In der Kategorie-Theorie ist der coproduct oder kategorische Summe, der mit der Kategorie theoretische Aufbau, der die zusammenhanglose Vereinigung von Sätzen und von topologischen Räumen, dem freien Produkt von Gruppen und der direkten Summe von Modulen und Vektorräumen einschließt. Der coproduct einer Familie von Gegenständen ist im Wesentlichen der "am wenigsten spezifische" Gegenstand, zu dem jeder Gegenstand in der Familie einen morphism zulässt. Es ist der mit der Kategorie theoretische Doppelbegriff zum kategorischen Produkt, was bedeutet, dass die Definition dasselbe als das Produkt, aber mit allen umgekehrten Pfeilen ist. Trotz dieser anscheinend harmlosen Änderung im Namen und der Notation können coproducts sein und sind normalerweise von Produkten drastisch verschieden.

Definition

Die formelle Definition ist wie folgt: Lassen Sie C eine Kategorie sein und {X zu lassen: j ∈ seien Sie J\eine mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familie von Gegenständen in C. Der coproduct des Satzes {X} ist ein Gegenstand X zusammen mit einer Sammlung von morphisms i: X → X (hat kanonische Einspritzungen genannt, obwohl sie Einspritzungen oder sogar monic nicht zu sein brauchen), die ein universales Eigentum befriedigen: für jeden Gegenstand Y und jede Sammlung von morphisms f: X → Y, dort besteht ein einzigartiger morphism f von X bis solchen Y dass f = f  i. D. h. das folgende Diagramm pendelt (für jeden j):

Der coproduct der Familie {X} wird häufig angezeigt

oder

Manchmal kann der morphism f angezeigt werden

seine Abhängigkeit vom individuellen f anzuzeigen.

Wenn die Familie von Gegenständen aus nur zwei Mitgliedern besteht, wird der coproduct gewöhnlich X  X oder X  X oder manchmal einfach X + X geschrieben, und das Diagramm nimmt die Form an:

Der einzigartige Pfeil f, dieses Diagramm lassend, pendeln wird dann f  f oder f  f oder f + f oder [f, f] entsprechend angezeigt.

Beispiele

Der coproduct in der Kategorie von Sätzen ist einfach die zusammenhanglose Vereinigung mit den Karten ich, die Einschließungskarten seiend. Verschieden von direkten Produkten, coproducts in anderen Kategorien werden alle offensichtlich auf dem Begriff für Sätze nicht gestützt, weil sich Vereinigungen gut in Bezug auf die Bewahrung von Operationen nicht benehmen (z.B, braucht die Vereinigung von zwei Gruppen keine Gruppe zu sein), und so kann coproducts in verschiedenen Kategorien von einander drastisch verschieden sein. Zum Beispiel wird der coproduct in der Kategorie von Gruppen, genannt das freie Produkt, ganz kompliziert. Andererseits, in der Kategorie von abelian Gruppen (und ebenso für Vektorräume), besteht der coproduct, genannt die direkte Summe, aus den Elementen des direkten Produktes, die nur begrenzt viele Nichtnullbegriffe haben (das fällt deshalb genau mit dem direkten Produkt, im Fall von begrenzt vielen Faktoren zusammen). Demzufolge, da sich die meisten einleitenden geradlinigen Algebra-Kurse nur mit endlich-dimensionalen Vektorräumen befassen, hört niemand wirklich viel über direkte Summen bis später.

Im Fall von topologischen Räumen sind coproducts zusammenhanglose Vereinigungen mit ihren zusammenhanglosen Vereinigungstopologien. D. h. es ist eine zusammenhanglose Vereinigung der zu Grunde liegenden Sätze, und die offenen Sätze sind Sätze, die in jedem der Räume in einem ziemlich offensichtlichen Sinn offen sind. In der Kategorie von spitzen Räumen, die in der homotopy Theorie grundsätzlich sind, ist der coproduct die Keil-Summe (der sich auf das Verbinden einer Sammlung von Räumen mit Grundpunkten an einem allgemeinen Grundpunkt beläuft).

Trotz dieser ganzen Unähnlichkeit gibt es noch, am Herzen von alles, einer zusammenhanglosen Vereinigung: Die direkte Summe von abelian Gruppen ist die Gruppe, die von der "fast" zusammenhanglosen Vereinigung (zusammenhanglose Vereinigung aller Nichtnullelemente, zusammen mit einer allgemeinen Null) ähnlich für Vektorräume erzeugt ist: der Raum von der "fast" zusammenhanglosen Vereinigung abgemessen; das freie Produkt für Gruppen wird durch den Satz aller Briefe von einer ähnlichen "fast zusammenhanglosen" Vereinigung erzeugt, wo keinen zwei Elementen von verschiedenen Sätzen erlaubt wird zu pendeln.

Diskussion

Der coproduct Aufbau, der oben gegeben ist, ist wirklich ein spezieller Fall eines colimit in der Kategorie-Theorie. Der coproduct in einer Kategorie C kann als der colimit jedes functor von einer getrennten Kategorie J in C definiert werden. Nicht jede Familie {X} wird einen coproduct im Allgemeinen haben, aber wenn sie dann tut, ist der coproduct eines starken Gefühls einzigartig: wenn ich: X  X und k: X  Y sind zwei coproducts der Familie {X}, dann (durch die Definition von coproducts) dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus f: X  Y solch dass fi = k für jeden j in J.

Als mit jedem universalen Eigentum kann der coproduct als ein universaler morphism verstanden werden. Lässt Δ: C  C×C, die Diagonale functor sein, der jedem Gegenstand X das befohlene Paar (X, X) und zu jedem morphism f:X  Y das Paar (f, f) zuteilt. Dann wird der coproduct X+Y in C durch einen universalen morphism dem functor Δ vom Gegenstand (X, Y) in C×C gegeben.

Der coproduct, der durch den leeren Satz (d. h. einen leeren coproduct) mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, ist dasselbe als ein anfänglicher Gegenstand in C.

Wenn J ein solcher Satz ist, dass alle coproducts für mit J mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Familien bestehen, dann ist es möglich, die Produkte auf eine vereinbare Mode zu wählen, so dass sich der coproduct in einen functor C  C verwandelt. Der coproduct der Familie {X} wird dann häufig durch  X und die Karten angezeigt ich bin als die natürlichen Einspritzungen bekannt.

Das Lassen von Hom (U, V) zeigt den Satz des ganzen morphisms von U bis V in C an (d. h. ein Hom-Satz in C), wir haben einen natürlichen Isomorphismus

gegeben durch die Bijektion, die jedes Tupel von morphisms kartografisch darstellt

(ein Produkt im Satz, der Kategorie von Sätzen, die das Kartesianische Produkt ist, so ist es ein Tupel von morphisms), zum morphism

Dass diese Karte eine Surjektion ist, folgt aus dem commutativity des Diagramms: Jeder morphism f ist der coproduct des Tupels

Dass es eine Einspritzung ist, folgt aus dem universalen Aufbau, der die Einzigartigkeit solcher Karten festsetzt. Der naturality des Isomorphismus ist auch eine Folge des Diagramms. So ändert die Kontravariante hom-functor coproducts in Produkte. Festgesetzt ein anderer Weg, der hom-functor, angesehen weil ist ein functor von der entgegengesetzten Kategorie C, um Unterzugehen, dauernd; es bewahrt Grenzen (ein coproduct in C ist ein Produkt in C).

Wenn J ein begrenzter Satz ist, sagen Sie J = {1..., n}, dann wird der coproduct von Gegenständen X..., X häufig durch X ... X angezeigt.

Nehmen Sie an, dass alle begrenzten coproducts in C bestehen, coproduct sind functors gewählt worden, weil oben, und 0 den anfänglichen Gegenstand von C entsprechend dem leeren coproduct anzeigt. Wir haben dann natürlichen Isomorphismus

Diese Eigenschaften sind denjenigen eines auswechselbaren monoid formell ähnlich; eine Kategorie mit begrenztem coproducts ist ein Beispiel einer symmetrischen monoidal Kategorie.

Wenn die Kategorie einen Nullgegenstand Z hat, dann haben wir einzigartigen morphism X  Z (da Z letzt ist), und so ein morphism X  Y  Z  Y. Da Z auch anfänglich ist, haben wir einen kanonischen Isomorphismus Z  Y  Y als im vorhergehenden Paragrafen. Wir haben so morphisms X  Y  X und X  Y  Y, durch den wir einen kanonischen morphism X  Y  X×Y ableiten. Das kann durch die Induktion zu einem kanonischen morphism von jedem begrenzten coproduct bis das entsprechende Produkt erweitert werden. Dieser morphism braucht kein Isomorphismus im Allgemeinen zu sein; in Grp ist es ein richtiger epimorphism, während im Satz (die Kategorie von spitzen Sätzen) es ein richtiger monomorphism ist. In jeder vorzusätzlichen Kategorie ist dieser morphism ein Isomorphismus, und der entsprechende Gegenstand ist als der biproduct bekannt. Eine Kategorie mit dem ganzen begrenzten biproducts ist als eine zusätzliche Kategorie bekannt.

Wenn alle Familien von durch J mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Gegenständen coproducts in C haben, dann umfasst der coproduct einen functor C  C. Bemerken Sie, dass, wie das Produkt, dieser functor kovariant ist.

Siehe auch

• Produkt
• Grenzen und colimits
• Coequalizer
• Direkte Grenze

Außenverbindungen

• Interaktive Webseite, die Beispiele von coproducts in der Kategorie von begrenzten Sätzen erzeugt. Geschrieben von Jocelyn Paine.