In der Mathematik sind gleichzeitige Gleichungen eine Reihe von Gleichungen, die vielfache Variablen enthält. Dieser Satz wird häufig ein Gleichungssystem genannt. Eine Lösung eines Gleichungssystems ist eine besondere Spezifizierung der Werte aller Variablen, die gleichzeitig alle Gleichungen befriedigt. Um eine Lösung zu finden, muss der solver die zur Verfügung gestellten Gleichungen verwenden, um den genauen Wert jeder Variable zu finden. Allgemein verwendet der solver entweder eine grafische Methode, die Matrixmethode, die Ersatz-Methode oder die Beseitigungsmethode. Einige Lehrbücher kennzeichnen die Beseitigungsmethode als die Hinzufügungsmethode, da es das Hinzufügen von Gleichungen (oder unveränderliche Vielfachen vorerwähnter Gleichungen) zu einander, wie ausführlich berichtet, später in diesem Artikel einschließt.

Das ist eine Reihe geradliniger Gleichungen, auch bekannt als ein geradliniges Gleichungssystem:

:

\begin {Fälle }\

2x + y = 8 \\

x + y = 6

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Das Lösen davon ist mit Abstriche machendem x + y = 6 von 2x + y = 8 (das Verwenden der Beseitigungsmethode) verbunden, um die Y-Variable zu entfernen, dann die resultierende Gleichung vereinfachend, um den Wert von x zu finden, dann den X-Wert in jede Gleichung einsetzend, um y zu finden.

Die Lösung dieses Systems ist:

:\begin {Fälle }\

x = 2 \\

y = 4

\end {Fälle }\</Mathematik>

der auch als ein befohlenes Paar (2, 4) geschrieben werden kann, auf einem Graphen die Koordinaten des Punkts der Kreuzung der zwei durch die Gleichungen vertretenen Linien vertretend.

Entdeckung von Lösungen

Manchmal können nicht alle Variablen für gelöst werden, und so muss eine Antwort für mindestens eine Variable in Bezug auf andere Variablen ausgedrückt werden, und so ist der Satz aller Lösungen unendlich; das ist für den Fall typisch, wo das System weniger Gleichungen hat als Variablen. Wenn die Zahl von Gleichungen dasselbe als die Zahl von Variablen ist, dann wahrscheinlich (aber nicht notwendigerweise) ist das System im Sinn genau lösbar, dass der Satz seiner Lösungen begrenzt ist; für ein System von geradlinigen Gleichungen in diesem Fall gibt es genau eine Lösung, für andere Systeme, um mehrere Lösungen zu haben, ist auch typisch. Ein konsequentes System ist ein Gleichungssystem mit mindestens einer Lösung. Manchmal ist ein System inkonsequent, oder hat keine Lösung; das ist für den Fall typisch, wo das System mehr Gleichungen hat als Variablen. Wenn diese Regeln über die Verbindung zwischen Zahl von Lösungen und Zahlen von Gleichungen und Variablen nicht halten, dann wird solche Situation häufig Abhängigkeit zwischen Gleichungen oder zwischen ihren linken Teilen genannt. Zum Beispiel kommt das in geradlinigen Systemen vor, wenn eine Gleichung ein einfaches Vielfache vom anderen (das Darstellen derselben Linie, z.B 2x + y = 3 und 4x + 2y = 6) ist, oder wenn das Verhältnis von ähnlichen Variablen in zwei geradlinigen Gleichungen dasselbe ist (parallele Linien, z.B 2x + y = 3 und 6x + 3y = 7 vertretend, wo das Verhältnis von vergleichbaren Briefen 3 ist).

Systeme von zwei Gleichungen in zwei echtem Wert unknowns erscheinen gewöhnlich als einer von fünf verschiedenen Typen, eine Beziehung zur Zahl von Lösungen habend:

1. Systeme, die sich schneidende Sätze von Punkten wie Linien und Kurven vertreten, und die nicht von einem der Typen unten sind. Das kann als der normale Typ, andere betrachtet werden, die in etwas Rücksicht außergewöhnlich sind. Diese Systeme haben gewöhnlich eine begrenzte Zahl von Lösungen, jeder, der durch die Koordinaten eines Punkts der Kreuzung gebildet ist.
2. Systeme, die unten zum falschen (zum Beispiel, Gleichungen solcher als 1 = 0) vereinfachen. Solche Systeme haben keine Punkte der Kreuzung und keine Lösungen. Dieser Typ wird zum Beispiel gefunden, wenn die Gleichungen parallele Linien vertreten.
3. Systeme, in denen beide Gleichungen unten zu einer Identität (zum Beispiel, x = 2x  x und 0y = 0) vereinfachen. Jede Anweisung von Werten zu den unbekannten Variablen befriedigt die Gleichungen. So gibt es eine unendliche Zahl von Lösungen: alle Punkte des Flugzeugs.
4. Systeme, in denen die zwei Gleichungen denselben Satz von Punkten vertreten: Sie sind mathematisch gleichwertig (eine Gleichung kann normalerweise in anderen durch die algebraische Manipulation umgestaltet werden). Solche Systeme vertreten völlig überlappende Linien oder Kurven usw. Eine der zwei Gleichungen ist überflüssig und kann verworfen werden. Jeder Punkt des Satzes von Punkten entspricht einer Lösung. Gewöhnlich bedeutet das, dass es eine unendliche Zahl von Lösungen gibt.
5. Systeme, in denen (und nur ein) der zwei Gleichungen unten zu einer Identität vereinfachen. Es ist deshalb überflüssig, und kann laut des vorherigen Typs verworfen werden. Jeder Punkt des Satzes von durch die andere Gleichung vertretenen Punkten ist eine Lösung, deren es dann gewöhnlich eine unendliche Zahl gibt.

Von der Gleichung x + y = 0 kann als die Gleichung eines Kreises gedacht werden, dessen Radius zur Null zurückgewichen ist, und so vertritt es einen einzelnen Punkt: (x = 0, y = 0), verschieden von einem normalen Kreis, der eine Unendlichkeit von Punkten enthält. Dieser und ähnliche Beispiele zeigen den Grund, warum die letzten zwei Typen über dem Bedürfnis die Qualifikation "gewöhnlich" beschrieben haben. Ein Beispiel eines Gleichungssystems des ersten Typs, der oben mit einer unendlichen Zahl von Lösungen beschrieben ist, wird durch x = |x, y = |y angeführt (wo die Notation | · | zeigt die absolute Wertfunktion an), wessen Lösungen einen Quadranten des x-y Flugzeugs bilden. Ein anderes Beispiel ist x = |y, y = |x, dessen Lösung einen Strahl vertritt. Ein anderes Beispiel ist (x+1) (x+y) =0, (y+1) (x+y) =0, dessen Lösung eine Linie und einen Punkt vertritt.

Ersatz-Methode

Systeme von gleichzeitigen Gleichungen können hart sein zu lösen, wenn eine systematische Annäherung nicht verwendet wird. Eine allgemeine Technik ist die Ersatz-Methode: Finden Sie eine Gleichung, die mit einer einzelnen Variable als das Thema geschrieben werden kann, in dem die linke Seitenvariable im Rechte-Ausdruck nicht vorkommt. Dann Ersatz dass Ausdruck, wo diese Variable in den anderen Gleichungen erscheint, dadurch ein kleineres System mit weniger Variablen erhaltend. Nachdem dieses kleinere System gelöst worden ist (ob durch die weitere Anwendung der Ersatz-Methode oder durch andere Methoden), setzen Sie die Lösungen ein, die für die Variablen im obengenannten Rechte-Ausdruck gefunden sind.

In diesem Satz von Gleichungen

:\begin {Fälle }\

x^2 + y^2 = 1 \\

2x + 4y = 0

\end {Fälle }\</Mathematik>

x wird das Thema der zweiten Gleichung gemacht:

:

dann wird dieses Ergebnis in die erste Gleichung eingesetzt:

:

Nach der Vereinfachung gibt das die Lösungen nach

:

und durch das Ersetzen davon in x = 2y die entsprechenden X-Werte werden erhalten. Die zwei Lösungen des Gleichungssystems sind dann:

:

Beseitigungsmethode

Die Beseitigung durch die vernünftige Multiplikation ist die andere allgemein verwendete Methode, gleichzeitige geradlinige Gleichungen zu lösen. Es verwendet die allgemeinen Grundsätze, dass jede Seite einer Gleichung noch dem anderen gleichkommt, wenn beide Seiten multipliziert (oder geteilt werden) durch dieselbe Menge, oder wenn dieselbe Menge hinzugefügt (oder abgezogen wird) von beiden Seiten. Da die Gleichungen einfacher durch die Beseitigung von einigen Variablen wachsen, wird eine Variable schließlich in der völlig lösbaren Form erscheinen, und dieser Wert kann dann in vorher abgeleitete Gleichungen durch das Einstecken dieses Werts für die Variable "zurückeingesetzt" werden. Gewöhnlich kann jedes "Rückwartseinsetzen" dann einer anderen Variable im System erlauben, gelöst zu werden.

Matrices

Gleichungssysteme können auch in Bezug auf matrices vertreten werden, verschiedenen Grundsätzen von Matrixoperationen erlaubend, auf das Problem handlich angewandt zu werden. Systeme von gleichzeitigen geradlinigen Gleichungen werden in der geradlinigen Algebra studiert; sie werden mit der Beseitigung von Gaussian oder der Zergliederung von Cholesky gelöst. Um ungefähre Lösungen allgemeiner Systeme numerisch auf einem Computer zu bestimmen, kann die Methode von n-dimensional Newton verwendet werden.

Algebraische Geometrie ist im Wesentlichen die Theorie von gleichzeitigen polynomischen Gleichungen. Die Frage der wirksamen Berechnung mit solchen Gleichungen gehört der Beseitigungstheorie. Siehe auch die Regierung von Cramer, die den Quotienten von 2 Determinanten schätzt, um die Lösung zu berechnen.

Gleichzeitige Gleichungsmodelle sind eine Form des statistischen Modells in der Form von einer Reihe geradliniger gleichzeitiger Gleichungen. Sie werden häufig in econometrics verwendet.

In der Modularithmetik können einfache Systeme von gleichzeitigen Kongruenzen durch die Methode des aufeinander folgenden Ersatzes gelöst werden.

Gleichzeitige Gleichungen sind leichter, das Verwenden dieser Methode zu lösen.

Am-Wenigsten-Quadrate

Eine Reihe geradliniger gleichzeitiger Gleichungen kann in der Matrixform als geschrieben werden. Wenn es mehr Gleichungen gibt als Variablen, wird das System überentschlossen genannt, und hat (im Allgemeinen) keine Lösungen. Das System kann dann dazu geändert werden. Das neue System hat so viele Gleichungen wie Variablen (der Matrix-AA ist eine Quadratmatrix), und kann auf die übliche Weise gelöst werden. Die Lösung ist eine Am-Wenigsten-Quadratlösung des ursprünglichen, überentschlossenen Systems, die Euklidische Norm || Axt  y, ein Maß der Diskrepanz zwischen den zwei Seiten im ursprünglichen System minimierend.

Siehe auch

• Systeme von polynomischen Gleichungen

Außenverbindungen

• Gleichzeitige Gleichungen
• Gleichzeitige geradlinige Gleichungen solver
• Gleichzeitiger Equation Solver Also schätzt die Determinante, das Gegenteil und die LU Zergliederung [Eine] Matrix.