In der abstrakten Algebra ist eine normale Untergruppe eine Untergruppe, die invariant unter der Konjugation durch Mitglieder der Gruppe ist, deren es ein Teil ist. Normale Untergruppen können verwendet werden, um Quotient-Gruppen von einer gegebenen Gruppe zu bauen. Mit anderen Worten ist eine Untergruppe H einer Gruppe G in G wenn und nur wenn ah = Ha für alle in G normal.

Évariste Galois war erst, um die Wichtigkeit von der Existenz von normalen Untergruppen zu begreifen.

Definitionen

Eine Untergruppe, N, einer Gruppe, G, wird eine normale Untergruppe genannt, wenn es invariant unter der Konjugation ist; d. h. für jedes Element n in N und jedem g in G ist das Element gng noch in N. Wir schreiben

:

Für jede Untergruppe sind die folgenden Bedingungen zur Normalität gleichwertig. Deshalb können irgendwelche von ihnen als die Definition genommen werden:

• Für den ganzen g in G, gNg  N.
• Für den ganzen g in G, gNg = N.
• Die Sätze von linkem und richtigem cosets von N in G fallen zusammen.
• Für den ganzen g in G, gN = Ng.
• N ist eine Vereinigung von conjugacy Klassen von G.
• Es gibt einen Homomorphismus auf G, für den N der Kern ist.

Die letzte Bedingung ist für etwas von der Wichtigkeit von normalen Untergruppen verantwortlich; sie sind eine Weise, innerlich den ganzen auf einer Gruppe definierten Homomorphismus zu klassifizieren. Zum Beispiel, eine Nichtidentität begrenzte Gruppe ist einfach, wenn, und nur wenn es zu ganzer seiner Nichtidentität homomorphic Images isomorph ist, eine begrenzte Gruppe vollkommen ist, wenn, und nur wenn es keine normalen Untergruppen des Hauptindex hat, und eine Gruppe unvollständig ist, wenn, und nur wenn die abgeleitete Untergruppe durch keine richtige normale Untergruppe ergänzt wird.

Beispiele

• Die Untergruppe {e}, aus gerade dem Identitätselement von G und G bestehend, selbst ist immer normale Untergruppen von G. Der erstere wird die triviale Untergruppe genannt, und wenn das die einzigen normalen Untergruppen sind, dann, wie man sagt, ist G einfach.
• Das Zentrum einer Gruppe ist eine normale Untergruppe.
• Die Umschalter-Untergruppe ist eine normale Untergruppe.
• Mehr allgemein ist jede charakteristische Untergruppe normal, da Konjugation immer ein automorphism ist.
• Alle Untergruppen N einer abelian Gruppe G, sind weil gN = Ng normal. Eine Gruppe, die nicht abelian ist, aber für den jede Untergruppe normal ist, wird eine Gruppe von Hamiltonian genannt.
• Die Übersetzungsgruppe in jeder Dimension ist eine normale Untergruppe der Euklidischen Gruppe; zum Beispiel im 3D-Drehen, Übersetzen und Drehen läuft zurück nur auf Übersetzung hinaus; auch das Reflektieren, übersetzend und nachdenkend, läuft wieder nur auf Übersetzung hinaus (eine in einem Spiegel gesehene Übersetzung sieht wie eine Übersetzung, mit einem widerspiegelten Übersetzungsvektoren aus). Die Übersetzungen durch eine gegebene Entfernung in jeder Richtung bilden eine conjugacy Klasse; die Übersetzungsgruppe ist die Vereinigung von denjenigen für alle Entfernungen.
• In der Würfel-Gruppe von Rubik ist die Untergruppe, die aus Operationen besteht, die nur die Eckstücke betreffen, normal, weil keine verbundene Transformation solch eine Operation ein Rand-Stück statt einer Ecke kann betreffen lassen. Im Vergleich ist die Untergruppe, die aus Umdrehungen des Spitzengesichtes nur besteht, nicht normal, weil eine verbundene Transformation Teile des Spitzengesichtes zum Boden bewegen kann und folglich sich nicht alles Elemente dieser Untergruppe paart, werden in der Untergruppe enthalten.

Jedoch evenif ist H eine normale Untergruppe von G, das bedeutet nicht, dass sich ah=ha für den ganzen h€H und für den ganzen a€G.As das folgende Beispiel zeigt:

Betrachten Sie die Gruppe als S3. Lassen Sie H = {e, (1 2 3), (1 3 2)}. Dann ist H eine Untergruppe von S3. Seitdem e, (1 2 3) und (1 3 2) sind Elemente von H, hieraus folgt dass eH=He, (1 2 3) H=H (1 2 3) und (1 3 2) H=H (1 3 2).Now

(1 2) H = {(1 2), (1 2) (1 2 3), (1 2) (1 3 2) }\

H (1 2) = {(1 2), (1 3 2) (1 2), (1 2 3) (1 2) }\

Folglich (1 2) H=H (1 2)

(2 3) H = {(2 3), (2 3) (1 2 3), (2 3) (1 3 2)} = {(2 3), (1 3), (1 2) }\

H (2 3) = {(2 3), (1 2 3) (2 3), (1 3 2) (2 3)} = {(2 3), (1 2), (1 3) }\

Folglich (2 3) H=H (2 3)

Auch ebenso kann dem das gezeigt werden

(1 3) H=H (1 3)

Folglich ist H eine normale Untergruppe. Jedoch weisen wir darauf für (1 2 3) €H und (2 3) €G (=S3) (2 3) (1 2 3) = (1 3)  (1 2) = (1 2 3) (2 3) darauf hin

Eigenschaften

• Normalität wird auf den surjective Homomorphismus bewahrt, und wird auch nach der Einnahme umgekehrter Images bewahrt.
• Normalität wird bei der Einnahme direkter Produkte bewahrt
• Eine normale Untergruppe einer normalen Untergruppe einer Gruppe braucht in der Gruppe nicht normal zu sein. D. h. Normalität ist nicht eine transitive Beziehung. Jedoch ist eine charakteristische Untergruppe einer normalen Untergruppe normal. Außerdem ist eine normale Untergruppe eines Hauptfaktors normal. Insbesondere eine normale Untergruppe eines direkten Faktors ist normal.
• Jede Untergruppe des Index 2 ist normal. Mehr allgemein enthält eine Untergruppe H des begrenzten Index n in G eine Untergruppe K normal in G und des Index, der sich n teilt! genannt den normalen Kern. Insbesondere wenn p das kleinste Hauptteilen der Ordnung von G ist, dann ist jede Untergruppe des Index p normal.

Gitter von normalen Untergruppen

Die normalen Untergruppen einer Gruppe G bilden ein Gitter unter der Teilmenge-Einschließung mit kleinstem Element {e} und größtem Element G. In Anbetracht zwei normaler Untergruppen N und M in G, treffen Sie sich wird als definiert

:

und Verbindungslinie wird als definiert

:

Das Gitter ist abgeschlossen und modular.

Normale Untergruppen und Homomorphismus

Wenn N normale Untergruppe ist, können wir eine Multiplikation auf cosets durch definieren

:: = (aa) N.

Das verwandelt sich der Satz von cosets in eine Gruppe hat die Quotient-Gruppe G/N genannt. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus f: G  G/N gegeben durch f (a) =. Das Image f (N) besteht nur aus dem Identitätselement von G/N, der coset eN = N.

Im Allgemeinen, ein Gruppenhomomorphismus f: G  sendet H Untergruppen von G zu Untergruppen von H. Außerdem ist das Vorimage jeder Untergruppe von H eine Untergruppe von G. Wir nennen das Vorimage der trivialen Gruppe {e} in H der Kern des Homomorphismus und zeigen es durch ker (f) an. Da es sich erweist, ist der Kern immer normal, und das Image f (G) G ist immer zu G/ker (f) (der erste Isomorphismus-Lehrsatz) isomorph. Tatsächlich ist diese Ähnlichkeit eine Bijektion zwischen dem Satz aller Quotient-Gruppen G/N von G und dem Satz aller homomorphic Images von G (bis zum Isomorphismus). Es ist auch leicht, dass der Kern der Quotient-Karte, f zu sehen: G  G/N, ist N selbst, so haben wir gezeigt, dass die normalen Untergruppen genau die Kerne des Homomorphismus mit dem Gebiet G sind.

Lehrsatz: Wenn H und K zwei Untergruppen einer Gruppe G, dann sind

1. wenn H eine normale Untergruppe von G ist, dann ist HK=KH eine Untergruppe von G.
2. wenn H und K beide normale Untergruppen von G dann sind, ist HK=KH eine normale Untergruppe von G.
3. wenn H und K beide normale Untergruppen von G dann sind, ist HK eine normale Untergruppe von G.'

Beweis:

1. Lassen Sie bK. Dann bezieht Hb=bH HbKH ein. Das ist für jeden bK wahr. Folglich HKKH. Ähnlich kann ihm das KHHK gezeigt werden. So HK=KH. So ist HK eine Untergruppe von G. (Zeichen: Es ist ein Lehrsatz, dass, wenn H und K zwei Untergruppen von G und HK=KH dann sind, HK eine Untergruppe von G. ist)
2. Nehmen Sie an, dass H und K beide normale Untergruppen von G sind. Jetzt von (i) ist HK=KH eine Untergruppe von G. Lassen Sie gG. Dann gHKg=gHggKg = (gHg) (gKg) HK. Folglich ist HK eine normale Untergruppe von G.
3. Da H und K Untergruppen sind, ist HK auch eine Untergruppe. Lassen Sie gG und aHK. Dann gaggHgHK und Knebel gKgK. Seit dem Knebel HK für den ganzen aHK finden wir dass g (HK) gHK für den ganzen gG. Folglich ist HK eine normale Untergruppe von G.

Lehrsatz:

Lassen Sie H eine normale Untergruppe einer Gruppe G sein. Zeigen Sie den Satz des ganzen cosets {ah an: AG} durch G/H und definieren * auf G/H durch für alle ah, bH  G/H, (ah) * (bH) =abH. Dann (G/H, *) ist eine Gruppe.

Beweis: Zuallererst müssen wir zeigen, dass die Operation * binäre Operation auf G/H gut definiert wird. Mit anderen Worten müssen wir das zeigen, wenn aH=aH und bH=bH dann (ab) H = (ab) H, wie das dass aH*bH = (ab) H (ab) H=aH * bH zeigen wird. Lassen Sie jetzt aH=aH, und bH=bH wird gegeben. Das deutet an, dass a=ah und b = bh für einen h, h H.Then (ab) ab = (b) (a) ahbh (1.1) Seitdem H eine normale Untergruppe, HB = bH und hencehb =bh forsome hH sind. Folglich von (1.1) (ab) = bbhh = hh  deutet H.This dass (ab) H = (ab) H an. HenceaH*bH=abH=abH=aH*bH und so * ist definierte binäre Operation von awell auf G/H.Next, den wir dem associativitty * auf G/H zeigen. Lassen Sie ah, bH, cH  G/H.NowaH * (bH*cH) =aH*bcH=a (bc) H = (ab) cH=abH*cH = (aH*bH) *cH. Folglich * ist assoziativ. Jetzt wie  G/H und aH*eH=aeH=aH=eaH=eH*aHfor alle ah  G/H. Folglich wie ist die Identität (G/H, *). Auch für alle ah  ist (G/H), ah  G/H andaH*aH=aaH=eH=aaH=aH* aH.Here für alle ah  G/H, ah das Gegenteil ah. So (G/H, *) ist eine Gruppe.

EINIGE ERGEBNISSE HABEN SICH AUF NORMALE UNTERGRUPPEN BEZOGEN

• Lassen Sie H eine Untergruppe von solchem G dass [G sein: H] =2. Dann ist H eine normale Untergruppe.

:: Beweis: Seitdem [G: H] =2 hat die Gruppe G nur zwei verschieden haben cosets und nur zwei verschiedenes Recht cosets verlassen. Jetzt H selbst ist ein linker sowie roght coset in G. Lassen Sie aG.If aH, dann aH=H=Ha. Nehmen Sie an, dass ein nicht H.Then aHH gehört. Folglich G=HυaH und HaH =Φ. Dann aH=G-H. Wieder seit einem nicht gehören H, und G hat nur zwei Recht cosets, wir finden das G=HυHa wo HHa =Φ. So Ha=G-H. Folglich Ha=aH.Thus wir finden, dass aH=Ha für den ganzen aG und so H eine normale Untergruppe von G ist.

• Das Zentrum einer Gruppe G, gegeben durch Z (G) = {aG: Ag=ga für den ganzen gG} ist eine normale Untergruppe von G.

:: Beweis: Wir wissen, dass das Zentrum einer Gruppe eine Untergruppe dieser Gruppe ist. Jetzt für jeden gG und jeden aZ (G). gag=agg=aZ (G) und folglich, gZ (G) gZ (G). Folglich Z ist (G) eine normale Untergruppe.

• Lassen Sie/h Untergruppe der Gruppe sein G.If xH für den ganzen xG, dann H ist eine normale Untergruppe von G, und G/H ist auswechselbar.

:: Beweis: Lassen Sie gG und hH. Denken Sie ghg und bemerken Sie dass ghg=ghghhg = (gh) hg. Jetzt hH und durch unsere Hypothese (gh), gH. Das deutet an, dass ghgH der zeigt der Reihe danach gHg? H. Folglich ist H ein normaler subgrpup von G. G/H zu zeigen, ist auswechselbar, lassen Sie xH, yH G/H.We zeigen dass xHyH=yHxH oder xyH-yxH oder (yx) (xy) H. Jetzt, (yx) (xy) = (xy) (xy) = (xy) (yxy) y. Seitdem aH für den ganzen aG, hieraus folgt dass (xy) (yxy) yH und so (yx) (xy) H. Folglich ist G/H auswechselbar.

• Lassen Sie G eine solche Gruppe sein, dass jede zyklische Untergruppe von G eine normale Untergruppe von G ist. Dann ist jede Untergruppe von G eine normale Untergruppe von G.

:: Beweis: Lassen Sie H eine Untergruppe von G sein. Lassen Sie gG und aH.Then Knebel 

• Gelassener H ist eine richtige Untergruppe einer Gruppe G. solch das für den ganzen x, yG-H, xyH. Dann ist H eine normale Untergruppe von G.

:: Beweis: Lassen Sie xG-H. Dann xG-H. Lassen Sie yH. Dann xyG-H, (für sonst, x=xyyH). So xy, xG-H. Folglich xyxH.Also für jeden xH, wir haben xyxH. So ist H eine normale Untergruppe von G.

• Lassen Sie H eine Untergruppe der Gruppe G sein. Nehmen Sie an, dass das Produkt zwei abgereist ist, ist cosets von H in G wieder ein linker coset von H in G. Dann ist H eine Normale Untergruppe von G.

:: Beweis: Lassen Sie gG, Dann gHgH=tH für einen tG.. So e=gegetH. Folglich e=th für einen hH.Thus t=hH so dass tH=H. Jetzt gHg? gHgH=H. Folglich ist H eine normale Untergruppe.

Siehe auch

Operationen, die Untergruppen in Untergruppen bringen

• normalizer
• verbundener Verschluss
• normaler Kern

Untergruppe-Eigenschaften ergänzend (oder gegenüber) zur Normalität

• Malnormal-Untergruppe
• Contranormal-Untergruppe
• anomale Untergruppe
• das Selbstnormalisieren der Untergruppe

Untergruppe-Eigenschaften, die stärker sind als Normalität

• charakteristische Untergruppe
• völlig charakteristische Untergruppe

Untergruppe-Eigenschaften, die schwächer sind als Normalität

• unterdurchschnittliche Untergruppe
• aufgehende Untergruppe
• Nachkomme-Untergruppe
• quasinormale Untergruppe
• halbnormale Untergruppe
• konjugieren Sie permutable Untergruppe
• Moduluntergruppe
• pro-normale Untergruppe
• paranormale Untergruppe
• polynormale Untergruppe
• c normale Untergruppe

Zusammenhängende Begriffe in der Algebra

• Ideal (rufen Theorie an)
• I. N. Herstein, Themen in der Algebra. Die zweite Ausgabe. Das Xerox-Universitätsveröffentlichen, Lexington, Mass.-Toronto, Ont. 1975. Xi+388-Seiten.
• David S. Dummit; Richard M. Foote, Abstrakte Algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Klippen, New Jersey, 1991. Seiten xiv, 658 internationale Standardbuchnummer 0-13-004771-6
• Sen., Ghosh, Mokhopadhyay, "Themen in der Abstrakten Algebra".Second Ausgabe. Universitätspresse (Indien) Private Limited. Internationale Standardbuchnummer 978-81-7371-551-8

Außenverbindungen

• Normale Untergruppe in der Enzyklopädie des Springers der Mathematik
• Robert Ash: Gruppengrundlagen in der abstrakten Algebra. Das grundlegende Absolventenjahr
• John Baez, was ist eine normale Untergruppe?