In der Topologie und den verwandten Feldern der Mathematik wird ein topologischer Raum X einen regelmäßigen Raum genannt, wenn jede nichtleere geschlossene Teilmenge C X und ein Punkt p nicht enthalten in C zulässt, auf offene Nachbarschaft nichtüberzugreifen. So p und C

kann durch die Nachbarschaft getrennt werden. Diese Bedingung ist als Axiom T bekannt. Der Begriff "T Raum" bedeutet gewöhnlich "einen regelmäßigen Raum von Hausdorff". Diese Bedingungen sind Beispiele von Trennungsaxiomen.

Definitionen

Ein topologischer Raum X ist ein regelmäßiger Raum, wenn, in Anbetracht eines nichtleeren geschlossenen Satzes F und eines Punkts x, der F nicht gehört, dort eine Nachbarschaft U von x und einer Nachbarschaft V von F besteht, die zusammenhanglos sind. Kurz gestellt muss es möglich sein, x und F mit der zusammenhanglosen Nachbarschaft zu trennen.

Ein T regelmäßiger oder Raumraum von Hausdorff ist ein topologischer Raum, der sowohl regelmäßig ist als auch ein Raum von Hausdorff. (Ein Hausdorff Raum oder T Raum sind ein topologischer Raum, in dem irgendwelche zwei verschiedenen Punkte durch die Nachbarschaft getrennt werden.) Stellt es sich heraus, dass ein Raum T ist, wenn, und nur wenn es sowohl regelmäßig ist als auch T. (Ist ein Raum von T oder Kolmogorov ein topologischer Raum, in dem irgendwelche zwei verschiedenen Punkte, d. h. für jedes Paar von verschiedenen Punkten topologisch unterscheidbar sind, mindestens ein von ihnen eine offene Nachbarschaft haben, die nicht den anderen enthält.) Tatsächlich, wenn ein Raum Hausdorff dann ist, ist es T, und jeder T regelmäßige Raum ist Hausdorff: In Anbetracht zwei verschiedener Punkte verpassen mindestens ein von ihnen den Verschluss des anderen, so (durch die Regelmäßigkeit) dort bestehen zusammenhanglose Nachbarschaft, die einen Punkt von (der Verschluss) der andere trennt.

Obwohl die Definitionen präsentiert hier für "den regelmäßigen" und "T" ziemlich üblich sind, gibt es bedeutende Schwankung in der Literatur: Einige Autoren schalten die Definitionen von "regelmäßigen" und "T", weil sie hier verwendet werden, oder beide Begriffe austauschbar gebrauchen. In diesem Artikel werden wir den Begriff "regelmäßiger" frei gebrauchen, aber wir werden gewöhnlich "regelmäßigen Hausdorff" sagen, der statt des weniger genauen "T" eindeutig ist. Für mehr auf diesem Problem, sieh Geschichte der Trennungsaxiome.

Ein lokal regelmäßiger Raum ist ein topologischer Raum, wo jeder Punkt eine offene Nachbarschaft hat, die regelmäßig ist. Jeder regelmäßige Raum ist lokal regelmäßig, aber das gegenteilige ist nicht wahr. Ein klassisches Beispiel eines lokal regelmäßigen Raums, der nicht regelmäßig ist, ist die mit hervorquellenden Augen Linie.

Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen

Ein regelmäßiger Raum ist notwendigerweise auch vorregelmäßig, d. h. irgendwelche zwei topologisch unterscheidbaren Punkte können durch die Nachbarschaft getrennt werden.

Da ein Raum von Hausdorff dasselbe als ein vorregelmäßiger T Raum ist, muss ein regelmäßiger Raum, der auch T ist, Hausdorff (und so T) sein.

Tatsächlich befriedigt ein regelmäßiger Raum von Hausdorff die ein bisschen stärkere Bedingung T.

(Jedoch, solch ein Raumbedürfnis nicht, völlig Hausdorff sein.)

So kann die Definition von T T, T, oder T statt T (Hausdorffness) zitieren; alle sind im Zusammenhang von regelmäßigen Räumen gleichwertig.

Theoretischer sprechend, sind die Bedingungen der Regelmäßigkeit und des T-Vorgebirges durch Quotienten von Kolmogorov verbunden.

Ein Raum ist regelmäßig, wenn, und nur wenn sein Quotient von Kolmogorov T ist; und, wie erwähnt, ist ein Raum T, wenn, und nur wenn es sowohl regelmäßig ist als auch T.

So, wie man gewöhnlich annehmen kann, ist ein regelmäßiger Raum gestoßen in der Praxis T, durch das Ersetzen des Raums durch seinen Quotienten von Kolmogorov.

Es gibt viele Ergebnisse für topologische Räume, die sowohl für regelmäßigen als auch für Räume von Hausdorff halten.

Den größten Teil der Zeit halten diese Ergebnisse für alle vorregelmäßigen Räume; sie wurden für den Stammkunden und die Räume von Hausdorff getrennt verzeichnet, weil die Idee von vorregelmäßigen Räumen später gekommen ist.

Andererseits gelten jene Ergebnisse, die aufrichtig über die Regelmäßigkeit allgemein sind, für nichtregelmäßige Räume von Hausdorff nicht auch.

Es gibt viele Situationen, wo eine andere Bedingung von topologischen Räumen (wie Normalität, Parakompaktheit oder lokale Kompaktheit) Regelmäßigkeit einbeziehen wird, wenn ein schwächeres Trennungsaxiom, wie Vorregelmäßigkeit, zufrieden ist.

Solche Bedingungen kommen häufig in zwei Versionen: eine regelmäßige Version und eine Version von Hausdorff.

Obwohl Hausdorff Räume nicht allgemein regelmäßig sind, (sagt) ein Raum von Hausdorff, der auch ist, lokal kompakt wird regelmäßig sein, weil jeder Raum von Hausdorff vorregelmäßig ist.

So aus einem bestimmten Gesichtspunkt ist Regelmäßigkeit nicht wirklich das Problem hier, und wir konnten eine schwächere Bedingung stattdessen auferlegen, um dasselbe Ergebnis zu bekommen.

Jedoch werden Definitionen gewöhnlich noch in Bezug auf die Regelmäßigkeit ausgedrückt, da diese Bedingung weithin bekannter ist als irgendwelcher schwächere.

Die meisten topologischen in der mathematischen Analyse studierten Räume sind regelmäßig; tatsächlich sind sie gewöhnlich völlig regelmäßig, der eine stärkere Bedingung ist.

Regelmäßigen Räumen sollte auch mit normalen Räumen gegenübergestellt werden.

Beispiele und Nichtbeispiele

Ein nulldimensionaler Raum in Bezug auf die kleine induktive Dimension hat eine Basis, die aus Clopen-Sätzen besteht.

Jeder solcher Raum ist regelmäßig.

Wie beschrieben, oben ist jeder völlig regelmäßige Raum, und jeder T Raum regelmäßig, der nicht ist, Hausdorff (und folglich nicht vorregelmäßig) kann nicht regelmäßig sein.

Die meisten Beispiele von regelmäßigen und nichtregelmäßigen in der Mathematik studierten Räumen können in jenen zwei Artikeln gefunden werden.

Andererseits werden Räume, die regelmäßig, aber nicht völlig regelmäßig, oder vorregelmäßig, aber nicht regelmäßig sind, gewöhnlich nur gebaut, um Gegenbeispiele Vermutungen zur Verfügung zu stellen, die Grenzen von möglichen Lehrsätzen zeigend.

Natürlich kann man regelmäßige Räume leicht finden, die nicht T, und so nicht sind, gewähren Hausdorff, wie ein homogener Raum, aber diese Beispiele mehr Einblick auf dem T Axiom als auf der Regelmäßigkeit. Ein Beispiel eines regelmäßigen Raums, der nicht völlig regelmäßig ist, ist der Korkenzieher von Tychonoff.

Die meisten interessanten Räume in der Mathematik, die auch regelmäßig sind, befriedigen etwas stärkere Bedingung.

So werden regelmäßige Räume gewöhnlich studiert, um Eigenschaften und Lehrsätze, wie diejenigen unten zu finden, die wirklich auf völlig regelmäßige Räume normalerweise in der Analyse angewandt werden.

Dort bestehen Sie Räume von Hausdorff, die nicht regelmäßig sind. Ein Beispiel ist der Satz R mit der Topologie, die durch Sätze der Form U - C erzeugt ist, wo U ein offener Satz im üblichen Sinn ist, und C jede zählbare Teilmenge von U ist.

Elementare Eigenschaften

Nehmen Sie an, dass X ein regelmäßiger Raum ist.

Dann, in Anbetracht jedes Punkts x und Nachbarschaft G x, gibt es eine geschlossene Nachbarschaft E von x, der eine Teilmenge von G ist.

In mehr schmückenden Begriffen bildet die geschlossene Nachbarschaft von x eine lokale Basis an x.

Tatsächlich charakterisiert dieses Eigentum regelmäßige Räume; wenn die geschlossene Nachbarschaft jedes Punkts in einem topologischen Raum eine lokale Basis an diesem Punkt bildet, dann muss der Raum regelmäßig sein.

Das Innere dieser geschlossenen Nachbarschaft nehmend, sehen wir, dass die regelmäßigen offenen Sätze eine Basis für die offenen Sätze des regelmäßigen Raums X bilden.

Dieses Eigentum ist wirklich schwächer als Regelmäßigkeit; ein topologischer Raum, dessen regelmäßige offene Sätze eine Basis bilden, ist halbregelmäßig.