In der Mathematik, spezifisch Gruppentheorie, ist der Index einer Untergruppe H in einer Gruppe G die "Verhältnisgröße" von H in G: Gleichwertig, die Zahl von "Kopien" (cosets) H, die G voll füllen. Zum Beispiel, wenn H Index 2 in G hat, dann intuitiv liegt "die Hälfte" der Elemente von G in H. Der Index von H in G wird gewöhnlich |G angezeigt: H oder G: H.

Formell wird der Index von H in G als die Zahl von cosets von H in G. definiert (Die Zahl von linkem cosets von H in G ist immer der Zahl des Rechts cosets gleich.) Zum Beispiel, lassen Sie Z die Gruppe von ganzen Zahlen unter der Hinzufügung sein, und 2Z die Untergruppe von Z sein zu lassen, der aus den gleichen ganzen Zahlen besteht. Dann 2Z hat zwei cosets in Z (nämlich die gleichen ganzen Zahlen und die sonderbaren ganzen Zahlen), so ist der Index 2Z in Z zwei. Im Allgemeinen,

:

für jede positive ganze Zahl n.

Wenn N eine normale Untergruppe von G ist, dann ist der Index von N in G auch der Ordnung der Quotient-Gruppe G / N gleich, da das in Bezug auf eine Gruppenstruktur auf dem Satz von cosets von N in G definiert wird.

Wenn G unendlich ist, wird der Index einer Untergruppe H im Allgemeinen eine Grundzahl sein. Es kann jedoch, d. h. eine positive ganze Zahl als das Beispiel über Shows begrenzt sein.

Wenn G und H begrenzte Gruppen sind, dann ist der Index von H in G dem Quotienten der Ordnungen der zwei Gruppen gleich:

:

Das ist der Lehrsatz von Lagrange, und in diesem Fall ist der Quotient notwendigerweise eine positive ganze Zahl.

Eigenschaften

• Wenn H eine Untergruppe von G ist und K eine Untergruppe von H, dann ist

::

• Wenn H und K Untergruppen von G, dann sind

::

:with-Gleichheit wenn HK = G. (Wenn |G: H ∩ K ist dann begrenzt Gleichheit hält wenn und nur wenn HK = G.)

• Gleichwertig, wenn H und K Untergruppen von G, dann sind

::

:with-Gleichheit wenn HK = G. (Wenn |H: H ∩ K ist dann begrenzt Gleichheit hält wenn und nur wenn HK = G.)

• Wenn G und H Gruppen und φ sind: G  ist H ein Homomorphismus, dann ist der Index des Kerns von φ in G der Ordnung des Images gleich:

::

• Lassen Sie G eine Gruppe sein, die einem Satz X folgt, und x  X zu lassen. Dann ist der cardinality der Bahn von x unter G dem Index des Ausgleichers von x gleich:

::

:This ist als der Lehrsatz des Bahn-Ausgleichers bekannt.

• Als ein spezieller Fall des Lehrsatzes des Bahn-Ausgleichers paart sich die Zahl dessen gxg eines Elements x  ist G dem Index des centralizer von x in G gleich.
• Ähnlich paart sich die Zahl dessen gHg einer Untergruppe H in G ist dem Index des normalizer von H in G gleich.
• Wenn H eine Untergruppe von G ist, befriedigt der Index des normalen Kerns von H die folgende Ungleichheit:

::

:where! zeigt die Factorial-Funktion an; das wird weiter unten besprochen.

:* Als eine Folgeerscheinung, wenn der Index von H in G 2, oder für eine begrenzte Gruppe der niedrigste erste p ist, der die Ordnung von G dann teilt, ist H normal, weil der Index seines Kerns auch p sein muss, und so H seinem Kern gleichkommt, d. h., normal ist.

:* Bemerken Sie, dass eine Untergruppe des niedrigsten Hauptindex, solcher als in keiner einfachen Gruppe der Nichthauptordnung oder mehr allgemein jeder vollkommenen Gruppe bestehen kann.

Beispiele

• Die Wechselgruppe hat Index 2 in der symmetrischen Gruppe und ist so normal.
• Die spezielle orthogonale Gruppe SO (n) hat Index 2 in der orthogonalen Gruppe O (n), und ist so normal.
• Die freie abelian Gruppe Z  Z hat drei Untergruppen des Index 2, nämlich

::

\{(x, y) \mid x+y\text {ist sogar }\\} </Mathematik>.

• Mehr allgemein, wenn p dann Z erst ist, hat (p &minus; 1) / (p &minus; 1) Untergruppen des Index p, entsprechend dem p &minus; 1 nichttrivialer Homomorphismus Z  Z/pZ.
• Ähnlich hat die freie Gruppe F p &minus; 1 Untergruppen des Index p.
• Die unendliche zweiflächige Gruppe hat eine zyklische Untergruppe des Index 2, der notwendigerweise normal ist.

Unendlicher Index

Wenn H eine unendliche Zahl von cosets in G hat, dann, wie man sagt, ist der Index von H in G unendlich. In diesem Fall, der Index |G: H ist wirklich eine Grundzahl. Zum Beispiel kann der Index von H in G zählbar oder je nachdem unzählbar sein, ob H eine zählbare Zahl von cosets in G hat. Bemerken Sie, dass der Index von H höchstens die Ordnung von G ist, der für die triviale Untergruppe, oder tatsächlich jede Untergruppe H unendlichen cardinality weniger begriffen wird als dieser von G.

Begrenzter Index

Eine unendliche Gruppe G kann Untergruppen H vom begrenzten Index (zum Beispiel, die gleichen ganzen Zahlen innerhalb der Gruppe von ganzen Zahlen) haben. Solch eine Untergruppe enthält immer eine normale Untergruppe N (G) auch des begrenzten Index. Tatsächlich, wenn H Index n hat, dann kann der Index von N als ein Faktor von n genommen werden!; tatsächlich kann N genommen werden, um der Kern des natürlichen Homomorphismus von G bis die Versetzungsgruppe des linken (oder Recht) cosets H zu sein.

Ein spezieller Fall, n = 2, gibt das allgemeine Ergebnis, dass eine Untergruppe des Index 2 eine normale Untergruppe ist, weil die normale Gruppe (N oben) Index 2 haben und deshalb zur ursprünglichen Untergruppe identisch sein muss. Mehr allgemein ist eine Untergruppe des Index p, wo p der kleinste Hauptfaktor der Ordnung von G ist (wenn G begrenzt ist) notwendigerweise normal, weil der Index von N p teilt! und muss so p gleichkommen, keine anderen Hauptfaktoren habend.

Ein alternativer Beweis des Ergebnisses, dass die Untergruppe des Index niedrigster erster p normale und andere Eigenschaften von Untergruppen des Hauptindex ist, wird eingereicht.

Beispiele

Die obengenannten Rücksichten sind für begrenzte Gruppen ebenso wahr. Zum Beispiel hat die Gruppe O chiral octahedral Symmetrie 24 Elemente. Es hat einen Dieder D Untergruppe (tatsächlich es hat drei solchen) des Auftrags 8, und so des Index 3 in O, den wir H nennen werden. Diese zweiflächige Gruppe hat eine D 4-Mitglieder-Untergruppe, die wir A nennen können. Das Multiplizieren rechts jedes Elements eines Rechts coset H durch ein Element von A gibt einem Mitglied desselben coset von H (Hca = Hc). A ist in O normal. Es gibt sechs cosets von A, entsprechend den sechs Elementen der symmetrischen Gruppe S. Alle Elemente von jedem besonderen coset von A führen dieselbe Versetzung des cosets von H durch.

Andererseits hat die Gruppe T der pyritohedral Symmetrie auch 24 Mitglieder und eine Untergruppe des Index 3 (dieses Mal es ist eine D prismatische Symmetrie-Gruppe, sieh Punkt-Gruppen in drei Dimensionen), aber in diesem Fall ist die ganze Untergruppe eine normale Untergruppe. Alle Mitglieder eines besonderen coset führen dieselbe Versetzung dieser cosets aus, aber in diesem Fall vertreten sie nur die 3-Elemente-Wechselgruppe in der symmetrischen S 6-Mitglieder-Gruppe.

Normale Untergruppen des Hauptmacht-Index

Normale Untergruppen des Hauptmacht-Index sind Kerne von Surjective-Karten zu P-Gruppen und haben interessante Struktur, wie beschrieben, am Im Brennpunkt stehenden Untergruppe-Lehrsatz: Untergruppen und sorgfältig ausgearbeitet am im Brennpunkt stehenden Untergruppe-Lehrsatz.

Es gibt drei wichtige normale Untergruppen des Hauptmacht-Index, jeder, die kleinste normale Untergruppe in einer bestimmten Klasse seiend:

• E ist (G) die Kreuzung des ganzen Index p normale Untergruppen; G/E (G) ist eine elementare abelian Gruppe, und ist die größte elementare abelian P-Gruppe auf der G surjects.
• (G) ist die Kreuzung aller normalen Untergruppen K solch, dass G/K eine abelian P-Gruppe ist (d. h., ist K ein Index normale Untergruppe, die die abgeleitete Gruppe enthält): G/A (G) ist die größte abelian P-Gruppe (nicht notwendigerweise elementar) auf der G surjects.
• O ist (G) die Kreuzung aller normalen Untergruppen K von solchem G, dass G/K (vielleicht non-abelian) P-Gruppe ist (d. h., ist K ein Index normale Untergruppe): G/O (G) ist die größte P-Gruppe (nicht notwendigerweise abelian) auf der G surjects. O ist (G) auch bekannt als die p-residual Untergruppe'.

Da das schwächere Bedingungen auf den Gruppen K sind, erhält man die Eindämmungen

:

Diese Gruppen haben wichtige Verbindungen zu den Untergruppen von Sylow und dem Übertragungshomomorphismus, wie besprochen, dort.

Geometrische Struktur

Eine elementare Beobachtung besteht darin, dass man genau 2 Untergruppen des Index 2 nicht haben kann, weil die Ergänzung ihres symmetrischen Unterschieds ein Drittel nachgibt. Das ist eine einfache Folgeerscheinung der obengenannten Diskussion (nämlich der projectivization der Vektorraum-Struktur der elementaren abelian Gruppe

:),

und weiter folgt G dieser Geometrie nicht, noch es widerspiegelt einige der non-abelian Struktur (in beiden Fällen, weil der Quotient abelian ist).

Jedoch ist es ein elementares Ergebnis, das konkret wie folgt gesehen werden kann: Der Satz von normalen Untergruppen eines gegebenen Index p bildet einen projektiven Raum, nämlich der projektive Raum

:

Im Detail, der Raum des Homomorphismus von G bis die (zyklische) Gruppe des Auftrags p, ist ein Vektorraum über das begrenzte Feld Ein nichttrivialer, den solche Karte als Kern eine normale Untergruppe des Index p hat, und das Multiplizieren der Karte durch ein Element (eine Nichtnullzahl mod p) den Kern nicht ändert; so erhält man eine Karte von

:

zu normalen Untergruppen des Index p. Umgekehrt bestimmt eine normale Untergruppe des Index p eine nichttriviale Karte zu bis zu einer Wahl, "den coset kartografisch darstellt, zu denen Shows dass diese Karte eine Bijektion ist.

Demzufolge ist die Zahl von normalen Untergruppen des Index p

:

für einen k; entspricht keinen normalen Untergruppen des Index p. Weiter, in Anbetracht zwei verschiedener normaler Untergruppen des Index p, erhält man eine projektive Linie, die aus solchen Untergruppen besteht.

Für den symmetrischen Unterschied von zwei verschiedenen Untergruppen des Index 2 (die notwendigerweise normal sind) gibt den dritten Punkt auf der projektiven Linie, die diese Untergruppen enthält, und eine Gruppe muss Untergruppen des Index 2 enthalten - es kann genau 2 oder 4 Untergruppen des Index 2 zum Beispiel nicht enthalten.

Siehe auch

• Eigentlich
• Codimension

Außenverbindungen

• "Die Untergruppe des am wenigsten Hauptindex ist" an Groupprops, Die Gruppeneigenschaften Wiki normal