In der Funktionsanalyse ist das Konzept des Spektrums eines begrenzten Maschinenbedieners eine Verallgemeinerung des Konzepts von eigenvalues für matrices. Spezifisch, wie man sagt, ist eine komplexe Zahl λ im Spektrum eines begrenzten geradlinigen Maschinenbedieners T wenn λI − T ist nicht invertible, wo ich der Identitätsmaschinenbediener bin. Die Studie von Spektren und verwandten Eigenschaften ist als geisterhafte Theorie bekannt, die zahlreiche Anwendungen, am meisten namentlich die mathematische Formulierung der Quant-Mechanik hat.

Das Spektrum eines Maschinenbedieners auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist genau der Satz von eigenvalues. Jedoch kann ein Maschinenbediener auf einem unendlich-dimensionalen Raum zusätzliche Elemente in seinem Spektrum haben, und kann keinen eigenvalues haben. Denken Sie zum Beispiel den richtigen Verschiebungsmaschinenbediener R auf dem Raum von Hilbert ,

:

Das hat keinen eigenvalues seitdem, wenn Rx =λx dann, indem wir diesen Ausdruck ausbreiten, wir dass x=0, x=0 usw. sehen. Andererseits 0 ist im Spektrum weil der Maschinenbediener R − 0 (d. h. R selbst) ist nicht invertible: Es ist nicht surjective, da jeder Vektor mit dem ersten Nichtnullbestandteil nicht in seiner Reihe ist. Tatsächlich muss jeder begrenzte geradlinige Maschinenbediener auf einem komplizierten Banachraum ein nichtleeres Spektrum haben.

Der Begriff des Spektrums streckt sich bis zu dicht definierte unbegrenzte Maschinenbediener aus. In diesem Fall, wie man sagt, ist eine komplexe Zahl λ im Spektrum solch eines Maschinenbedieners T:DX (wo D in X dicht ist), wenn es kein begrenztes Gegenteil gibt (λI − T): XD. Wenn T ein geschlossener Maschinenbediener ist (der den Fall einschließt, dass T ein begrenzter Maschinenbediener ist), boundedness solcher Gegenteile folgen automatisch, wenn das Gegenteil überhaupt besteht.

Der Raum von begrenzten geradlinigen Maschinenbedienern B (X) auf einem Banachraum X ist ein Beispiel einer unital Algebra von Banach. Da die Definition des Spektrums keine Eigenschaften von B (X) außer denjenigen erwähnt, die jede solche Algebra hat, kann der Begriff eines Spektrums zu diesem Zusammenhang durch das Verwenden derselben wortwörtlichen Definition verallgemeinert werden.

Spektrum eines begrenzten Maschinenbedieners

Das Spektrum eines begrenzten geradlinigen Maschinenbedieners T, der einem Banachraum X folgt, ist der Satz von komplexen Zahlen λ solch, dass λI  T kein Gegenteil hat, das ein begrenzter geradliniger Maschinenbediener ist. Wenn λI  T invertible dann ist, dass Gegenteil geradlinig ist (das folgt sofort von der Linearität von λI  T), und durch den begrenzten umgekehrten Lehrsatz wird begrenzt. Deshalb besteht das Spektrum genau aus jenen λ, wo λI  T nicht bijektiv ist.

Das Spektrum eines gegebenen Maschinenbedieners T wird σ (T) angezeigt, und der wiederlösende Satz (der Satz von Punkten nicht im Spektrum) wird ρ (T) angezeigt.

Grundlegende Eigenschaften

Das Spektrum eines begrenzten Maschinenbedieners T ist immer eine geschlossene, begrenzte und nichtleere Teilmenge des komplizierten Flugzeugs.

Wenn das Spektrum, dann die wiederlösende Funktion leer

war:

würde überall auf dem komplizierten Flugzeug definiert und begrenzt. Aber es kann gezeigt werden, dass die wiederlösende Funktion R holomorphic auf seinem Gebiet ist. Durch die Vektor-geschätzte Version des Lehrsatzes von Liouville ist diese Funktion, so überall Null unveränderlich, weil es Null an der Unendlichkeit ist. Das würde ein Widerspruch sein.

Der boundedness des Spektrums folgt aus der Reihenentwicklung von Neumann in λ; das Spektrum σ (T) wird durch || T begrenzt. Ein ähnliches Ergebnis zeigt den closedness des Spektrums.

Das bestimmte || T auf dem Spektrum kann etwas raffiniert werden. Der geisterhafte Radius, r (T), T ist der Radius des kleinsten Kreises im komplizierten Flugzeug, das am Ursprung in den Mittelpunkt gestellt wird und das Spektrum σ (T) darin, d. h. enthält

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Die geisterhafte Radius-Formel sagt das für jedes Element einer Algebra von Banach,

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Klassifikation von Punkten im Spektrum eines Maschinenbedieners

Ein begrenzter Maschinenbediener T auf einem Banachraum ist invertible, d. h. hat ein begrenztes Gegenteil, wenn, und nur wenn T unten begrenzt wird und dichte Reihe hat. Entsprechend kann das Spektrum von T in die folgenden Teile geteilt werden:

1. λ  σ (T), wenn λ - T unten nicht begrenzt wird. Insbesondere das ist der Fall, wenn λ - T nicht injective ist, d. h. ist λ ein eigenvalue. Der Satz von eigenvalues wird das Punkt-Spektrum von T genannt und durch σ (T) angezeigt. Wechselweise λ - konnte T isomorph sein, aber noch immer nicht unten begrenzt werden. Solcher λ ist nicht ein eigenvalue, aber noch ein ungefährer eigenvalue von T (eigenvalues selbst sind auch ungefährer eigenvalues). Der Satz von ungefährem eigenvalues (der das Punkt-Spektrum einschließt) wird das ungefähre Punkt-Spektrum von T genannt, der durch σ (T) angezeigt ist.
2. λ  σ (T), wenn λ - T dichte Reihe nicht hat. Keine Notation wird verwendet, um den Satz aller λ zu beschreiben, die diese Bedingung, aber für eine Teilmenge befriedigen: Wenn λ - T dichte Reihe nicht hat, aber injective ist, wie man sagt, ist λ im restlichen Spektrum von T, der durch σ (T) angezeigt ist.

Bemerken Sie, dass das ungefähre Punkt-Spektrum und restliche Spektrum nicht notwendigerweise zusammenhanglos sind (jedoch, sind das Punkt-Spektrum und das restliche Spektrum).

Die folgenden Paragraphe stellen mehr Details auf den drei Teilen von σ (T) kurz gefasst oben zur Verfügung.

Punkt-Spektrum

Wenn ein Maschinenbediener nicht injective ist (also gibt es eine Nichtnull x mit T (x) = 0), dann ist es klar nicht invertible. So, wenn λ ein eigenvalue von T ist, hat man notwendigerweise λ  σ (T). Der Satz von eigenvalues von T wird auch das Punkt-Spektrum von T genannt, der durch σ (T) angezeigt ist.

Ungefähres Punkt-Spektrum

Mehr allgemein ist T nicht invertible, wenn er unten nicht begrenzt wird; d. h. wenn es keinen c> 0 solches dass || Tx  cx für alle gibt. So schließt das Spektrum den Satz von ungefähren eigenvalues ein, die jene solche λ sind, der unten nicht begrenzt wird; gleichwertig ist es der Satz von λ, für den es eine Folge von Einheitsvektoren x, x... für der gibt

:.

Der Satz von ungefährem eigenvalues ist als das ungefähre Punkt-Spektrum bekannt, das durch σ (T) angezeigt ist.

Es ist leicht zu sehen, dass die eigenvalues im ungefähren Punkt-Spektrum liegen.

Beispiel Betrachtet die bilaterale Verschiebung T auf l (Z) als definiert durch

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T (\cdots, a_ {-1}, \hat {ein} _0, a_1, \cdots) = (\cdots, \hat _ {-1}, a_0, a_1, \cdots)

</Mathematik>

wo der ^ die Null-Th-Position anzeigt. Direkte Berechnung zeigt, dass T keinen eigenvalues hat, aber jeder λ mit | λ | = 1 ist ein ungefährer eigenvalue; das Lassen x, der Vektor sein

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dann || x = 1 für den ganzen n, aber

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Da T ein einheitlicher Maschinenbediener ist, sein Spektrum liegen auf dem Einheitskreis. Deshalb ist das ungefähre Punkt-Spektrum von T sein komplettes Spektrum. Das ist für eine allgemeinere Klasse von Maschinenbedienern wahr.

Ein einheitlicher Maschinenbediener ist normal. Durch den geisterhaften Lehrsatz ist ein begrenzter Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert normal, wenn, und nur wenn es ein Multiplikationsmaschinenbediener ist. Es kann gezeigt werden, dass, im Allgemeinen, das ungefähre Punkt-Spektrum eines begrenzten Multiplikationsmaschinenbedieners sein Spektrum ist.

Restliches Spektrum

Ein Maschinenbediener kann injective sein, der sogar unten, aber nicht invertible begrenzt ist. Die einseitige Verschiebung auf l (N) ist solch ein Beispiel. Dieser Verschiebungsmaschinenbediener ist eine Isometrie, die deshalb unten durch 1 begrenzt ist. Aber es ist nicht invertible, wie es nicht surjective ist. Der Satz von λ, für den λI - T injective ist, aber dichte Reihe nicht hat, ist als das restliche Spektrum oder Kompressionsspektrum von T bekannt und wird durch σ (T) angezeigt.

Dauerndes Spektrum

Der Satz des ganzen λ, für den λI - T injective ist und dichte Reihe hat, aber ist nicht surjective, wird das dauernde Spektrum von T genannt, der durch σ (T) angezeigt ist. Das dauernde Spektrum besteht deshalb aus denjenigen kommen eigenvalues näher, die nicht eigenvalues sind und im restlichen Spektrum nicht liegen. D. h.

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Peripherisches Spektrum

Das peripherische Spektrum eines Maschinenbedieners wird als der Satz von Punkten in seinem Spektrum definiert, die seinem geisterhaften Radius gleiches Modul haben.

Weitere Ergebnisse

Wenn T ein Kompaktmaschinenbediener ist, dann kann es gezeigt werden, dass jede Nichtnull λ im Spektrum ein eigenvalue ist. Mit anderen Worten besteht das Spektrum solch eines Maschinenbedieners, der als eine Generalisation des Konzepts von eigenvalues definiert wurde, in diesem Fall nur des üblichen eigenvalues, und vielleicht 0.

Wenn X ein Raum von Hilbert ist und T ein normaler Maschinenbediener ist, dann gibt ein bemerkenswertes als der geisterhafte Lehrsatz bekanntes Ergebnis eine Entsprechung des diagonalisation Lehrsatzes für normale endlich-dimensionale Maschinenbediener (Hermitian matrices, zum Beispiel).

Spektrum eines unbegrenzten Maschinenbedieners

Man kann die Definition des Spektrums für unbegrenzte Maschinenbediener auf einem Banachraum X, Maschinenbediener erweitern, die nicht mehr Elemente in der Algebra von Banach B (X) sind. Man geht gewissermaßen ähnlich dem begrenzten Fall weiter. Wie man sagt, ist eine komplexe Zahl λ im wiederlösenden Satz, d. h. der Ergänzung des Spektrums eines geradlinigen Maschinenbedieners

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wenn der Maschinenbediener

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hat ein begrenztes Gegenteil, d. h. wenn dort ein begrenzter Maschinenbediener besteht

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solch dass

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Eine komplexe Zahl λ ist dann im Spektrum, wenn dieses Eigentum scheitert zu halten. Man kann das Spektrum auf genau dieselbe Weise wie im begrenzten Fall klassifizieren.

Das Spektrum eines unbegrenzten Maschinenbedieners ist im Allgemeinen ein geschlossener, vielleicht leer, Teilmenge des komplizierten Flugzeugs.

Für λ, um im Wiederlösungsmittel (d. h. nicht im Spektrum), als im begrenzten Fall λI &minus zu sein; T muss bijektiv sein, da er ein zweiseitiges Gegenteil haben muss. Wie zuvor, wenn ein Gegenteil dann besteht, ist seine Linearität unmittelbar, aber im Allgemeinen darf es nicht begrenzt werden, so muss diese Bedingung getrennt überprüft werden.

Jedoch, boundedness des Gegenteils folgt wirklich direkt von seiner Existenz, wenn man die zusätzliche Annahme einführt, dass T geschlossen wird; das folgt aus dem geschlossenen Graph-Lehrsatz. Deshalb, als im begrenzten Fall, liegt eine komplexe Zahl λ im Spektrum eines geschlossenen Maschinenbedieners T wenn und nur wenn λI &minus; T ist nicht bijektiv. Bemerken Sie, dass die Klasse von geschlossenen Maschinenbedienern alle begrenzten Maschinenbediener einschließt.

Spektrum einer unital Algebra von Banach

Lassen Sie B eine komplizierte Algebra von Banach sein, die eine Einheit e enthält. Dann definieren wir das Spektrum σ (x) (oder ausführlicher σ (x)) eines Elements x B, um der Satz jener komplexen Zahlen λ zu sein, für den λe  x nicht invertible in B ist. Das erweitert die Definition für begrenzte geradlinige Maschinenbediener B (X) auf einem Banachraum X, da B (X) eine Algebra von Banach ist.

Siehe auch

• Wesentliches Spektrum
• Selbst adjungierter Maschinenbediener
• Pseudospektrum
• Täler u. a. Einführung in Banach Algebra, Maschinenbediener und Harmonische Analyse, internationale Standardbuchnummer 0-521-53584-0