Das Schwarze-Scholes Modell (hat) sich (ausgesprochen), oder Black-Scholes-Merton ist ein mathematisches Modell eines Finanzmarktes, der bestimmte abgeleitete Investitionsinstrumente enthält. Vom Modell kann man die Schwarze-Scholes Formel ableiten, die den Preis von europäisch-artigen Optionen gibt. Die Formel hat zu einem Boom im Optionshandel geführt und hat wissenschaftlich die Tätigkeiten des Chikagoer Vorstandsoptionsaustausches und der anderen Optionsmärkte um die Welt legitimiert. Leutnant wird von Optionsmarktteilnehmern weit verwendet. Viele empirische Tests haben gezeigt, dass der Schwarze-Scholes Preis an den beobachteten Preisen "ziemlich nah" ist, obwohl es wohl bekannte Diskrepanzen wie das "Auswahl-Lächeln" gibt.

Das Modell wurde zuerst von Fischer Schwarz und Myron Scholes in ihrer 1973-Zeitung artikuliert, "Die Preiskalkulation von Optionen und Korporativen Verbindlichkeiten" hat in der Zeitschrift der Politischen Wirtschaft veröffentlicht. Sie haben eine teilweise Differenzialgleichung, jetzt genannt die Schwarze-Scholes Gleichung abgeleitet, die den Preis der Auswahl mit der Zeit regelt. Die Schlüsselidee hinter der Abstammung war, vollkommen die Auswahl durch das Kaufen und den Verkauf des zu Grunde liegenden Aktivpostens auf gerade die richtige Weise abzusichern, und folglich "beseitigen Gefahr". Diese Hecke wird Delta-Absicherung genannt und ist die Basis von mehr komplizierten Sicherungsstrategien wie diejenigen, die mit durch Investitionsbanken von Wall Street beschäftigt sind. Die Hecke deutet an, dass es nur einen richtigen Preis für die Auswahl gibt und es durch die Schwarze-Scholes Formel gegeben wird.

Robert C. Merton war erst, um eine Zeitung zu veröffentlichen, die das mathematische Verstehen der Optionen ausbreitet, Modell bewertend, und hat den Begriff Schwarze-Scholes Optionen ins Leben gerufen, Modell bewertend. Merton und Scholes haben den 1997-Nobelpreis in der Volkswirtschaft (Der Sveriges Riksbank Preis in Wirtschaftswissenschaften im Gedächtnis von Alfred Nobel) für ihre Arbeit erhalten. Obwohl ungeeignet, für den Preis wegen seines Todes 1995, Schwarz wurde als ein Mitwirkender von der schwedischen Akademie erwähnt.

Annahmen

Das Schwarze-Scholes Modell des Marktes für ein besonderes Lager macht die folgenden ausführlichen Annahmen:

• Es gibt keine Arbitrage-Gelegenheit (d. h. es gibt keine Weise, einen gefahrlosen Gewinn zu machen).
• Es ist möglich, Bargeld an einem bekannten unveränderlichen risikolosen Zinssatz zu leihen und zu leihen.
• Es ist möglich, jeden Betrag, sogar unbedeutend, vom Lager zu kaufen und zu verkaufen (das schließt Blankoverkauf ein).
• Die obengenannten Transaktionen übernehmen keine Gebühren oder Kosten (d. h., frictionless Markt).
• Der Aktienpreis folgt einer geometrischen Brownschen Bewegung mit dem unveränderlichen Antrieb und der Flüchtigkeit.
• Die zu Grunde liegende Sicherheit bezahlt keine Dividende.

Von diesen Annahmen, Schwarz und Scholes hat gezeigt, dass "es möglich ist, eine abgesicherte Position zu schaffen, aus einer langen Position im Lager und einer kurzen Position in der Auswahl bestehend, deren Wert vom Preis des Lagers nicht abhängen wird."

Mehrere dieser Annahmen des ursprünglichen Modells sind in nachfolgenden Erweiterungen des Modells entfernt worden. Moderne Versionsrechnung für sich ändernde Zinssätze (Merton, 1976), Transaktionskosten und Steuern (Ingersoll, 1976), und Dividendenausschüttung.

Notation

Lassen Sie

:, seien Sie der Preis des Lagers (bemerken Sie bitte als unten).

: der Preis einer Ableitung als eine Funktion der Zeit und des Aktienpreises.

: der Preis einer europäischen Kaufoption und der Preis einer europäischen Verkaufsoption.

: der Schlag der Auswahl.

: der auf Jahresbasis umgerechnete risikolose Zinssatz, unaufhörlich zusammengesetzt.

: die Antrieb-Rate, auf Jahresbasis umgerechnet.

: die Flüchtigkeit des Umsatzes des Lagers; das ist die Quadratwurzel der quadratischen Schwankung des Klotz-Preisprozesses des Lagers.

: eine Zeit in Jahren; wir verwenden allgemein: now=0, expiry=T.

: der Wert einer Mappe.

Schließlich werden wir verwenden

der die kumulative normale Standardvertriebsfunktion, anzeigt

:.

der die normale Standardwahrscheinlichkeitsdichte-Funktion, anzeigt

:.

Die Schwarze-Scholes Gleichung

Als oben ist die Schwarze-Scholes Gleichung eine teilweise Differenzialgleichung, die den Preis der Auswahl mit der Zeit beschreibt. Die Schlüsselidee hinter der Gleichung besteht darin, dass man die Auswahl vollkommen absichern kann, indem man kauft und den zu Grunde liegenden Aktivposten auf gerade die richtige Weise verkauft, und folglich "Gefahr beseitigen". Diese Hecke deutet abwechselnd an, dass es nur einen richtigen Preis für die Auswahl, wie zurückgegeben, durch die Schwarze-Scholes in der folgenden Abteilung gegebene Formel gibt. Die Gleichung:

:

Abstammung

Die folgende Abstammung wird in den Optionen des Rumpfs, Terminwaren und Anderen Ableitungen gegeben. Das basiert abwechselnd auf dem klassischen Argument in der ursprünglichen Schwarzen-Scholes Zeitung.

Pro Musterannahmen oben folgt der Preis des zu Grunde liegenden Aktivpostens (normalerweise ein Lager) einer geometrischen Brownschen Bewegung. Das, ist

:

wo W Brownsche Bewegung ist. Bemerken Sie, dass W, und folglich seine unendlich kleine Zunahme dW, die einzige Quelle der Unklarheit in der Preisgeschichte des Lagers vertreten. Intuitiv W ist (t) ein Prozess, dass jiggles oben und unten auf solch eine zufällige Weise, wie seine erwarteten jeden Zeitabstand umstellen, 0 ist. (Außerdem ist seine Abweichung mit der Zeit T T gleich); eine gute getrennte Entsprechung für W ist ein einfacher zufälliger Spaziergang. So stellt die obengenannte Gleichung fest, dass die unendlich kleine Rate der Rückkehr auf dem Lager einen erwarteten Wert &mu hat; dt und eine Abweichung dessen.

Die Belohnung einer Auswahl an der Reife ist bekannt. Um seinen Wert in einer früheren Zeit zu finden, müssen wir wissen, wie sich als eine Funktion entwickelt und. Durch das Itō's Lemma für zwei Variablen haben wir

:

Denken Sie jetzt eine bestimmte Mappe, genannt die Mappe der Delta-Hecke, daraus bestehend, eine Auswahl und lange Anteile in der Zeit kurz zu sein. Der Wert dieses Vermögens ist

:

Im Laufe des Zeitabschnitts, des Gesamtgewinns oder Verlustes von Änderungen in den Werten des Vermögens ist:

:

Jetzt discretize die Gleichungen für dS/S und dV durch das Ersetzen von Differenzialen durch Deltas:

::

und setzen Sie sie passend in den Ausdruck ein für:

:

Bemerken Sie, dass der Begriff verschwunden hat. So ist Unklarheit beseitigt worden, und die Mappe ist effektiv gefahrlos. Die Rate der Rückkehr auf dieser Mappe muss der Rate der Rückkehr auf jedem anderen gefahrlosen Instrument gleich sein; sonst würde es Gelegenheiten für die Arbitrage geben. Jetzt ist das Annehmen der risikolosen Rate der Rückkehr wir müssen im Laufe des Zeitabschnitts haben

:

Wenn wir jetzt unsere zwei Formeln ausgleichen, weil wir vorherrschen:

:

Vereinfachung, wir erreichen die berühmte Schwarze-Scholes teilweise Differenzialgleichung:

:

Mit den Annahmen des Schwarzen-Scholes Modells diese zweite Ordnung hält teilweise Differenzialgleichung für jeden Typ der Auswahl, so lange seine Preisfunktion zweimal differentiable in Bezug auf und einmal in Bezug darauf ist. Verschiedene Preiskalkulationsformeln für verschiedene Optionen werden aus der Wahl der Belohnungsfunktion beim Ablauf entstehen und Grenzbedingungen verwenden.

Schwarze-Scholes Formel

Die Schwarze-Scholes Formel berechnet den Preis des Europäers gebracht und Kaufoptionen. Dieser Preis ist mit der Schwarzen-Scholes Gleichung als oben im Einklang stehend; das folgt, da die Formel durch das Lösen der Gleichung für die entsprechenden End- und Grenzbedingungen erhalten werden kann.

Der Wert einer Kaufoption für eine Nichtdividende, die zu Grunde liegendes Lager in Bezug auf die Schwarzen-Scholes Rahmen bezahlt, ist:

:

::

::

Der Preis einer entsprechenden auf der Gleichheit des stellet Anrufs gestützten Verkaufsoption ist:

:

P (S, t) &= Ke^ {-r (T-t)}-s+c (S, t) \\

&= N (-d_ {2}) ~K e^ {-r (T-t)}-N (-d_ {1}) ~S.

\end {richten }\\, </Mathematik> aus

Für beide, als oben:

• ist die kumulative Vertriebsfunktion der Standardnormalverteilung

• ist die Zeit zur Reife

• ist der Kassapreis des zu Grunde liegenden Aktivpostens

• ist der Schlag-Preis

• ist die risikolose Rate (jährliche Rate, die in Bezug auf das dauernde Zusammensetzen ausgedrückt ist)

• ist die Flüchtigkeit des Umsatzes des zu Grunde liegenden Aktivpostens

Interpretation

Die Begriffe sind die Wahrscheinlichkeiten der Auswahl, die im Geld unter dem gleichwertigen Exponentialmartingal-Wahrscheinlichkeitsmaß (numéraire=stock) und dem gleichwertigen Martingal-Wahrscheinlichkeitsmaß (numéraire=risk freier Aktivposten) beziehungsweise abläuft. Die Gefahr neutrale Wahrscheinlichkeitsdichte zum Aktienpreis ist

:

wo als oben definiert wird.

Spezifisch, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Anruf ausgeübt wird, vorausgesetzt dass man annimmt, dass der Anlagenantrieb die risikolose Rate ist., jedoch, leiht sich zu einer einfachen Wahrscheinlichkeitsinterpretation nicht. wird als der aktuelle Wert mit dem risikolosen Zinssatz des erwarteten Anlagenpreises am Ablauf richtig interpretiert, vorausgesetzt, dass der Anlagenpreis am Ablauf über dem Übungspreis ist. Für die zusammenhängende Diskussion - und grafische Darstellung - sieh Abteilung "Interpretation" unter der Datar-Mathews Methode für die echte Auswahl-Schätzung.

Das gleichwertige Martingal-Wahrscheinlichkeitsmaß wird auch genannt. Bemerken Sie, dass beide von diesen Wahrscheinlichkeiten in einem Maß theoretischer Sinn sind, und keiner von diesen die wahre Wahrscheinlichkeit ist, im Geld unter abzulaufen. Um die Wahrscheinlichkeit unter dem echten ("physischen") Wahrscheinlichkeitsmaß zu berechnen, ist Zusatzinformation - der Antrieb-Begriff im physischen Maß, oder gleichwertig, der Marktpreis der Gefahr erforderlich.

Abstammung

Wir zeigen jetzt, wie man vom allgemeinen Schwarzen-Scholes PDE bis eine spezifische Schätzung für eine Auswahl kommt. Betrachten Sie als ein Beispiel der Schwarze-Scholes Preis einer Kaufoption, für die der PDE oben Grenzbedingungen hat

:::

Die letzte Bedingung gibt den Wert der Auswahl zurzeit, dass die Auswahl reif wird. Die Lösung des PDE gibt den Wert der Auswahl in jeder früheren Zeit. Um den PDE zu lösen, gestalten wir die Gleichung in eine Verbreitungsgleichung um, die mit Standardmethoden gelöst werden kann. Zu diesem Ende führen wir die Transformation der Änderung der Variable ein

:::

Dann wird der Schwarze-Scholes PDE eine Verbreitungsgleichung

:

Die Endbedingung wird jetzt eine anfängliche Bedingung

:

Mit der Standardmethode, für eine Verbreitungsgleichung zu lösen, haben wir

:

der, nach einigen Manipulationen, Erträge

:

wo

::

Der Rückkehr zum ursprünglichen Satz von Variablen gibt die obengenannte festgesetzte Lösung der Schwarzen-Scholes Gleichung nach.

Andere Abstammungen

Oben haben wir die Methode der Preiskalkulation ohne Arbitragen ("Delta-Absicherung") verwendet, um den Schwarzen-Scholes PDE abzuleiten, und haben dann den PDE gelöst, um die Schätzungsformel zu bekommen. Es ist auch möglich, die Letzteren direkt das Verwenden eines Risikoneutralitätsarguments abzuleiten. Diese Methode gibt den Preis als die Erwartung der Auswahl-Belohnung unter einem besonderen Wahrscheinlichkeitsmaß, genannt das risikoneutrale Maß, das sich vom echten Weltmaß unterscheidet. Weil die zu Grunde liegende Logik Abteilung sieht "neutrale Schätzung" unter der Vernünftigen Preiskalkulation sowie Abteilung "unter der Mathematischen Finanz riskieren; für das Detail sieh wieder Rumpf.

Die Griechen

"Die Griechen" messen die Empfindlichkeit zur Änderung des Auswahl-Preises unter einer geringen Änderung eines einzelnen Parameters, während sie die anderen Rahmen befestigt halten. Formell sind sie partielle Ableitungen des Auswahl-Preises in Bezug auf die unabhängigen Variablen (technisch, ein Grieche, Gamma, ist eine partielle Ableitung eines anderen griechischen, genannten Deltas).

Die Griechen sind für die mathematische Theorie der Finanz, aber für diejenigen nicht nur wichtig, die aktiv am Handel beteiligt sind. Jeder seinem oder ihrem Salz werte Händler wird die Griechen kennen und eine Wahl der Griechen machen auszuweichen, um Aussetzung zu beschränken. Finanzeinrichtungen werden normalerweise Grenzen für die Griechen festlegen, die ihr Händler nicht übertreffen kann. Delta ist der wichtigste Grieche, und Händler werden Null ihr Delta am Ende des Tages. Gamma und vega sind auch wichtig, aber nicht wie nah kontrolliert.

Den Griechen für den Schwarzen-Scholes wird in der geschlossenen Form unten gegeben. Sie können durch die aufrichtige Unterscheidung der Schwarzen-Scholes Formel erhalten werden.

Bemerken Sie, dass das Gamma und die vega Formeln dasselbe für Anrufe sind und stellt. Das kann direkt von der Gleichheit des stellet Anrufs gesehen werden.

In der Praxis, wie man gewöhnlich ansetzt, vergleichen einige Empfindlichkeiten in schuppigen unten Begriffen, die Skala von wahrscheinlichen Änderungen in den Rahmen. Zum Beispiel wird rho häufig geteilt durch 10,000 (1bp Rate-Änderung), vega durch 100 (1 Vol-Punkt-Änderung), und theta durch 365 oder 252 (der Zerfall von 1 Tag berichtet, der entweder in den Kalendertagen oder in Handelstagen pro Jahr gestützt ist).

Erweiterungen des Modells

Das obengenannte Modell kann für die Variable (aber deterministisch) Raten und Flüchtigkeiten erweitert werden. Das Modell kann auch verwendet werden, um europäische Optionen auf Instrumente zu schätzen, die Dividenden bezahlen. In diesem Fall sind Lösungen der geschlossenen Form verfügbar, wenn die Dividende ein bekanntes Verhältnis des Aktienpreises ist. Amerikanische Optionen und Optionen auf Lager, die eine bekannte Kassendividende (kurzfristig, realistischer bezahlen als eine proportionale Dividende), sind schwieriger zu schätzen, und eine Wahl von Lösungstechniken ist (zum Beispiel Gitter und Bratrost) verfügbar.

Instrumente, die dauernde Ertrag-Dividenden bezahlen

Für Optionen auf Indizes ist es angemessen, die Vereinfachungsannahme zu machen, dass Dividenden unaufhörlich bezahlt werden, und dass der Dividendenbetrag zum Niveau des Index proportional ist.

Die im Laufe des Zeitabschnitts bezahlte Dividendenzahlung wird dann als modelliert

:

für eine Konstante (die Dividendenrendite).

Unter dieser Formulierung, wie man zeigen kann, ist der durch das Schwarze-Scholes Modell einbezogene Preis ohne Arbitragen

:

und

:

wo jetzt

:

ist der modifizierte Terminpreis, der in den Begriffen vorkommt:

:und:

Genau ist dieselbe Formel an Preisoptionen auf Devisenraten gewöhnt, außer dass jetzt q die Rolle des risikolosen Auslandszinssatzes spielt und S der Punkt-Wechselkurs ist. Das ist das Garman-Kohlhagen Modell (1983).

Instrumente, die getrennte proportionale Dividenden bezahlen

Es ist auch möglich, das Schwarze-Scholes Fachwerk zu Optionen auf Instrumente zu erweitern, die getrennte proportionale Dividenden bezahlen. Das ist nützlich, wenn die Auswahl auf einem einzelnen Lager geschlagen wird.

Ein typisches Modell soll annehmen, dass ein Verhältnis des Aktienpreises in vorher bestimmten Zeiten ausgezahlt wird. Der Preis des Lagers wird dann als modelliert

:

wo die Zahl von Dividenden ist, die durch die Zeit bezahlt worden sind.

Der Preis einer Kaufoption auf solch einem Lager ist wieder

:wo jetzt:

ist der Terminpreis für das Dividendenzahlen-Lager.

Schwarz-Scholes in der Praxis

Das Schwarze-Scholes Modell stimmt mit der Wirklichkeit auf mehrere Weisen, einige bedeutend nicht überein. Es wird als eine nützliche Annäherung weit verwendet, aber richtige Anwendung verlangt das Verstehen, dass seine Beschränkungen - blind im Anschluss an das Modell den Benutzer zur unerwarteten Gefahr ausstellen.

Unter den bedeutendsten Beschränkungen sind:

• die Unterschätzung von äußersten Bewegungen, Schwanz-Gefahr nachgebend, die mit der Geldoptionen abgesichert werden kann;
• die Annahme des Moments, Kostenwenigerhandels, Liquiditätsgefahr nachgebend, die schwierig ist auszuweichen;
• die Annahme eines stationären Prozesses, Flüchtigkeitsgefahr nachgebend, die mit der Flüchtigkeitsabsicherung abgesichert werden kann;
• die Annahme der dauernden Zeit und des dauernden Handels, Lücke-Gefahr nachgebend, die mit der Gammaabsicherung abgesichert werden kann.

Kurz gesagt, während im Schwarzen-Scholes Modell man Optionen durch einfach die Delta-Absicherung vollkommen absichern kann, in der Praxis gibt es viele andere Quellen der Gefahr.

Ergebnisse mit dem Schwarzen-Scholes Modell unterscheiden sich von echten Weltpreisen wegen der Vereinfachung von Annahmen des Modells. Eine bedeutende Beschränkung ist, dass in Wirklichkeit Sicherheitspreise keinem strengen stationären Lognormalprozess folgen, noch das risikolose Interesse wirklich bekannt ist (und mit der Zeit nicht unveränderlich ist). Wie man beobachtet hat, ist die Abweichung das nichtunveränderliche Führen zu Modellen wie GARCH zu Musterflüchtigkeitsänderungen gewesen. Die Preiskalkulation von Diskrepanzen zwischen dem empirischen und dem Schwarzen-Scholes Modell ist lange in Optionen beobachtet worden, die weit vom Geld entsprechend äußersten Preisänderungen aus sind; solche Ereignisse würden sehr selten sein, wenn Umsatz lognormally verteilt wäre, aber viel öfter in der Praxis beobachtet würde.

Dennoch wird Schwarze-Scholes Preiskalkulation in der Praxis weit verwendet, weil es leicht ist zu rechnen und ausführlich die Beziehung aller Variablen modelliert. Es ist eine nützliche Annäherung, wenn besonders es den directionality analysiert, den Preise bewegen, wenn sie kritische Punkte durchqueren. Es wird sowohl als eine Bezug-Tagung als auch als eine Basis für mehr raffinierte Modelle verwendet. Obwohl Flüchtigkeit nicht unveränderlich ist, ergibt sich aus dem Modell sind häufig in der Praxis nützlich und in der Aufstellung von Hecken in den richtigen Verhältnissen nützlich, um Gefahr zu minimieren. Selbst wenn die Ergebnisse nicht völlig genau sind, dienen sie als eine erste Annäherung, zu der Anpassungen gemacht werden können.

Ein Grund für die Beliebtheit des Schwarzen-Scholes Modells besteht darin, dass es darin robust ist, kann es angepasst werden, um sich mit einigen seiner Misserfolge zu befassen. Anstatt einige Rahmen (wie Flüchtigkeit oder Zinssätze) als unveränderlich zu denken, betrachtet man sie als Variablen, und so hinzugefügte Quellen der Gefahr. Das wird in den Griechen (die Änderung im Auswahl-Wert zur Abwechselung in diesen Rahmen, oder gleichwertig den partiellen Ableitungen in Bezug auf diese Variablen) widerspiegelt, und diese Griechen absichernd, lindert die durch die nichtunveränderliche Natur dieser Rahmen verursachte Gefahr. Andere Defekte können durch das Ändern des Modells, jedoch, namentlich Schwanz-Gefahr und Liquiditätsgefahr nicht gelindert werden, und diese werden stattdessen außerhalb des Modells, hauptsächlich durch die Minderung dieser Gefahren und durch die Betonungsprüfung geführt.

Zusätzlich, anstatt eine Flüchtigkeit a priori anzunehmen und Preise davon zu schätzen, kann man das Modell verwenden, um für die Flüchtigkeit zu lösen, die die implizierte Flüchtigkeit einer Auswahl zu gegebenen Preisen, Dauern und Übungspreisen gibt. Das Lösen für die Flüchtigkeit über einen gegebenen Satz von Dauern und Schlag bewertet man kann eine implizierte Flüchtigkeitsoberfläche bauen. In dieser Anwendung des Schwarzen-Scholes Modells wird eine Koordinatentransformation vom Preisgebiet bis das Flüchtigkeitsgebiet erhalten. Anstatt Auswahl-Preise in Bezug auf Dollars pro Einheit anzusetzen (die hart sind, sich über Schläge und Tenöre zu vergleichen) können Auswahl-Preise so in Bezug auf die implizierte Flüchtigkeit angesetzt werden, die zu Handel der Flüchtigkeit auf Auswahl-Märkten führt.

Das Flüchtigkeitslächeln

Eine der attraktiven Eigenschaften des Schwarzen-Scholes Modells ist, dass die Rahmen im Modell (anders als die Flüchtigkeit) — die Zeit zur Reife, dem Schlag, dem risikolosen Zinssatz und dem aktuellen zu Grunde liegenden Preis — unzweideutig erkennbar sind. Alle unter sonst gleichen Umständen ist ein theoretischer Wert einer Auswahl eine monotonische zunehmende Funktion der implizierten Flüchtigkeit.

Durch die Computerwissenschaft der implizierten Flüchtigkeit für getauschte Optionen mit verschiedenen Schlägen und maturities kann das Schwarze-Scholes Modell geprüft werden. Wenn das Schwarze-Scholes Modell hielte, dann würde die implizierte Flüchtigkeit für ein besonderes Lager dasselbe für alle Schläge und maturities sein. In der Praxis ist die Flüchtigkeitsoberfläche (der dreidimensionale Graph der implizierten Flüchtigkeit gegen den Schlag und die Reife) nicht flach.

Die typische Gestalt der implizierten Flüchtigkeitskurve für eine gegebene Reife hängt vom zu Grunde liegenden Instrument ab. Aktien neigen dazu, Kurven verdreht zu haben: Im Vergleich zur implizierten Flüchtigkeit am Geld ist für niedrige Schläge, und ein bisschen tiefer für hohe Schläge wesentlich höher. Währungen neigen dazu, mehr symmetrische Kurven, mit der implizierten Flüchtigkeit niedrigste und höhere Flüchtigkeiten am Geld in beiden Flügeln zu haben. Waren haben häufig das Rückverhalten zu Aktien mit der höheren implizierten Flüchtigkeit für höhere Schläge.

Trotz der Existenz des Flüchtigkeitslächelns (und die Übertretung aller anderen Annahmen des Schwarzen-Scholes Modells) werden der Schwarze-Scholes PDE und die Schwarze-Scholes Formel noch umfassend in der Praxis verwendet. Eine typische Annäherung soll die Flüchtigkeitsoberfläche als eine Tatsache über den Markt betrachten, und eine implizierte Flüchtigkeit davon in einem Schwarzen-Scholes Schätzungsmodell verwenden. Das ist als das Verwenden "der falschen Zahl in der falschen Formel beschrieben worden, um den richtigen Preis zu bekommen." Diese Annäherung gibt auch verwendbare Werte für die Hecke-Verhältnisse (die Griechen).

Selbst wenn fortgeschrittenere Modelle verwendet werden, ziehen Händler es vor, in Bezug auf die Flüchtigkeit zu denken, weil sie ihnen erlaubt, Optionen von verschiedenem maturities, Schlägen und so weiter zu bewerten und zu vergleichen.

Das Schätzen von Band-Optionen

Schwarz-Scholes kann direkt auf Band-Wertpapiere wegen des Ziehens zum Durchschnitt nicht angewandt werden. Da das Band sein Reife-Datum erreicht, werden alle mit dem Band beteiligten Preise bekannt, dadurch seine Flüchtigkeit vermindernd, und das einfache Schwarze-Scholes Modell widerspiegelt diesen Prozess nicht. Eine Vielzahl von Erweiterungen auf den Schwarzen-Scholes, mit dem Schwarzen Modell beginnend, ist verwendet worden, um sich mit diesem Phänomen zu befassen. Sieh Band-Auswahl: Schätzung.

Zinskurve

In der Praxis sind Zinssätze nicht unveränderlich - sie ändern sich durch den Tenor, eine Zinskurve gebend, die interpoliert werden kann, um eine passende Rate aufzupicken, um in der Schwarzen-Scholes Formel zu verwenden. Eine andere Rücksicht besteht darin, dass sich Zinssätze mit der Zeit ändern. Diese Flüchtigkeit kann einen bedeutenden Beitrag zum Preis besonders langfristiger Optionen leisten. Das ist einfach dem Zinssatz und der Band-Preisbeziehung ähnlich, die umgekehrt verbunden ist.

Kurze Aktienrate

Es ist nicht frei, eine kurze Aktienposition zu nehmen. Ähnlich kann es möglich sein, eine lange Aktienposition für eine kleine Gebühr zu leihen. In jedem Fall kann das als eine dauernde Dividende zu den Zwecken einer Schwarzen-Scholes Schätzung behandelt werden.

Kritik

Espen Gaarder Haug und Nassim Nicholas Taleb behaupten, dass das Schwarze-Scholes Modell bloß vorhandene weit verwendete Modelle in Bezug auf die praktisch unmögliche "dynamische Absicherung" umgearbeitet hat, anstatt sie vereinbarer mit der neoklassizistischen Hauptströmungswirtschaftstheorie "zu riskieren", zu machen. Ähnliche Argumente wurden in einem früheren Vortrag von Emanuel Derman und Nassim Taleb gemacht. Als Antwort hat Paul Wilmott das Modell verteidigt.

Jean-Philippe Bouchaud streitet: Das Vertrauen auf auf falschen Axiomen gestützten Modellen hat klare und große Effekten. Das Schwarze-Scholes Modell, zum Beispiel, der 1973 zu Preisoptionen erfunden wurde, wird noch umfassend verwendet. Aber es nimmt an, dass die Wahrscheinlichkeit von äußersten Preisänderungen unwesentlich ist, wenn in Wirklichkeit Aktienpreise viel ruckartiger sind als das. Der unberechtigte Gebrauch des Modells ist in den Weltunfall im Oktober 1987 schnell gewachsen; der Dow-Jones-Index ist um 23 % an einem einzelnen Tag gefallen, neuen Marktschluckauf überragend. Mit dem T-Vertrieb des Studenten im Platz der Normalverteilung weil kann die Basis für die Schätzung von Optionen in der Rechnung äußerste Ereignisse besser nehmen.

Bemerkungen auf der Notation

Der Leser wird vor der inkonsequenten Notation gewarnt, die in diesem Artikel erscheint. So wird der Brief als verwendet:

: (1) eine unveränderliche Bezeichnung des Tagespreises des Lagers

: (2) eine echte Variable, die den Preis in einer willkürlichen Zeit anzeigt

: (3) eine zufällige Variable, die den Preis an der Reife anzeigt

: (4) ein stochastischer Prozess, der den Preis in einer willkürlichen Zeit anzeigt

Es wird auch in der Bedeutung (4) mit einer Subschrift verwendet, die Zeit anzeigt, aber hier ist die Subschrift bloß ein mnemonischer.

In den partiellen Ableitungen sind die Briefe in den Zählern und Nennern, natürlich, echte Variablen, und die partiellen Ableitungen selbst, sind am Anfang, echte Funktionen von echten Variablen. Aber nach dem Ersatz eines stochastischen Prozesses für eines der Argumente werden sie stochastische Prozesse.

Der Schwarze-Scholes PDE, ist am Anfang, eine Behauptung über den stochastischen Prozess, aber wenn als eine echte Variable wiederinterpretiert wird, wird es ein gewöhnlicher PDE. Es ist nur dann, dass wir nach seiner Lösung fragen können.

Der Parameter, der im Modell der getrennten Dividende und der elementaren Abstammung erscheint, ist nicht dasselbe als der Parameter, der anderswohin im Artikel erscheint. Weil die Beziehung zwischen ihnen Geometrische Brownsche Bewegung sieht.

Siehe auch

• Binomisches Optionsmodell, das eine getrennte numerische Methode ist, um Auswahl-Preise zu berechnen.
• Schwarzes Modell, eine Variante des Schwarzen-Scholes Auswahl-Preiskalkulationsmodells.
• Schwarze Massen, ein Finanzkunststück.
• Modell von Brownian von Finanzmärkten
• Finanzmathematik, die eine Liste von zusammenhängenden Artikeln enthält.
• Hitzegleichung, in die der Schwarze-Scholes PDE umgestaltet werden kann.
• Sprung-Verbreitung
• Auswahl-Modell von Monte Carlo, mit der Simulation in der Schätzung von Optionen mit komplizierten Eigenschaften.
• Echte Optionsanalyse
• Stochastische Flüchtigkeit
• Krause Belohnungsmethode für die echte Auswahl-Schätzung

Referenzen

Primäre Verweisungen

• http://links.jstor.org/sici?sici=0022-3808%28197305%2F06%2981%3A3%3C637%3ATPOOAC%3E2.0.CO%3B2-P (Das ursprüngliche Papier des schwarzen und Scholes.)

http://links.jstor.org/sici?sici=0005-8556%28197321%294%3A1%3C141%3ATOROP%3E2.0.CO%3B2-0&origin=repec

Historische und soziologische Aspekte

http://sss.sagepub.com/cgi/content/abstract/33/6/831 http://www.journals.uchicago.edu/AJS/journal/issues/v109n1/060259/brief/060259.abstract.html

Weiterführende Literatur

• Das Buch gibt eine Reihe von historischen Verweisungen, die die Theorie unterstützen, dass Auswahl-Händler viel robustere Absicherung und Preiskalkulation von Grundsätzen verwenden als der Schwarze, Scholes und das Modell von Merton.

• Das Buch nimmt einen kritischen Blick auf den Schwarzen, Scholes und das Modell von Merton.

Links

Diskussion des Modells

• Ajay Shah. Schwarz, Merton und Scholes: Ihre Arbeit und seine Folgen. Wirtschaftlich und Politisch Wöchentlich, XXXII (52):3337-3342, Verbindung im Dezember 1997
• Das schwarze Loch der Inside Wall Street durch Michael Lewis, Problem im März 2008 von portfolio.com
• Wohin Schwarz-Scholes? durch Pablo Triana, Problem im April 2008 von Forbes.com
• Schwarzer Scholes Mustervortrag durch Professor Robert Shiller von Yale
• Die mathematische Gleichung, die die Banken veranlasst hat, durch Ian Stewart im Beobachter, am 12. Februar 2012 abzustürzen

Abstammung und Lösung

• Abstammung der schwarzen-Scholes Gleichung für den Auswahl-Wert, Prof. Thayer Watkins
• Lösung der schwarzen-Scholes Gleichung mit der Funktion des Grüns, Prof. Dennis Silverman
• Die Lösung über die Gefahr, die neutrale Preiskalkulation oder über die PDE-Annäherung mit Fourier umgestaltet (schließt Diskussion anderer Auswahl-Typen ein), Simon Leger
• Schrittweise Lösung des Schwarzen-Scholes PDE, planetmath.org.
• Auf der schwarzen-Scholes Gleichung: Verschiedene Abstammungen, Manabu Kishimoto
• Der Artikel Black-Scholes Equation Expository vom Mathematiker Terence Tao.
• Nach und nach Abstammung der Schwarzen-Scholes Auswahl-Preiskalkulationsformel, Tutorial Ludovic Dubrana

Das Modell wieder zu besuchen

• Wenn Sie unaufhörlich nicht ausweichen können: Die Korrekturen zum Schwarzen-Scholes, Emanuel Derman
• Arbitrage und Aktienauswahl-Preiskalkulation: Ein frischer Blick auf das binomische Modell

Computerdurchführungen

• Schwarz-Scholes auf Vielfachen Sprachen, espenhaug.com
• Chikagoer Auswahl-Preiskalkulationsmodell (Version Grafisch darzustellen), sourceforge.net

Historisch

• Die Wette von Trillion Dollar — die dazugehörige Website zu einer Episode von Nova hat ursprünglich am 8. Februar 2000 gesandt. "Der Film erzählt die faszinierende Geschichte der Erfindung der Schwarzen-Scholes Formel, ein mathematischer Heiliger Gral, der für immer die Welt der Finanz verändert hat und seine Schöpfer der 1997-Nobelpreis in der Volkswirtschaft verdient hat."
• BBC-Horizont Ein Fernsehprogramm auf der so genannten Formel von Midas und dem Bankrott von Long-Term Capital Management (LTCM)
• Schwarze-Scholes BBC-Nachrichtenzeitschrift: Die Mathematik-Formel hat sich zum Finanzunfall (am 27. April 2012 Artikel) verbunden