In der Zahlentheorie ist die Identität von Bézout für zwei ganze Zahlen a, b ein Ausdruck

wo x und y ganze Zahlen sind (hat Koeffizienten von Bézout nach (a, b)) genannt, solch, dass d ein allgemeiner Teiler von a und b ist. Das Lemma von Bézout stellt fest, dass solche Koeffizienten für jedes Paar von ganzen Nichtnullzahlen (a, b) bestehen. Außerdem ist ihr größter allgemeiner Teiler und die kleinste positive ganze Zahl, die, in dieser Form, für irgendwelche ganzen Zahlen x, y geschrieben werden kann. Dieser Wert von d wird deshalb durch a und b einzigartig bestimmt, aber die Koeffizienten von Bézout sind nicht einzigartig. Ein Paar von Koeffizienten von Bézout (tatsächlich diejenigen, die im absoluten Wert minimal sind) kann durch den verlängerten Euklidischen Algorithmus geschätzt werden. Die Identität, die Koeffizienten und das Lemma werden nach dem französischen Mathematiker Étienne Bézout genannt.

In der abstrakten Algebra können bestimmte Paare von Elementen eines integrierten Gebiets auch solch eine Identität zulassen, aber das braucht für alle Paare von Nichtnullelementen nicht der Fall zu sein. Das Lemma von Bézout bleibt wirklich jedoch gültig in jedem idealen Hauptgebiet.

Geschichte

Étienne Bézout (1730-1783) hat diese Identität für Polynome bewiesen. Jedoch kann diese Behauptung für ganze Zahlen bereits in der Arbeit des französischen Mathematikers Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) gefunden werden.

Algorithmus

Die Bézout Nummern x und y können als oben mit dem verlängerten Euklidischen Algorithmus bestimmt werden. Jedoch sind sie nicht einzigartig. Wenn eine Lösung durch (x, y) gegeben wird, dann gibt es ungeheuer viele Lösungen. Diese werden durch gegeben

Beispiel

Der größte allgemeine Teiler 12 und 42 ist 6. Die Identität von Bézout stellt fest, dass dort eine Lösung der ganzen Zahl für x und y in der folgenden Gleichung bestehen muss:

Eine seiner Lösungen ist x = −3 und y = 1: Tatsächlich haben wir (−3) · 12 + 1 · 42 = 6. Eine andere Lösung ist x = 4 und y =

Generalisationen

Die Identität von Bézout kann zu geradlinigen Kombinationen von mehr als zwei Zahlen erweitert werden. Für irgendwelche Zahlen mit dem größten allgemeinen Teiler d dort bestehen solche ganze Zahlen dass

Der größte allgemeine Teiler dessen ist tatsächlich die kleinste positive ganze Zahl, die als eine geradlinige Kombination dessen geschrieben werden kann.

Die Identität von Bézout arbeitet nicht nur im Ring von ganzen Zahlen, sondern auch in jedem anderen idealen Hauptgebiet (PID).

D. h. wenn R ein PID ist, und a und b Elemente von R sind, und d ein größter allgemeiner Teiler von a und b, ist

dann gibt es Elemente x und y in solchem R dass Axt + durch = d. Der Grund: Der ideale Ra+Rb ist hauptsächlich und ist tatsächlich dem Rd gleich.

Ein integriertes Gebiet, in dem die Identität von Bézout hält, wird ein Gebiet von Bézout genannt.

Beweis

Mit ein Beweis des Lemmas von Bézout kann von der Tatsache gegeben werden, dass die ganzen Zahlen ein Euklidisches Gebiet (für den absoluten Wert), wie versichert, durch das Definieren-Eigentum der Euklidischen Abteilung von ganzen Zahlen nämlich bilden, dass der Rest einer Abteilung durch eine ganze Nichtnullzahl b einen Rest ausschließlich weniger hat als |b. Für gegebene ganze Nichtnullzahlen a und b dort ist eine ganze Nichtnullzahl des minimalen Absoluten unter allen diejenigen der Form-Axt + durch mit x und y ganzen Zahlen; man kann d &gt annehmen; 0 durch das Ändern der Zeichen sowohl von s als auch von t nötigenfalls. Jetzt ist der Rest des Teilens entweder a oder b durch d auch der Form-Axt + dadurch, da es durch das Abziehen eines Vielfaches von a oder b erhalten wird, und andererseits es im absoluten Wert ausschließlich kleiner sein muss als d. Das reist 0 als nur Möglichkeit für solch einen Rest ab, so teilt d a und b genau.

Wenn c ein anderer allgemeiner Teiler von a und b ist, dann teilt sich c auch als + bt = d, was bedeutet, dass d der größte allgemeine Teiler von a und b ist; das vollendet den Beweis.

Siehe auch

• AF+BG Lehrsatz, eine Entsprechung der Identität von Bézout für Polynome
• Hauptsatz der Arithmetik

Referenzen

Links

• Online-Rechenmaschine der Identität von Bézout.