In der mathematischen Logik ist ein Gödel, der numeriert, eine Funktion, die jedem Symbol und gut gebildeter Formel von einer formellen Sprache eine einzigartige natürliche Zahl, genannt seine Zahl von Gödel zuteilt. Das Konzept wurde von Kurt Gödel für den Beweis seiner Unvollständigkeitslehrsätze berühmt verwendet.

Ein numerierender Gödel kann als eine Verschlüsselung interpretiert werden, in der eine Zahl jedem Symbol einer mathematischen Notation zugeteilt wird, nach der eine Folge von natürlichen Zahlen dann eine Folge von Schnuren vertreten kann. Diese Folgen von natürlichen Zahlen können wieder durch einzelne natürliche Zahlen vertreten werden, ihre Manipulation in formellen Theorien der Arithmetik erleichternd.

Seitdem das Papier von Gödel 1931 veröffentlicht wurde, ist der Begriff "Numerieren von Gödel" oder "Code von Gödel" gebraucht worden, um sich auf allgemeinere Anweisungen von natürlichen Zahlen zu mathematischen Gegenständen zu beziehen.

Vereinfachte Übersicht

Gödel hat bemerkt, dass Behauptungen innerhalb eines Systems durch natürliche Zahlen vertreten werden können. Die Bedeutung davon bestand darin, dass Eigenschaften von Behauptungen - wie ihre Wahrheit und Lüge - zur Bestimmung gleichwertig sein würden, ob ihre Zahlen von Gödel bestimmte Eigenschaften hatten. Die beteiligten Zahlen könnten tatsächlich sehr lang sein (in Bezug auf die Zahl von Ziffern), aber das ist nicht eine Barriere; alles, was Sachen sind, dass wir solche Zahlen zeigen können, kann gebaut werden.

In einfachen Begriffen denken wir eine Methode aus durch der jede Formel oder Behauptung kann die in unserem System formuliert werden bekommt eine einzigartige Zahl auf solche Art und Weise, dass wir uns hin und her zwischen Formeln und Zahlen von Gödel mechanisch umwandeln können. Klar gibt es viele Weisen, wie das getan werden kann. In Anbetracht jeder Behauptung ist die Zahl, zu der es umgewandelt wird, als seine Zahl von Gödel bekannt. Ein einfaches Beispiel ist der Weg, auf den Englisch als eine Folge von Zahlen im Computerverwenden ASCII oder Unicode versorgt wird:

:* Das Wort wird durch 72-69-76-76-79 Verwenden-Dezimalzahl ASCII, d. h. die Nummer 7269767679 vertreten.

:* Die logische Behauptung wird durch 120-061-121-032-061-062-032-121-061-120 verwendende Oktal-ASCII, d. h. die Nummer 120061121032061062032121061120 vertreten.

Die Verschlüsselung von Gödel

Gödel hat ein auf erstem factorization gestütztes System verwendet. Er hat zuerst eine einzigartige natürliche Zahl jedem grundlegenden Symbol auf der formellen Sprache der Arithmetik zugeteilt, mit der er sich befasste.

Um eine komplette Formel zu verschlüsseln, die eine Folge von Symbolen ist, hat Gödel das folgende System verwendet. In Anbetracht einer Folge von positiven ganzen Zahlen ist die Verschlüsselung von Gödel der Folge das Produkt der ersten n Blüte, die zu ihren entsprechenden Werten in der Folge erhoben ist:

:

Gemäß dem Hauptsatz der Arithmetik kann jede Zahl erhalten auf diese Weise einzigartig factored in Hauptfaktoren sein, so ist es möglich, die ursprüngliche Folge von seiner Zahl von Gödel (für jede gegebene Nummer n von Symbolen wieder zu erlangen, die zu verschlüsseln sind).

Gödel hat spezifisch dieses Schema an zwei Niveaus verwendet: Erstens, um Folgen von Symbolen zu verschlüsseln, die Formeln, und zweitens vertreten, Folgen von Formeln zu verschlüsseln, die Beweise vertreten. Das hat ihm erlaubt, eine Ähnlichkeit zwischen Behauptungen über natürliche Zahlen und Behauptungen über den provability von Lehrsätzen über natürliche Zahlen, die Schlüsselbeobachtung des Beweises zu zeigen.

Dort sind hoch entwickelter (und kürzer) Weisen, für Folgen numerierenden Gödel zu bauen.

Beispiel

In spezifischem Gödel numerierend verwendet von Nagel und Newman ist die Zahl von Gödel für das Symbol "0" 6, und die Zahl von Gödel für das Symbol "=" ist 5. So, in ihrem System, ist die Zahl von Gödel der Formel "0 = 0" 2 × 3 × 5 = 243,000,000.

Fehlen Sie von der Einzigartigkeit

Ein numerierender Gödel, ist darin für jedes Probeverwenden Zahlen von Gödel nicht einzigartig, es gibt ungeheuer viele Wege, auf die diese Zahlen definiert werden konnten.

Zum Beispiel, das Annehmen dort sind K grundlegende Symbole, alternativer numerierender Gödel konnte durch invertibly gebaut werden, der diesen Satz von Symbolen (durch, sagen wir, eine Invertible-Funktion h) zum Satz von Ziffern eines bijektiven Grund-K-Ziffer-Systems kartografisch darstellt. Eine Formel, die aus einer Reihe von n Symbolen besteht, würde dann zur Zahl kartografisch dargestellt

Mit anderen Worten, durch das Stellen des Satzes von K grundlegenden Symbolen in einer festen Ordnung, solch, dass ich Symbol einzigartig zu mir Ziffer eines bijektiven Grund-K-Ziffer-Systems entspricht, kann jede Formel als die wirkliche Ziffer seiner eigenen Zahl von Gödel dienen.

Anwendung auf die formelle Arithmetik

Sobald für eine formelle Theorie numerierender Gödel gegründet wird, kann jede Interferenzregel der Theorie als eine Funktion auf den natürlichen Zahlen ausgedrückt werden. Wenn f Gödel kartografisch darstellend ist, und wenn Formel C aus Formeln A und B durch eine Interferenzregel r abgeleitet werden kann; d. h.

dann sollte es etwas arithmetische Funktion g von solchen natürlichen Zahlen dass geben

Das ist für den numerierenden Gödel verwendet, und für irgendwelchen das andere Numerieren wahr, wo die verschlüsselte Formel von seiner Zahl von Gödel arithmetisch wieder erlangt werden kann.

So in einer formellen Theorie wie Arithmetik von Peano, in der Erklärungen über Zahlen und ihre arithmetischen Beziehungen zu einander abgeben kann, kann man Gödel verwenden, der numeriert, um Erklärungen über die Theorie selbst indirekt abzugeben. Diese Technik hat Gödel erlaubt, Ergebnisse über die Konsistenz- und Vollständigkeitseigenschaften von formellen Systemen zu beweisen.

Generalisationen

In der Berechenbarkeitstheorie wird der Begriff "Numerieren von Gödel" in Einstellungen gebraucht, die allgemeiner sind als diejenige, die oben beschrieben ist. Es kann sich beziehen auf:

1. Jede Anweisung der Elemente einer formellen Sprache zu natürlichen Zahlen auf solche Art und Weise, dass die Zahlen durch einen Algorithmus manipuliert werden können, um Manipulation von Elementen der formellen Sprache vorzutäuschen.
2. Mehr allgemein, eine Anweisung von Elementen von einem zählbaren mathematischen Gegenstand, wie eine zählbare Gruppe, zu natürlichen Zahlen, um algorithmische Manipulation des mathematischen Gegenstands zu erlauben.

Außerdem wird der Begriff numerierender Gödel manchmal gebraucht, wenn die zugeteilten "Zahlen" wirklich Schnuren sind, der notwendig ist, wenn er Modelle der Berechnung wie Maschinen von Turing denkt, die Schnuren aber nicht Zahlen manipulieren.

Sätze von Gödel

Sätze von Gödel werden manchmal in der Mengenlehre verwendet, um Formeln zu verschlüsseln, und sind Zahlen von Gödel ähnlich, außer dass man Sätze aber nicht Zahlen verwendet, um die Verschlüsselung zu tun. In einfachen Fällen, wenn man hereditarily begrenzten Satz verwendet, um Formeln zu verschlüsseln, ist das zum Gebrauch von Zahlen von Gödel im Wesentlichen gleichwertig, aber etwas leichter zu definieren, weil die Baumstruktur von Formeln durch die Baumstruktur von Sätzen modelliert werden kann. Sätze von Gödel können auch verwendet werden, um Formeln auf infinitary Sprachen zu verschlüsseln.

Siehe auch

• Kirchziffer
• Beschreibungszahl
• Die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel
• Der Unvollständigkeitslehrsatz von Chaitin
• .
• Der Beweis von Gödel durch Ernest Nagel und James R. Newman (1959). Dieses Buch stellt eine gute Einführung und Zusammenfassung des Beweises mit einer großen Abteilung zur Verfügung, die numerierendem Gödel gewidmet ist.

Weiterführende Literatur

• Gödel, Escher, Junggeselle: eine Ewige Goldene Flechte, durch Douglas Hofstadter. Dieses Buch definiert und verwendet alternativen numerierenden Gödel.
• Ich Bin eine Fremde Schleife durch Douglas Hofstadter. Das ist ein neueres Buch von Hofstadter, der die Geschichte von numerierendem Gödel einschließt.