element u in solchem P dass

1. x  u für den ganzen x in S und
2. für jeden v in solchem P, dass x  v für den ganzen x in S es das u  v hält.

So besteht das Supremum nicht, wenn es nicht gebunden ober gibt, oder wenn der Satz von oberen Grenzen zwei oder mehr Elemente hat, von denen niemand kleinstes Element dieses Satzes ist.

Es kann leicht gezeigt werden, dass, wenn S ein Supremum hat, dann ist das Supremum einzigartig (weil kleinstes Element jedes teilweise bestellten Satzes, wenn es besteht, einzigartig ist): Wenn u und u sowohl suprema von S dann sind, hieraus folgt dass u  u als auch u  u, und seitdem  antisymmetrisch sind, findet man das u = u.

Wenn das Supremum besteht, kann es oder kann S nicht gehören. Wenn S ein größtes Element enthält, dann ist dieses Element das Supremum; und wenn nicht, dann gehört das Supremum S nicht.

Das Doppelkonzept des Supremums, das tiefer bestimmte größte, wird infimum genannt und ist, auch bekannt als sich treffen.

Wenn das Supremum eines Satzes S besteht, kann es als Mund voll (S) angezeigt werden oder, der in der Ordnungstheorie durch S üblicher ist. Ebenfalls werden infima durch inf (S) oder S angezeigt. In der Gitter-Theorie ist es üblich, den infimum/meet und das Supremum/anschließen als binäre Maschinenbediener zu verwenden; in diesem Fall (und ähnlich für infima).

Ein ganzes Gitter ist ein teilweise bestellter Satz, in dem alle Teilmengen sowohl ein Supremum haben (schließen sich an) als auch ein infimum (treffen sich).

In den Abteilungen unter dem Unterschied zwischen suprema werden maximale Elemente und minimale obere Grenzen betont. Demzufolge der möglichen Abwesenheit von suprema werden Klassen teilweise bestellter Sätze, für die, wie man versichert, bestimmte Typen von Teilmengen am wenigsten ober gebunden haben, besonders interessant. Das führt zur Rücksicht von so genannten Vollständigkeitseigenschaften und zu zahlreichen Definitionen von speziellen teilweise bestellten Sätzen.

Beispiele

Das Supremum einer Teilmenge S (, |), wo | anzeigt, "teilt sich", ist das niedrigste Gemeinsame Vielfache der Elemente von S.

Das Supremum einer Teilmenge S dessen (P, ), wo P der Macht-Satz von einem Satz ist, ist das Supremum in Bezug auf  (Teilmenge) einer Teilmenge S von P, ist die Vereinigung der Elemente von S.

Vergleich mit anderer Ordnung theoretische Begriffe

Größte Elemente

Die Unterscheidung zwischen dem Supremum eines Satzes und dem größten Element eines Satzes kann nicht sofort offensichtlich sein. Der Unterschied ist, dass das größte Element ein Mitglied des Satzes sein muss, wohingegen das Supremum nicht braucht. Denken Sie zum Beispiel den Satz von negativen reellen Zahlen (Null ausschließend). Dieser Satz hat kein größtes Element seitdem für jedes Element des Satzes, es gibt einen anderen, größer, Element. Zum Beispiel, für jede negative reelle Zahl x, gibt es eine andere negative reelle Zahl x/2, der größer ist. Andererseits ist jede reelle Zahl größer oder gleich der Null sicher ein oberer hat zu diesem Satz gebunden. Folglich, 0 ist das des negativen reals gebundene am wenigsten obere, so ist das Supremum 0. Dieser Satz hat ein Supremum, aber kein größtes Element.

Im Allgemeinen kommt diese Situation für alle Teilmengen vor, die kein größtes Element enthalten. Im Gegensatz, wenn ein Satz wirklich ein größtes Element enthält, dann ließ er auch ein Supremum durch das größte Element geben.

Maximale Elemente

Für ein Beispiel, wo dort nicht am größten sind, aber noch einige maximale Elemente, denken Sie den Satz aller Teilmengen des Satzes von natürlichen Zahlen (der powerset). Wir nehmen die übliche Teilmenge-Einschließung als eine Einrichtung, d. h. ein Satz ist größer als ein anderer Satz, wenn es alle Elemente des anderen Satzes enthält. Denken Sie jetzt den Satz S aller Sätze, die höchstens zehn natürliche Zahlen enthalten. Der Satz S hat viele maximale Elemente, d. h. Elemente, für die es kein größeres Element gibt. Tatsächlich sind alle Sätze mit zehn Elementen maximal. Jedoch ist das Supremum von S (nur und deshalb meist) Satz, der alle natürlichen Zahlen enthält. Man kann das am wenigsten obere schätzen, das einer Teilmenge eines powerset gebunden ist (d. h. A ist eine Reihe von Sätzen), indem es gerade die Vereinigung der Elemente von A genommen wird.

Minimale obere Grenzen

Schließlich kann ein Satz viele minimale obere Grenzen haben, ohne einen gebundenen am wenigsten oberen zu haben. Minimale obere Grenzen sind jene oberen Grenzen, für die es kein ausschließlich kleineres Element gibt, das auch ein gebundener oberer ist. Das sagt nicht, dass jeder minimal ober gebunden kleiner ist als alle anderen oberen Grenzen, ist es bloß nicht größer. Die Unterscheidung zwischen "dem minimalen" und ist "am wenigsten" nur möglich, wenn die gegebene Ordnung nicht eine ganze ist. In einem völlig bestellten Satz, wie die reellen Zahlen, die oben erwähnt sind, sind die Konzepte dasselbe.

Als ein Beispiel, lassen Sie S der Satz aller begrenzten Teilmengen von natürlichen Zahlen sein und den teilweise bestellten Satz als erhalten zu betrachten, indem Sie alle Sätze von S zusammen mit dem Satz von ganzen Zahlen Z und dem Satz von positiven reellen Zahlen R +, bestellt durch die Teilmenge-Einschließung als oben nehmen. Dann klar sind sowohl Z als auch R + größer als alle begrenzten Sätze von natürlichen Zahlen. Und doch, weder ist R + kleiner, als Z noch das gegenteilige wahr sind: Beide Sätze sind minimale obere Grenzen, aber niemand ist ein Supremum.

Kleinstes oberes bestimmtes Eigentum

Das am wenigsten obere bestimmte Eigentum ist ein Beispiel der oben erwähnten Vollständigkeitseigenschaften, das für den Satz von reellen Zahlen typisch ist. Dieses Eigentum wird manchmal Vollständigkeit von Dedekind genannt.

Wenn ein bestellter Satz S das Eigentum hat, dass jede nichtleere Teilmenge von S einen oberen gebunden zu haben, hat auch einen gebundenen am wenigsten oberen, dann, wie man sagt, hat S das am wenigsten obere bestimmte Eigentum. Wie bemerkt, oben hat der Satz R aller reellen Zahlen das am wenigsten obere bestimmte Eigentum. Ähnlich hat der Satz Z ganzer Zahlen das am wenigsten obere bestimmte Eigentum; wenn S eine nichtleere Teilmenge von Z ist und es eine solche Nummer n gibt, dass jedes Element s S weniger ist als oder gleich n, dann gibt es einen am wenigsten oberen gebundenen u für S, eine ganze Zahl, die ein oberer ist, der für S gebunden ist, und weniger ist als oder gleich jeder anderes für S gebundenes oberes. Ein gut bestellter Satz hat auch das am wenigsten obere bestimmte Eigentum, und die leere Teilmenge hat auch einen gebundenen am wenigsten oberen: das Minimum des ganzen Satzes.

Ein Beispiel eines Satzes, der am am wenigsten oberen bestimmten Eigentum Mangel hat, ist Q, der Satz von rationalen Zahlen. Lassen Sie S der Satz aller rationalen Zahlen q solch dass q &lt sein; 2. Dann hat S einen oberen gebunden (1000, zum Beispiel, oder 6), aber nicht am wenigsten ober gebunden in Q: Wenn wir annehmen, dass p  Q das gebundene am wenigsten obere ist, wird ein Widerspruch weil zwischen irgendwelchen zwei reals x und y sofort abgeleitet (einschließlich √ und p) dort besteht ein vernünftiger p, der selbst das am wenigsten obere gebunden (wenn p> ) oder ein Mitglied von S würde sein müssen, der größer ist als p (wenn p