In der Mathematik ist ein Maschinenbediener von Fredholm ein Maschinenbediener, der in der Theorie von Fredholm von Integralgleichungen entsteht. Es wird zu Ehren von Erik Ivar Fredholm genannt.

Ein Fredholm Maschinenbediener ist ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener zwischen zwei Banachräumen, deren Kern und cokernel endlich-dimensional sind, und dessen Reihe geschlossen wird. (Die letzte Bedingung ist wirklich überflüssig.) Gleichwertig, ein Maschinenbediener T: X → Y ist Fredholm, wenn es invertible modulo Kompaktmaschinenbediener ist, d. h., wenn dort ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener besteht

solch dass

sind Kompaktmaschinenbediener auf X und Y beziehungsweise.

Der Index eines Maschinenbedieners von Fredholm ist

oder gleichwertig,

sieh Dimension, Kern, codimension, Reihe und cokernel.

Eigenschaften

Der Satz von Maschinenbedienern von Fredholm von X bis Y ist im Banachraum L (X, Y) von begrenzten geradlinigen Maschinenbedienern offen, die mit der Maschinenbediener-Norm ausgestattet sind. Genauer, wenn T Fredholm von X bis Y ist, dort besteht ε> 0 solches dass jeder T in L (X, Y) mit T − T.

Wenn T Fredholm von X bis Y und U Fredholm von Y bis Z ist, dann ist die Zusammensetzung Fredholm von X bis Z und

Wenn T Fredholm, das Umstellen ist (oder adjoint), ist Maschinenbediener Fredholm von zu, und. Wenn X und Y Räume von Hilbert sind, hält derselbe Beschluss für Hermitian adjoint T.

Wenn T Fredholm und K ist, ist ein Kompaktmaschinenbediener, dann T + K Fredholm. Der Index von T bleibt unveränderlich unter Kompaktunruhen von T. Das folgt aus der Tatsache, dass der Index i (s) dessen eine ganze Zahl ist, die für jeden s in [0, 1] definiert ist, und ich (s), folglich ich (1) = ich (0) lokal unveränderlich bin.

Invariance durch die Unruhe ist für größere Klassen wahr als die Klasse von Kompaktmaschinenbedienern. Zum Beispiel, wenn T Fredholm und S ist, ist ein ausschließlich einzigartiger Maschinenbediener, dann T + S Fredholm mit demselben Index. Ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener S von X bis Y ist ausschließlich einzigartig, wenn seine Beschränkung zu jedem unendlichen dimensionalen Subraum, der X X scheitern, in den Isomorphismus zu sein, der ist:

Beispiele

Lassen Sie H ein Raum von Hilbert mit einer orthonormalen Basis {e} mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch die nicht negativen ganzen Zahlen sein. Der (richtige) Verschiebungsmaschinenbediener S auf H wird durch definiert

Dieser Maschinenbediener S ist injective (wirklich, isometrisch) und hat eine geschlossene Reihe von codimension 1, folglich ist S Fredholm mit ind (S) = −1. Die Mächte S, k ≥ 0, sind Fredholm mit dem Index −k. Der adjoint S ist die linke Verschiebung,

Die linke Verschiebung S ist Fredholm mit dem Index 1.

Wenn H der klassische Raum von Hardy H (T) auf dem Einheitskreis T im komplizierten Flugzeug, dann der Verschiebungsmaschinenbediener in Bezug auf die orthonormale Basis des Komplexes exponentials ist

\mathrm {e} ^ {\\mathrm {ich} n t\, \quad n \ge 0, \, </Mathematik>

ist der Multiplikationsmaschinenbediener M mit der Funktion φ = e. Lassen Sie mehr allgemein φ eine komplizierte dauernde Funktion auf T sein, der auf T nicht verschwindet, und T den Maschinenbediener von Toeplitz mit dem Symbol φ, gleich der Multiplikation durch φ anzeigen lässt, der vom orthogonalen Vorsprung P von L (T) auf H (T) gefolgt ist:

Dann ist T ein Maschinenbediener von Fredholm auf H (T) mit dem Index, der mit der krummen Zahl ungefähr 0 des geschlossenen Pfads verbunden ist: Der Index von T, wie definiert, in diesem Artikel, ist das Gegenteil dieser krummen Zahl.

Anwendungen

Der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz gibt eine topologische Charakterisierung des Index von bestimmten Maschinenbedienern auf Sammelleitungen.

Ein elliptischer Maschinenbediener kann einem Maschinenbediener von Fredholm erweitert werden. Der Gebrauch von Maschinenbedienern von Fredholm in teilweisen Differenzialgleichungen ist eine abstrakte Form der parametrix Methode.

Referenzen

• D.E. Edmunds und W.D. Evans (1987), Geisterhafte Theorie und Differenzialoperatoren, Presse der Universität Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0-19-853542-2.
• A. G. Ramm, "Ein Einfacher Beweis der Fredholm Alternative und eine Charakterisierung der Fredholm Maschinenbediener", Amerikaner Mathematisch Monatlich, 108 (2001) p. 855 (NB: In dieser Zeitung bezieht sich das Wort "Maschinenbediener von Fredholm" auf den "Maschinenbediener von Fredholm des Index 0").
• Bruce K. Fahrer, "Kompakte und Fredholm Maschinenbediener und der Geisterhafte Lehrsatz", Analyse-Werkzeuge mit Anwendungen, Kapitel 35, Seiten 579-600.
• Robert C. McOwen, "Theorie von Fredholm von teilweisen Differenzialgleichungen auf ganzen Sammelleitungen von Riemannian", der Pazifik J. Mathematik. 87, Nr. 1 (1980), 169-185.
• Tomasz Mrowka, Eine Kurze Einführung in die Geradlinige Analyse: Fredholm Maschinenbediener, Geometrie von Sammelleitungen, Fall 2004 (Institut von Massachusetts für die Technologie: MIT OpenCouseWare)