In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Lognormalvertrieb ein dauernder Wahrscheinlichkeitsvertrieb einer zufälligen Variable, deren Logarithmus normalerweise verteilt wird. Wenn X eine zufällige Variable mit einer Normalverteilung ist, dann hat Y = exp (X) einen Lognormalvertrieb; ebenfalls, wenn Y Lognormal-verteilt wird, dann X = wird Klotz (Y) normalerweise verteilt. (Das ist unabhängig von der Basis der logarithmischen Funktion wahr: Wenn Klotz (Y) normalerweise verteilt wird, dann so ist Klotz (Y), für irgendwelche zwei positiven Zahlen a, b  1.)

Lognormal-wird auch Klotz normal oder lognormal geschrieben. Es wird gelegentlich den Vertrieb von Galton oder den Vertrieb von Galton nach Francis Galton genannt.

Eine Variable könnte so Lognormal-modelliert werden, wenn davon gedacht werden kann wie das multiplicative Produkt von vielen unabhängigen zufälligen Variablen, von denen jede positiv ist. Zum Beispiel, in der Finanz, konnte die Variable die zusammengesetzte Rückkehr von einer Folge von vielem Handel (jeder ausgedrückt als seine Rückkehr + 1) vertreten; oder ein langfristiger Preisnachlass-Faktor kann aus dem Produkt von Kurzzeitpreisnachlass-Faktoren abgeleitet werden. In der Radiokommunikation, wie man häufig annimmt, wird die Verdünnung, die durch die Beschattung oder das langsame Verblassen von zufälligen Gegenständen verursacht ist, Lognormal-verteilt: Sieh Pfad-Verlust-Modell der Klotz-Entfernung.

Der Lognormalvertrieb ist der maximale Wärmegewicht-Wahrscheinlichkeitsvertrieb für einen zufälligen variate X, für den das bösartige und die Abweichung dessen befestigt werden.

μ und σ

In einem Lognormalvertrieb X haben die Rahmen μ und σ angezeigt, sind die Mittel- und Standardabweichung beziehungsweise vom natürlichen Logarithmus der Variable (definitionsgemäß, der Logarithmus der Variable wird normalerweise verteilt), was bedeutet

:

mit Z eine normale Standardvariable.

Auf einer logarithmischen Skala kann μ und σ den Positionsparameter und den Skala-Parameter beziehungsweise genannt werden.

Im Gegensatz, die Mittel- und Standardabweichung der non-logarithmized Musterwerte sind angezeigte M und s.d. in diesem Artikel.

Charakterisierung

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion eines Lognormalvertriebs ist:

:

Das folgt durch die Verwendung der Regel der Änderung Variablen auf der Dichte-Funktion einer Normalverteilung.

Kumulative Vertriebsfunktion

:

wo erfc die Ergänzungsfehlerfunktion ist, und Φ der normale normale cdf ist.

Charakteristische Funktion und Moment-Erzeugen-Funktion

Die charakteristische Funktion, E [e], hat mehrere Darstellungen. Das Integral selbst läuft für Im (t)  0 zusammen. Die einfachste Darstellung wird von Taylor erhalten, der sich e ausbreitet und Formel seit Momenten unten verwendet, gebend

:

Diese Reihe-Darstellung ist für Re (σ)> 0 auseinander gehend. Jedoch ist es genügend, für die charakteristische Funktion numerisch am positiven zu bewerten, so lange die obere Grenze in der Summe oben begrenzt, n  N, wo behalten wird

:

und σ wird auch mit Rahmen μm, σm Lognormal-verteilt. Seitdem konnte die Ungleichheit für die genug kleine M zufrieden sein. Die Summe der Reihe läuft zuerst zum Wert von φ (t) mit der willkürlichen hohen Genauigkeit zusammen, wenn M kleiner genug und verlassener Teil der starken Ungleichheit ist, ist zufrieden. Wenn die beträchtlich größere Zahl von Begriffen in Betracht gezogen wird, weicht die Summe schließlich ab, wenn der richtige Teil der starken Ungleichheit nicht mehr gültig ist.

Eine andere nützliche Darstellung wurde von Roy Lepnik abgeleitet (sieh Verweisungen durch diesen Autor und durch Daniel Dufresne unten) mittels der doppelten Vergrößerung von Taylor von e.

Die Momentenerzeugungsfunktion für den Lognormalvertrieb besteht auf dem Gebiet R nicht, aber besteht nur auf dem Halbzwischenraum , 0.

Eigenschaften

Position und Skala

Für den Lognormalvertrieb werden die Position und Skala-Eigenschaften des Vertriebs mit dem geometrischen Mittel und der geometrischen Standardabweichung mehr sogleich behandelt als die arithmetische Mittel- und Standardabweichung.

Geometrische Momente

Das geometrische Mittel des Lognormalvertriebs ist. Weil der Klotz einer Lognormalvariable symmetrisch ist und quantiles unter monotonischen Transformationen bewahrt werden, ist das geometrische Mittel eines Lognormalvertriebs seiner Mittellinie gleich.

Das geometrische Mittel (m) kann aus der Arithmetik bösartig (m) in einem Lognormalvertrieb wechselweise abgeleitet werden durch:

:

Die geometrische Standardabweichung ist dem gleich.

Arithmetische Momente

Wenn X verteilte Variable eines lognormally, sein erwarteter Wert ist (E - der, wie man annehmen kann, die Arithmetik bösartig vertritt), Abweichung (Var) und Standardabweichung (s.d). sind

:

& \operatorname {E} [X] = e^ {\\mu + \tfrac {1} {2 }\\sigma^2}, \\

& \operatorname {Var} [X] = (e^ {\\sigma^2} - 1) e^ {2\mu + \sigma^2} \\

& \operatorname {s.d.} [X] = \sqrt {\\operatorname {Var} [X]} = e^ {\\mu + \tfrac {1} {2 }\\sigma^2 }\\sqrt {e^ {\\sigma^2} - 1}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Gleichwertig können Rahmen μ und σ erhalten werden, wenn der erwartete Wert und die Abweichung bekannt sind:

:

\mu &= \ln (\mathrm {E} [X]) - \frac12 \ln \!\left (1 + \frac {\\mathrm {Var} [X]} {(\mathrm {E} [X]) ^2 }\\Recht), \\

\sigma^2 &= \ln \!\left (1 + \frac {\\mathrm {Var} [X]} {(\mathrm {E} [X]) ^2 }\\Recht).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Für jede reelle Zahl oder komplexe Zahl s wird der s Moment von Lognormal-X durch gegeben

:

Ein Lognormalvertrieb wird durch seine Momente E [X] für k  1 nicht einzigartig bestimmt, d. h. dort besteht ein anderer Vertrieb mit denselben Momenten für den ganzen k. Tatsächlich gibt es eine ganze Familie des Vertriebs mit denselben Momenten wie der Lognormalvertrieb.

Weise und Mittellinie

Die Weise ist der Punkt des globalen Maximums der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion. Insbesondere es löst die Gleichung (ln ƒ)  = 0:

:

Die Mittellinie ist solch ein Punkt wo F = 1/2:

:

Koeffizient der Schwankung

Der Koeffizient der Schwankung ist das Verhältnis s.d. über die M (auf der natürlichen Skala)

und ist gleich:

:

Teilweise Erwartung

Die teilweise Erwartung einer zufälligen Variable X in Bezug auf eine Schwelle k wird als g (k) = E [X | X> k] P [X> k] definiert. Für eine zufällige Lognormalvariable wird die teilweise Erwartung durch gegeben

:

= e^ {\\mu +\tfrac {1} {2 }\\sigma^2 }\\, \Phi \!\left (\frac {\\mu +\sigma^2-\ln k} {\\Sigma }\\Recht). </Mathematik>

Diese Formel hat Anwendungen in der Versicherung und Volkswirtschaft, es wird im Lösen der teilweisen Differenzialgleichung verwendet, die zur Schwarzen-Scholes Formel führt.

Anderer

Eine Reihe von Daten, der aus dem Lognormalvertrieb entsteht, lässt sich einen symmetrischen Lorenz biegen (sieh auch Asymmetrie-Koeffizienten von Lorenz).

Die Harmonische (H), geometrisch (G) und Arithmetik (A) Mittel dieses Vertriebs ist verbunden

H = G / EIN

Ereignis

• In der Biologie schließen Variablen, deren Logarithmen dazu neigen, eine Normalverteilung zu haben, ein:
• Maßnahmen der Größe des lebenden Gewebes (Länge, Höhe, Hautgebiet, Gewicht);
• Die Länge von trägen Anhängen (Haar, Klauen, Nägel, Zähne) biologischer Muster, in der Richtung auf das Wachstum;
• Bestimmte physiologische Maße, wie Blutdruck von erwachsenen Menschen (nach der Trennung auf männlichen/weiblichen Subbevölkerungen)

:Consequently, Bezugsreihen für Maße in gesunden Personen werden durch das Annehmen eines Lognormalvertriebs genauer geschätzt als durch das Annehmen eines symmetrischen Vertriebs über das bösartige.

• In der Hydrologie wird der Lognormalvertrieb verwendet, um äußerste Werte solcher Variablen als monatliche und jährliche maximale Werte des täglichen Niederschlags und der Flussentladungsvolumina zu analysieren.
• Das Image illustriert rechts ein Beispiel, den Lognormalvertrieb an aufgereihte jährlich maximale eintägige Niederschläge zu passen, die auch den auf dem binomischen Vertrieb gestützten 90-%-Vertrauensriemen zeigen. Die Niederschlag-Daten werden durch das Plotten von Positionen als ein Teil der kumulativen Frequenzanalyse vertreten.
• In der Finanz insbesondere werden das Schwarze-Scholes Modell, die Änderungen im Logarithmus von Wechselkursen, Preisindizes und Aktienbörse-Indizes normal angenommen (diese Variablen benehmen sich wie Zinseszinsen, nicht wie einfaches Interesse, und sind auch multiplicative). Jedoch haben einige Mathematiker wie Benoît Mandelbrot behauptet, dass Vertrieb der Klotz-Erhebung, der schwere Schwänze besitzt, ein passenderes Modell insbesondere für die Analyse für Aktienbörse-Unfälle sein würde. Tatsächlich stellt Aktienpreisvertrieb normalerweise einen fetten Schwanz aus.
• Der Vertrieb von Stadtgrößen ist lognormal. Das folgt aus dem Gesetz von Gibrat von proportionalen (oder ohne Skalen) Wachstum. Ohne Rücksicht auf ihre Größe folgen alle Städte demselben stochastischen Wachstumsprozess. Infolgedessen wird der Logarithmus der Stadtgröße normalerweise verteilt. Es gibt auch Beweise von lognormality im festen Größe-Vertrieb und des Gesetzes von Gibrat.
• In der Zuverlässigkeitsanalyse ist der lognormal Vertrieb häufig an Musterzeiten gewöhnt, um ein haltbares System zu reparieren.
• In der Radiokommunikation, "hat die Lokal-Mittelmacht, die in logarithmischen Werten, wie DB oder neper ausgedrückt ist, einen normalen (d. h., Gaussian) Vertrieb."
• Es ist vorgeschlagen worden, dass Koeffizienten der Reibung und des Tragens behandelt werden können als, einen lognormal Vertrieb zu haben

Maximale Wahrscheinlichkeitsbewertung von Rahmen

Für die maximalen Wahrscheinlichkeitsvorkalkulatoren der Lognormalvertriebsrahmen μ und σ zu bestimmen, können wir dasselbe Verfahren bezüglich der Normalverteilung verwenden. Um Wiederholung zu vermeiden, beobachten wir das

:

wo durch den ƒ wir die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des Lognormalvertriebs und durch den ƒ diese der Normalverteilung anzeigen. Deshalb, mit denselben Indizes, um Vertrieb anzuzeigen, können wir die Funktion der Klotz-Wahrscheinlichkeit so schreiben:

:

\begin {richten }\aus

\ell_L (\mu, \sigma | x_1, x_2, \dots, x_n)

& {} = - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n) \\

& {} = \operatorname {unveränderlich} + \ell_N (\mu, \sigma | \ln x_1, \ln x_2, \dots, \ln x_n).

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Da der erste Begriff hinsichtlich μ unveränderlich ist und σ, sowohl logarithmische Wahrscheinlichkeitsfunktionen,  als auch , ihr Maximum mit demselben μ und σ erreichen. Folglich, mit den Formeln für die Normalverteilungsmaximum-Wahrscheinlichkeitsparameter-Vorkalkulatoren und die Gleichheit oben, leiten wir ab, dass für den Lognormalvertrieb sie das hält

:

\widehat \sigma^2 = \frac {\\sum_k \left (\ln x_k - \widehat \mu \right) ^2} {n}. </Mathematik>

Das Erzeugen "des Klotzes hat normalerweise" zufälligen variates verteilt

In Anbetracht eines zufälligen variate N gezogen von der Normalverteilung mit 0 bösartigem und 1 Standardabweichung, dann der variate

:

hat einen Lognormalvertrieb mit Rahmen und.

Zusammenhängender Vertrieb

• Wenn eine Normalverteilung, dann ist
• Wenn Lognormal-verteilt wird, dann eine normale zufällige Variable ist.
• Wenn n unabhängige Lognormal-verteilte Variablen sind, und, dann wird Y auch Lognormal-verteilt:

:

• Lassen Sie, unabhängige Lognormal-verteilte Variablen mit dem möglichen Verändern σ und μ Rahmen zu sein, und. Der Vertrieb von Y hat keinen Ausdruck der geschlossenen Form, aber kann durch einen anderen Lognormalvertrieb Z am rechten Schwanz vernünftig näher gekommen werden. Seine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion an der Nachbarschaft 0 wird darin charakterisiert (Gao u. a. 2009), und es ähnelt keinem Lognormalvertrieb. Eine allgemein verwendete Annäherung (wegen Fentons und Wilkinsons) wird durch das Zusammenbringen des bösartigen und der Abweichung erhalten:

:

\sigma^2_Z &= \log \!\left [\frac {\\summieren e^ {2\mu_j +\sigma_j^2} (e^ {\\sigma_j^2}-1)} {(\sum e^ {\\mu_j +\sigma_j^2/2}) ^2} + 1\right], \\

\mu_Z &= \log \!\left [\sum e^ {\\mu_j +\sigma_j^2/2} \right] - \frac {\\sigma^2_Z} {2}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Im Fall, dass alle denselben Abweichungsparameter haben, vereinfachen diese Formeln zu

:

\sigma^2_Z &= \log \!\left [(e^ {\\sigma^2}-1) \frac {\\summieren e^ {2\mu_j}} {(\sum e^ {\\mu_j}) ^2} + 1\right], \\

\mu_Z &= \log \!\left [\sum e^ {\\mu_j} \right] + \frac {\\sigma^2} {2} - \frac {\\sigma^2_Z} {2}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

• Wenn, dann X +, wie man sagt, hat c einen ausgewechselten Lognormalvertrieb mit der Unterstützung x  (c, + ). E [X + c] = E [X] + c, Var [X + c] = Var [X].
• Wenn, dann

Wenn, dann

• Wenn dann für
• Vertrieb von Lognormal ist ein spezieller Fall des halbbegrenzten Vertriebs von Johnson
• Wenn mit, dann (Vertrieb von Suzuki)

Ähnlicher Vertrieb

• Ein Ersatz für den Lognormal-, dessen integriert in Bezug auf mehr Elementarfunktionen ausgedrückt werden kann (Swamee, 2002) kann gestützt auf dem logistischen Vertrieb erhalten werden, um den CDF zu bekommen

::

: Das ist ein mit dem Klotz logistischer Vertrieb.

Siehe auch

• Fehlerfunktion
• Pfad-Verlust-Modell der Klotz-Entfernung
• Das langsame Verblassen
• Stochastische Flüchtigkeit
• Heutige praktische Relevanz: Nanoparticles

Zeichen

• Aitchison, J. und braun, J.A.C. (1957) der Lognormal Vertrieb, Universität von Cambridge Presse.
• E. Limpert, W. Stahel und M Abbt (2001) Lognormalvertrieb über die Wissenschaften: Schlüssel und Hinweise, BioScience, 51 (5), 341-352.
• Eric W. Weisstein u. a. Loggen Sie Normalverteilung an MathWorld. Elektronisches Dokument, wiederbekommen am 26. Oktober 2006.
• Swamee, P.K. (2002). In der Nähe vom Lognormal Vertrieb, der Zeitschrift der Hydrologischen Technik. 7 (6): 441-444
• Roy B. Leipnik (1991), Auf Lognormal Zufälligen Variablen: Ich - Die Charakteristische Funktion, Zeitschrift der australischen Mathematischen Gesellschaftsreihe B, vol. 32, Seiten 327-347.
• Gao u. a. (2009), Asymptotische Handlungsweisen der Schwanz-Dichte für die Summe von Aufeinander bezogenen Lognormal Variablen. Internationale Zeitschrift der Mathematik und Mathematischen Wissenschaften.
• Daniel Dufresne (2009), SUMMEN VON LOGNORMALS, Zentrum für Aktuarstudien, Universität Melbournes.

Weiterführende Literatur

• Robert Brooks, Jon Corson und J. Donal Wales. "Die Preiskalkulation von Index-Optionen, Wenn das Zu Grunde liegende Vermögen Alle einer Lognormal Verbreitung", in Fortschritten in der Terminware- und Optionsforschung, Band 7, 1994 Folgen.