In der Topologie und den verwandten Gebieten der Mathematik ist ein Quotient-Raum (hat auch einen Identifizierungsraum genannt), intuitiv das Sprechen, das Ergebnis des Identifizierens oder "Klebens zusammen" bestimmte Punkte eines gegebenen Raums. Die zu identifizierenden Punkte werden durch eine Gleichwertigkeitsbeziehung angegeben. Das wird allgemein getan, um neue Räume von gegebenen zu bauen.

Definition

Lassen Sie, ein topologischer Raum zu sein, und ~ eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf X sein zu lassen. Der Quotient-Raum, wird definiert, um der Satz von Gleichwertigkeitsklassen von Elementen zu sein:

ausgestattet mit der Topologie, wo die offenen Sätze definiert werden, um jene Sätze von Gleichwertigkeitsklassen zu sein, deren Vereinigungen offene Sätze in X sind:

Gleichwertig können wir sie definieren, um jene Sätze mit einem offenen Vorimage laut der Quotient-Karte zu sein, die einen Punkt in X zur Gleichwertigkeitsklasse sendet, die es enthält.

Die Quotient-Topologie ist die Endtopologie auf dem Quotient-Raum in Bezug auf die Quotient-Karte.

Beispiele

• Kleben. Häufig, topologists Gespräch davon, Punkte zusammen zu kleben. Wenn X ein topologischer Raum ist und Punkte "geklebt" werden sollen, dann, was gemeint wird, ist, dass wir den Quotient-Raum als erhalten bei der Gleichwertigkeitsbeziehung ein ~ b wenn und nur wenn = b oder = x, b = y (oder = y, b = x) betrachten sollen. Die zwei Punkte werden künftig als ein Punkt interpretiert. Solches Kleben wird allgemein die Keil-Summe genannt.
• Denken Sie das Einheitsquadrat I = [0,1] × [0,1] und die Gleichwertigkeitsbeziehung ~ erzeugt durch die Voraussetzung, dass alle Grenzpunkte, gleichwertig sein, so die ganze Grenze identifizierend, zu einer einzelnen Gleichwertigkeitsklasse hinweisen. Dann bin ich / ~ homeomorphic zum Einheitsbereich S.
• Raum von Adjunction. Denken Sie mehr allgemein X ist ein Raum, und A ist ein Subraum X. Man kann alle Punkte in zu einer einzelnen Gleichwertigkeitsklasse identifizieren und Punkte außerhalb Einer Entsprechung nur zu sich verlassen. Der resultierende Quotient-Raum wird X/A angezeigt. Der 2-Bereiche-ist dann homeomorphic zur Einheitsscheibe mit seiner zu einem einzelnen Punkt identifizierten Grenze:

• Denken Sie den Satz X = R von allen reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Topologie, und schreiben Sie x ~ y, wenn, und nur wenn x−y eine ganze Zahl ist. Dann ist der Quotient-Raum X / ~ homeomorphic zum Einheitskreis S über den homeomorphism, der die Gleichwertigkeitsklasse von x zu exp (2πix) sendet.
• Eine riesengroße Generalisation des vorherigen Beispiels ist der folgende: Nehmen Sie eine topologische Gruppe G Taten unaufhörlich auf einem Raum X an. Man kann eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf X bilden, indem man sagt, dass Punkte gleichwertig sind, wenn, und nur wenn sie in derselben Bahn liegen. Der Quotient-Raum unter dieser Beziehung wird den Bahn-Raum genannt, hat X/G angezeigt. Im vorherigen Beispiel G = folgt Z R durch die Übersetzung. Der Bahn-Raum R/Z ist homeomorphic zu S.

Warnung: Die Notation R/Z ist etwas zweideutig. Wenn, wie man versteht, Z eine Gruppe ist, die R dann folgt, ist der Quotient der Kreis. Jedoch, wenn von Z als ein Subraum von R gedacht wird, dann ist der Quotient ein unendliches Bukett von an einem einzelnen Punkt angeschlossenen Kreisen.

Eigenschaften

Quotient-Karten werden unter Surjective-Karten durch das folgende Eigentum charakterisiert: Wenn Z ein topologischer Raum ist und Funktion ist, dann ist f dauernd, wenn, und nur wenn dauernd ist.

Der Quotient-Raum X / ~ zusammen mit der Quotient-Karte wird durch das folgende universale Eigentum charakterisiert: Wenn eine dauernde solche Karte ist, der für den ganzen a und b in X einbezieht, dann dort besteht eine einzigartige dauernde solche Karte dass. Wir sagen, dass g zum Quotienten hinuntersteigt.

Die dauernden Karten, die auf X / ~ definiert sind, sind deshalb genau jene Karten, die aus dauernden Karten entstehen, die auf X definiert sind, die die Gleichwertigkeitsbeziehung respektieren (im Sinn, dass sie gleichwertige Elemente an dasselbe Image senden). Dieses Kriterium wird ständig verwendet, wenn man Quotient-Räume studiert.

In Anbetracht einer dauernden Surjektion ist es nützlich, Kriterien zu haben, durch die bestimmen kann, ob f eine Quotient-Karte ist. Zwei genügend Kriterien sind, dass f offen oder ist geschlossen. Bemerken Sie, dass diese Bedingungen nur genügend, nicht notwendig sind. Es ist leicht, Beispiele von Quotient-Karten zu bauen, die weder offen noch geschlossen sind.

Vereinbarkeit mit anderen topologischen Begriffen

• Trennung
• Im Allgemeinen sind Quotient-Räume in Bezug auf Trennungsaxiome unartig. Die Trennungseigenschaften X brauchen durch X / ~ nicht geerbt zu werden, und X / kann ~ Trennungseigenschaften haben, die nicht durch X geteilt sind.
• X/~ ist ein T1 Raum, wenn, und nur wenn jede Gleichwertigkeitsklasse von ~ in X geschlossen wird.
• Wenn die Quotient-Karte offen ist, dann X / ist ~ ein Raum von Hausdorff, wenn, und nur wenn ~ eine geschlossene Teilmenge des Produktraums X×X. ist
• Zusammenhang
• Wenn ein Raum verbunden wird oder Pfad verbunden, dann so sind alle seine Quotient-Räume.
• Ein Quotient-Raum eines einfach verbundenen oder contractible Raumbedürfnisses nicht teilt jene Eigenschaften.
• Kompaktheit
• Wenn ein Raum kompakt ist, dann so sind alle seine Quotient-Räume.
• Ein Quotient-Raum eines lokal kompakten Raumbedürfnisses nicht, lokal kompakt sein.
• Dimension
• Die topologische Dimension eines Quotient-Raums kann mehr (sowie weniger) sein als die Dimension des ursprünglichen Raums; raumfüllende Kurven stellen solche Beispiele zur Verfügung.

Siehe auch

Topologie

• Topologischer Raum
• Subraum (Topologie)
• Produktraum
• Zusammenhanglose Vereinigung (Topologie)
• Endtopologie
• Kegel kartografisch darzustellen

Algebra

• Quotient-Gruppe
• Quotient-Raum (geradlinige Algebra)
• Quotient-Kategorie
• Kegel (homological Algebra) kartografisch darstellend