In der Mathematik wird die richtige Klasse von nimbers (hat gelegentlich Zahlen von Grundy genannt), in der kombinatorischen Spieltheorie eingeführt, wo sie als die Werte von nim Haufen definiert werden, aber in einer viel größeren Klasse von Spielen wegen des Sprague-Grundy Lehrsatzes entstehen. Es ist die richtige Klasse von Ordnungszahlen, die mit einer neuen nimber Hinzufügung und nimber Multiplikation ausgestattet sind, die von der Ordnungshinzufügung und Ordnungsmultiplikation verschieden sind.

Eigenschaften

Der Sprague-Grundy Lehrsatz stellt fest, dass jedes gerechte Spiel zu einem nim Haufen einer bestimmten Größe gleichwertig ist. Hinzufügung von Nimber (auch bekannt als Nim-Hinzufügung) können verwendet werden, um die Größe eines einzelnen zu einer Sammlung von Haufen gleichwertigen Haufens zu berechnen. Es wird rekursiv durch definiert

wo für einen Satz S Ordnungszahlen mex (S) definiert wird, um das "Minimum zu sein, hat Ordnungs-ausgeschlossen", d. h. mex (S) ist die kleinste Ordnungszahl, die nicht ein Element von S ist.

Für begrenzte Ordnungszahlen wird die Nim-Summe auf einem Computer durch die Einnahme des exklusiven leicht bewertet oder (XOR, der durch &oplus angezeigt ist) der entsprechenden Zahlen (wo die Zahlen ihre Binärentwicklungen und die Binärentwicklung von x &oplus gegeben werden; y wird mit dem Bit klug bewertet). Das folgt aus der Tatsache, dass sowohl mex als auch XOR eine Gewinnen-Strategie für Nim nachgeben und es nur eine solche Strategie geben kann; oder es kann direkt durch die Induktion gezeigt werden: Lassen Sie α und β seien Sie zwei begrenzte Ordnungszahlen, und nehmen Sie an, dass die Nim-Summe aller Paare mit einem von ihnen reduziert bereits definiert wird. Die einzige Zahl deren XOR mit α ist α ⊕ β ist β und umgekehrt; so α ⊕ β wird ausgeschlossen. Andererseits, für jede Ordnungszahl γ < α ⊕ β XORing ξ: = α ⊕ β ⊕ γ mit ganzem α β und γ muss zur Verminderung für einen von ihnen führen (da die Führung 1 in ξ muss in mindestens einem der drei da sein); seitdem ξ ⊕ γ = α ⊕ β > γ wir müssen &alpha haben; > ξ ⊕ α = β ⊕ γ oder β > ξ ⊕ β = α ⊕ γ; so γ wird als eingeschlossen (β ⊕ &gamma) ⊕ β oder als α ⊕ (α ⊕ &gamma), und folglich α ⊕ β ist das Minimum ausgeschlossen Ordnungs-.

Multiplikation von Nimber (Nim-Multiplikation) wird rekursiv durch definiert

:α β = mex {α ′ β + α β ′ − α ′ β ′: α ′ bilden Sie das Feld von Galois GF (2) des Auftrags 2.

Insbesondere das deutet an, dass der Satz von begrenztem nimbers zur direkten Grenze der Felder GF (2), für jeden positiven n isomorph ist. Dieses Teilfeld wird jedoch nicht algebraisch geschlossen.

Ebenso im Fall von der nimber Hinzufügung gibt es ein Mittel, das nimber Produkt von begrenzten Ordnungszahlen zu schätzen. Das wird durch die Regeln das bestimmt

1. Das nimber Produkt von verschiedenen 2 Mächten von Fermat (Zahlen der Form 2) ist ihrem gewöhnlichen Produkt gleich;
2. Das nimber Quadrat von Fermat 2-Mächte-x ist 3x/2, wie bewertet, unter der gewöhnlichen Multiplikation von natürlichen Zahlen gleich.

Das kleinste algebraisch geschlossene Feld von nimbers ist der Satz von nimbers weniger als die Ordnungszahl ω wo ω ist die kleinste unendliche Ordnungszahl. Hieraus folgt dass als ein nimber, ω ist über das Feld transzendental.

Hinzufügung und Multiplikationstabellen

Die folgenden Tische stellen Hinzufügung und Multiplikation unter den ersten 16 nimbers aus.

Diese Teilmenge wird unter beiden Operationen geschlossen, da 16 von der Form 2 ist

• der Spiele, surreale Zahlen und nimbers bespricht.