In der Mathematik ist eine zweiflächige Gruppe die Gruppe von symmetries eines regelmäßigen Vielecks, sowohl einschließlich Folgen als auch einschließlich Nachdenkens. Zweiflächige Gruppen sind unter den einfachsten Beispielen von begrenzten Gruppen, und sie spielen eine wichtige Rolle in der Gruppentheorie, Geometrie und Chemie.

Siehe auch: Zweiflächige Symmetrie in drei Dimensionen.

Notation

Es gibt zwei konkurrierende Notationen für die zweiflächige Gruppe, die zu einem Vieleck mit n Seiten vereinigt ist. In der Geometrie wird die Gruppe D angezeigt, während in der Algebra dieselbe Gruppe durch D angezeigt wird, um die Zahl der Elemente anzuzeigen.

In diesem Artikel, D (und manchmal Dih) bezieht sich auf den symmetries eines regelmäßigen Vielecks mit n Seiten.

Definition

Elemente

Ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten hat 2n verschiedener symmetries: n Rotationssymmetries und n Nachdenken symmetries. Die verbundenen Folgen und das Nachdenken setzen die zweiflächige Gruppe D zusammen. Wenn n seltsam ist, verbindet jede Achse der Symmetrie den Mittelpunkt einer Seite zum entgegengesetzten Scheitelpunkt. Wenn n sogar ist, gibt es n/2 Äxte der Symmetrie, die die Mittelpunkte von Gegenseiten und n/2 Äxte der Symmetrie verbindet, die entgegengesetzte Scheitelpunkte verbindet. In jedem Fall gibt es n Äxte der Symmetrie zusammen und 2n Elemente in der Symmetrie-Gruppe. Das Reflektieren in einer Achse der gefolgten Symmetrie durch das Reflektieren in einer anderen Achse der Symmetrie erzeugt eine Folge durch zweimal den Winkel zwischen den Äxten. Das folgende Bild zeigt die Wirkung der sechzehn Elemente von D auf einem Stoppschild:

Die erste Reihe zeigt die Wirkung der acht Folgen, und die zweite Reihe zeigt die Wirkung des acht Nachdenkens.

Gruppenstruktur

Als mit jedem geometrischen Gegenstand ist die Zusammensetzung von zwei symmetries eines regelmäßigen Vielecks wieder eine Symmetrie. Diese Operation gibt den symmetries eines Vielecks die algebraische Struktur einer begrenzten Gruppe.

Der folgende Tisch von Cayley zeigt die Wirkung der Zusammensetzung in der Gruppe D (der symmetries eines gleichseitigen Dreiecks). R zeigt die Identität an; R und R zeigen gegen den Uhrzeigersinn Folgen durch 120 und 240 Grade an; und S, S, und S zeigen Nachdenken über die drei Linien an, die im Bild nach rechts gezeigt sind.

Zum Beispiel, SS = R, weil das Nachdenken S gefolgt vom Nachdenken S auf eine 120-Grade-Folge hinausläuft. (Das ist das normale umgekehrt bestellen für die Zusammensetzung.) Bemerken, dass die Zusammensetzungsoperation nicht auswechselbar ist.

Im Allgemeinen hat die Gruppe D Elemente R..., R und S..., S mit der durch die folgenden Formeln gegebenen Zusammensetzung:

:

In allen Fällen sollten Hinzufügung und Subtraktion von Subschriften mit der Modularithmetik mit dem Modul n durchgeführt werden.

Matrixdarstellung

Wenn wir das regelmäßige Vieleck am Ursprung in den Mittelpunkt stellen, dann handeln Elemente der zweiflächigen Gruppe als geradlinige Transformationen des Flugzeugs. Das lässt uns Elemente von D als matrices mit der Zusammensetzung vertreten, die Matrixmultiplikation ist.

Das ist ein Beispiel einer (2-dimensionalen) Gruppendarstellung.

Zum Beispiel können die Elemente der Gruppe D durch die folgenden acht matrices vertreten werden:

:

R_0 =\bigl (\begin {smallmatrix} 1&0 \\[0.2em] 0&1 \end {smallmatrix }\\bigr),

&

R_1 =\bigl (\begin {smallmatrix} 0&-1 \\[0.2em] 1&0 \end {smallmatrix }\\bigr),

&

R_2 =\bigl (\begin {smallmatrix} -1&0 \\[0.2em] 0&-1 \end {smallmatrix }\\bigr),

&

R_3 =\bigl (\begin {smallmatrix} 0&1 \\[0.2em] -1&0 \end {smallmatrix }\\bigr), \\[1em]

S_0 =\bigl (\begin {smallmatrix} 1&0 \\[0.2em] 0&-1 \end {smallmatrix }\\bigr),

&

S_1 =\bigl (\begin {smallmatrix} 0&1 \\[0.2em] 1&0 \end {smallmatrix }\\bigr),

&

S_2 =\bigl (\begin {smallmatrix} -1&0 \\[0.2em] 0&1 \end {smallmatrix }\\bigr),

&

S_3 =\bigl (\begin {smallmatrix} 0&-1 \\[0.2em] -1&0 \end {smallmatrix }\\bigr).

\end {Matrix} </Mathematik>

Im Allgemeinen haben die matrices für Elemente von D die folgende Form:

:

R_k & = \begin {pmatrix }\

\cos \frac {2\pi k} {n} &-\sin \frac {2\pi k} {n} \\

\sin \frac {2\pi k} {n} & \cos \frac {2\pi k} {n} \end {pmatrix }\

\\\text {und} \\

S_k & = \begin {pmatrix }\

\cos \frac {2\pi k} {n} & \sin \frac {2\pi k} {n} \\

\sin \frac {2\pi k} {n} &-\cos \frac {2\pi k} {n} \end {pmatrix }\

.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

R ist eine Folge-Matrix, gegen den Uhrzeigersinn Folge durch einen Winkel dessen ausdrückend. S ist ein Nachdenken über eine Linie, die einen Winkel mit der X-Achse macht.

Kleine zweiflächige Gruppen

Für n = 1 haben wir Dih. Diese Notation wird außer im Fachwerk der Reihe selten verwendet, weil es Z gleich ist. Für n = 2 haben wir Dih, der vier-Gruppen-Klein. Beide sind innerhalb der Reihe außergewöhnlich:

• Sie sind abelian; für alle anderen Werte von n die Gruppe ist Dih nicht abelian.
• Sie sind nicht Untergruppen der symmetrischen Gruppe S, entsprechend der Tatsache das 2n> n! für diese n.

Die Zyklus-Graphen von zweiflächigen Gruppen bestehen aus einem N-Element-Zyklus und n 2-Elemente-Zyklen. Der dunkle Scheitelpunkt in den Zyklus-Graphen unten verschiedener zweiflächiger Gruppen tritt für das Identitätselement ein, und die anderen Scheitelpunkte sind die anderen Elemente der Gruppe. Ein Zyklus besteht aus aufeinander folgenden Mächten von jedem der mit dem Identitätselement verbundenen Elemente.

Die zweiflächige Gruppe als Symmetrie-Gruppe im 2. und Folge-Gruppe im 3D

Ein Beispiel der abstrakten Gruppe Dih und eine allgemeine Weise, sich es zu vergegenwärtigen, ist die Gruppe D

Zweiflächige Gruppe D wird durch eine Folge r vom Auftrag n und einem Nachdenken s vom solchem Auftrag 2 dass erzeugt

:

In geometrischen Begriffen: Im Spiegel sieht eine Folge wie eine umgekehrte Folge aus.

In Bezug auf komplexe Zahlen: Multiplikation durch und komplizierte Konjugation.

In der Matrixform, durch das Setzen

:

und das Definieren, und weil wir die Produktregeln für D als schreiben können

::::

(Vergleichen Sie Koordinatenfolgen und Nachdenken.)

Die zweiflächige Gruppe D wird durch die Folge r von 180 Graden und dem Nachdenken s über die X-Achse erzeugt. Die Elemente von D können dann als {e, r, s, rs} vertreten werden, wo e die Identität oder ungültige Transformation ist und rs das Nachdenken über die Y-Achse ist.

D ist dem vier-Gruppen-Klein isomorph.

Für n> 2 pendeln die Operationen der Folge und des Nachdenkens im Allgemeinen nicht, und D ist nicht abelian; zum Beispiel, in D, gibt eine Folge von 90 von einem Nachdenken gefolgten Graden ein verschiedenes Ergebnis von einem von einer Folge von 90 Graden gefolgten Nachdenken nach.

So, außer ihrer offensichtlichen Anwendung auf Probleme der Symmetrie im Flugzeug, sind diese Gruppen unter den einfachsten Beispielen von non-abelian Gruppen, und als solcher, oft als leichte Gegenbeispiele zu Lehrsätzen entstehen, die auf abelian Gruppen eingeschränkt werden.

2n können Elemente von D als e, r, r..., r, s, r s, r s..., r s geschrieben werden. Der erste n hat Schlagseite gehabt Elemente sind Folgen, und die restlichen n Elemente sind Achse-Nachdenken (von denen alle Auftrag 2 haben). Das Produkt von zwei Folgen oder zwei Nachdenken ist eine Folge; das Produkt einer Folge und eines Nachdenkens ist ein Nachdenken.

Bis jetzt haben wir gedacht, dass D eine Untergruppe von O (2), d. h. die Gruppe von Folgen (über den Ursprung) und Nachdenken (über Äxte durch den Ursprung) vom Flugzeug ist. Jedoch wird Notation D auch für eine Untergruppe SO (3) verwendet, der auch des abstrakten Gruppentyps Dih ist: Die richtige Symmetrie-Gruppe eines regelmäßigen Vielecks hat im dreidimensionalen Raum (wenn n  3) eingebettet. Solch eine Zahl kann als ein degenerierter regelmäßiger Festkörper mit seinem Gesicht aufgezählt zweimal betrachtet werden. Deshalb wird es auch einen dihedron genannt (Griechisch: Fest mit zwei Gesichtern), der die Namendieder-Gruppe (in der Analogie zum vierflächigen, octahedral und der icosahedral Gruppe erklärt, sich auf die richtigen Symmetrie-Gruppen eines regelmäßigen Tetraeders, Oktaeders und Ikosaeders beziehungsweise beziehend).

Beispiele der 2. zweiflächigen Symmetrie

File:Red Stern von David.svg|2D D Symmetrie - Der Rote Davidsstern

File:Ashoka Chakra.svg|2D D Symmetrie - Ashoka Chakra, wie gezeichnet, auf der Nationalen Fahne der Republik Indien.

</Galerie>

Gleichwertige Definitionen

Weiter sind gleichwertige Definitionen von Dih:

• Die automorphism Gruppe des Graphen, der nur aus einem Zyklus mit n Scheitelpunkten (wenn n  3) besteht.
• Die Gruppe mit der Präsentation

::

:or

::

:From die zweite Präsentation folgt diesem Dih, gehört der Klasse von Gruppen von Coxeter.

• Das halbdirekte Produkt von zyklischen Gruppen Z und Z, mit Z, der Z durch die Inversion (so folgt, hat Dih immer eine normale Untergruppe, die zur Gruppe Z isomorph

ist ist

zu Dih isomorph, wenn die Identität ist und Inversion ist.

Eigenschaften

Wenn wir Dih (n  3) als die Symmetrie-Gruppe eines regelmäßigen n-gon denken und die Scheitelpunkte des Vielecks numerieren, sehen wir, dass Dih eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S über diese Versetzungsdarstellung ist.

Die Eigenschaften der zweiflächigen Gruppen, von denen Dih mit n  3 abhängen, ob n sogar oder seltsam ist. Zum Beispiel besteht das Zentrum von Dih nur aus der Identität, wenn n seltsam ist, aber wenn n sogar das Zentrum ist, hat zwei Elemente, nämlich die Identität und das Element r (mit D als eine Untergruppe von O (2), das ist Inversion; da es Skalarmultiplikation durch &minus;1 ist, ist es klar, dass es mit jeder geradlinigen Transformation pendelt).

Für sonderbaren n abstrakte Gruppe ist Dih mit dem direkten Produkt von Dih und Z isomorph.

Im Fall von 2. Isometrien entspricht das dem Hinzufügen der Inversion, Folgen und Spiegel zwischen den vorhandenen gebend.

Wenn M n teilt, dann hat Dih n / M Untergruppen des Typs Dih und eine Untergruppe Z. Deshalb die Gesamtzahl von Untergruppen von Dih (n  1), ist d (n) + σ (n) gleich, wo d (n) die Zahl von positiven Teilern von n ist und σ (n) die Summe der positiven Teiler von n ist. Sieh Liste von kleinen Gruppen für die Fälle n  8.

Klassen von Conjugacy des Nachdenkens

Das ganze Nachdenken ist zu einander verbunden, im Falle dass n seltsam ist, aber sie fallen in zwei conjugacy Klassen, wenn n gleich ist. Wenn wir an die Isometrien eines regelmäßigen n-gon denken: Für sonderbaren n gibt es Folgen in der Gruppe zwischen jedem Paar von Spiegeln, während für sogar n nur Hälfte der Spiegel von einem durch diese Folgen erreicht werden kann. Geometrisch in einem sonderbaren Vieleck führt jede Achse der Symmetrie einen Scheitelpunkt und eine Seite durch, während in einem gleichen Vieleck Hälfte der Äxte zwei Scheitelpunkte durchführt, und Hälfte zwei Seiten durchführt.

Algebraisch ist das ein Beispiel des verbundenen Lehrsatzes von Sylow (für den n seltsam): Für den seltsamen n bildet jedes Nachdenken, zusammen mit der Identität, eine Untergruppe des Auftrags 2, der Sylow 2-Untergruppen-ist (ist die maximale Macht von 2 Teilen), während für n sogar diese Untergruppen des Auftrags 2 nicht Untergruppen von Sylow sind, weil 4 (eine höhere Macht 2) die Ordnung der Gruppe teilt.

Für n gibt sogar es stattdessen einen Außenautomorphism das Austauschen der zwei Typen des Nachdenkens (richtig, eine Klasse von Außenautomorphisms, die alle durch einen inneren automorphism verbunden sind).

Gruppe von Automorphism

Die automorphism Gruppe von Dih ist zur affine Gruppe Aff (Z/nZ) isomorph und hat Ordnung, wo die Totient-Funktion von Euler, die Zahl von k in coprime zu n ist.

Es kann in Bezug auf die Generatoren eines Nachdenkens und einer elementaren Folge (Folge durch, für k coprime zu n) verstanden werden; welche automorphisms inner sind und Außen-von der Gleichheit von n abhängt.

• Für den seltsamen n ist die zweiflächige Gruppe centerless, so definiert jedes Element einen nichttrivialen inneren automorphism; für n sogar ist die Folge durch 180 ° (Nachdenken durch den Ursprung) das nichttriviale Element des Zentrums.
• So für den seltsamen n hat die innere automorphism Gruppe Auftrag 2n, und für n hat sogar die innere automorphism Gruppe Auftrag n.
• Für den seltsamen n ist das ganze Nachdenken verbunden; für n sogar fallen sie in zwei Klassen (diejenigen durch zwei Scheitelpunkte und diejenigen durch zwei Gesichter), verbunden durch einen Außenautomorphism, der durch die Folge durch (Hälfte der minimalen Folge) vertreten werden kann.
• Die Folgen sind eine normale Untergruppe; die Konjugation durch ein Nachdenken ändert das Zeichen (Richtung) der Folge, aber verlässt sie sonst unverändert. So sind automorphisms, die Winkel mit k multiplizieren (coprime zu n) wenn Außen-

Beispiele von automorphism Gruppen

Dih hat 18 innere automorphisms. Als 2. Isometrie-Gruppe D hat die Gruppe Spiegel an 20 ° Zwischenräumen. Die 18 inneren automorphisms stellen Folge der Spiegel durch Vielfachen von 20 ° und Nachdenken zur Verfügung. Als Isometrie gruppieren sich das ist der ganze automorphisms. Als abstrakte Gruppe dort sind zusätzlich zu diesen, 36 Außenautomorphisms, z.B Winkel der Folge durch 2 multiplizierend.

Dih hat 10 innere automorphisms. Als 2. Isometrie-Gruppe D hat die Gruppe Spiegel an 18 ° Zwischenräumen. Die 10 inneren automorphisms stellen Folge der Spiegel durch Vielfachen von 36 ° und Nachdenken zur Verfügung. Als Isometrie-Gruppe dort sind noch 10 automorphisms; sie sind paart sich durch Isometrien außerhalb der Gruppe, die Spiegel 18 ° in Bezug auf den inneren automorphisms rotieren lassend. Als abstrakte Gruppe dort sind zusätzlich zu diesen 10 inner und 10 Außenautomorphisms, noch 20 Außenautomorphisms, z.B Folgen mit 3 multiplizierend.

Vergleichen Sie die Werte 6 und 4 für die Totient-Funktion von Euler, die multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen modulo n für n = 9 und 10, beziehungsweise. Das verdreifacht und verdoppelt die Zahl von automorphisms im Vergleich zu den zwei automorphisms als Isometrien (die Ordnung der Folgen dasselbe behaltend oder die Ordnung umkehrend).

Generalisationen

Es gibt mehrere wichtige Generalisationen der zweiflächigen Gruppen:

• Die unendliche zweiflächige Gruppe ist eine unendliche Gruppe mit der algebraischen den begrenzten zweiflächigen Gruppen ähnlichen Struktur. Es kann als die Gruppe von symmetries der ganzen Zahlen angesehen werden.
• Die orthogonale Gruppe O (2), d. h. die Symmetrie-Gruppe des Kreises, hat auch ähnliche Eigenschaften zu den zweiflächigen Gruppen.
• Die Familie von verallgemeinerten zweiflächigen Gruppen schließt beide der Beispiele oben, sowie viele andere Gruppen ein.
• Die quasizweiflächigen Gruppen sind Familie von begrenzten Gruppen mit ähnlichen Eigenschaften zu den zweiflächigen Gruppen.

Siehe auch

• Gruppe von Dicyclic
• Koordinatenfolgen und Nachdenken
• Zweiflächige Gruppe des Auftrags 6
• Zweiflächige Gruppe des Auftrags 8
• Zweiflächige Symmetrie in drei Dimensionen
• Zweiflächige Symmetrie-Gruppen in 3D
• Schleifenindex der zweiflächigen Gruppe

Links

• Dihedral Group n des Auftrags 2n von Shawn Dudzik, Wolfram-Demonstrationsprojektes.