In der Mathematik und Physik ist ein Phase-Raum, der von Willard Gibbs 1901 eingeführt ist, ein Raum, in dem alle möglichen Staaten eines Systems mit jedem möglichen Staat des Systems entsprechend einem einzigartigem Punkt im Phase-Raum vertreten werden. Für mechanische Systeme besteht der Phase-Raum gewöhnlich aus allen möglichen Werten der Position und Schwung-Variablen d. h. des Kotangens-Raums des Konfigurationsraums.

Ein Anschlag der Position und Schwung-Variablen als eine Funktion der Zeit wird manchmal einen Phase-Anschlag oder ein Phase-Diagramm genannt. Phase-Diagramm wird mehr gewöhnlich jedoch in den physischen Wissenschaften für ein Diagramm vorbestellt, die verschiedenen Gebiete der Stabilität der thermodynamischen Phasen eines chemischen Systems zeigend, das aus dem Druck, der Temperatur und der Zusammensetzung besteht.

In einem Phase-Raum werden jeder Grad der Freiheit oder Parameter des Systems als eine Achse eines mehrdimensionalen Raums vertreten; ein eindimensionales System wird eine Phase-Linie genannt, während ein zweidimensionales System ein Phase-Flugzeug genannt wird. Für jeden möglichen Staat des Systems oder erlaubte Kombination von Werten der Rahmen des Systems wird ein Punkt im mehrdimensionalen Raum geplant. Häufig ist diese Folge von geplanten Punkten dem Staat des Systems analog, der sich mit der Zeit entwickelt. Schließlich vertritt das Phase-Diagramm alles, was das System sein kann, und seine Gestalt Qualitäten des Systems leicht aufhellen kann, das sonst nicht offensichtlich sein könnte. Ein Phase-Raum kann sehr viele Dimensionen enthalten. Zum Beispiel kann ein Benzin, das viele Moleküle enthält, eine getrennte Dimension für den x jeder Partikel, y und z Positionen und Schwünge sowie jede Zahl anderer Eigenschaften verlangen.

In der klassischen Mechanik definiert jede Wahl von verallgemeinerten Koordinaten q für die Position (d. h. Koordinaten auf dem Konfigurationsraum) verbundene verallgemeinerte Schwünge p, die zusammen Koordinaten auf dem Phase-Raum definieren. Abstrakter, im klassischen Mechanik-Phase-Raum ist der Kotangens-Raum des Konfigurationsraums, und in diesem interpretaton das Verfahren über Schnellzügen, dass eine Wahl von lokalen Koordinaten auf dem Konfigurationsraum eine Wahl von natürlichen lokalen Koordinaten von Darboux für den Standard symplectic Struktur auf einem Kotangens-Raum veranlasst.

Die Bewegung eines Ensembles von Systemen in diesem Raum wird durch die klassische statistische Mechanik studiert. Die lokale Dichte von Punkten in solchen Systemen folgt dem Lehrsatz von Liouville, und kann so als unveränderlich genommen werden. Innerhalb des Zusammenhangs eines Mustersystems in der klassischen Mechanik werden die Phase-Raumkoordinaten des Systems zu jeder vorgegebenen Zeit aus allen dynamischen Variablen des Systems zusammengesetzt. Wegen dessen ist es möglich, den Staat des Systems zu jeder vorgegebenen Zeit in der Zukunft oder der Vergangenheit durch die Integration der Gleichungen von Hamilton oder Lagranges der Bewegung zu berechnen.

Beispiele

Niedrige Dimensionen

Für einfache Systeme kann es nur einen oder zwei Grade der Freiheit geben. Ein Grad der Freiheit kommt vor, wenn man eine autonome gewöhnliche Differenzialgleichung in einer einzelnen Variable mit dem resultierenden eindimensionalen System hat, das eine Phase-Linie und das qualitative Verhalten des Systems wird nennt, das von der Phase-Linie sofort sichtbar ist. Die einfachsten nichttrivialen Beispiele sind das Exponentialwachstumsmodell/Zerfall (ein nicht stabiles/stabiles Gleichgewicht) und das logistische Wachstumsmodell (zwei Gleichgewicht, ein stabiles, ein nicht stabiles).

Der Phase-Raum eines zweidimensionalen Systems wird ein Phase-Flugzeug genannt, das in der klassischen Mechanik für eine einzelne Partikel vorkommt, die sich in einer Dimension bewegt, und wo die zwei Variablen Position und Geschwindigkeit sind. In diesem Fall kann eine Skizze des Phase-Bildnisses qualitative Information über die Dynamik des Systems wie der Grenze-Zyklus des im Diagramm gezeigten Oszillators von Van der Pol geben.

Hier gibt die horizontale Achse der Position und vertikalen Achse die Geschwindigkeit. Da sich das System entwickelt, folgt sein Staat einer der Linien (Schussbahnen) auf dem Phase-Diagramm.

Verwirrungstheorie

Klassische Beispiele von Phase-Diagrammen aus der Verwirrungstheorie sind:

• der Lorenz attractor
• Bevölkerungswachstum (d. h. Logistische Karte)
• das Parameter-Flugzeug von komplizierten quadratischen Polynomen mit Mandelbrot ist untergegangen.

Quant-Mechanik

In der Quant-Mechanik werden die Koordinaten p und q des Phase-Raums normalerweise hermitian Maschinenbediener in einem Raum von Hilbert.

Aber sie können ihre klassische Interpretation wechselweise behalten, vorausgesetzt dass Funktionen von ihnen auf neuartige algebraische Weisen (durch das 1946-Sternprodukt von Groenewold), im Einklang stehend mit dem Unklarheitsgrundsatz der Quant-Mechanik dichten.

Jedes Quant mechanisch erkennbar entspricht zu einer einzigartigen Funktion oder Vertrieb auf dem Phase-Raum, und umgekehrt, wie angegeben, durch Hermann Weyl (1927) und ergänzt von John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932); und, in einer großartigen Synthese, durch H J Groenewold (1946).

Mit J E Moyal (1949) haben diese die Fundamente des Phase-Raums quantization, einer ganzen und logisch autonomen neuen Darlegung der Quant-Mechanik vollendet. (Seine modernen Abstraktionen schließen Deformierung quantization und geometrischen quantization ein.)

Erwartungswerte im Phase-Raum quantization werden isomorph zur Nachforschung des Maschinenbedieners observables mit der Dichte-Matrix im Raum von Hilbert erhalten: Sie werden durch mit der Phaseraumintegrale von observables mit dem Quasiwahrscheinlichkeitsvertrieb von Wigner erhalten, der effektiv als ein Maß dient.

So, durch das Ausdrücken der Quant-Mechanik im Phase-Raum (derselbe Umkreis bezüglich der klassischen Mechanik), erleichtert die Karte von Weyl Anerkennung der Quant-Mechanik als eine Deformierung (Generalisation) der klassischen Mechanik, mit dem Deformierungsparameter ħ/S, wo S die Handlung des relevanten Prozesses ist. (Andere vertraute Deformierungen in der Physik sind mit der Deformierung von klassischen verbunden, die in die relativistische Mechanik, mit dem Deformierungsparameter v/c Newtonisch sind; oder die Deformierung des Newtonischen Ernstes in die Allgemeine Relativität, mit dem Deformierungsparameter Schwarzschild-radius/characteristic-dimension.)

Klassische Ausdrücke, observables, und Operationen (wie Klammern von Poisson) werden durch ħ-abhängige Quant-Korrekturen modifiziert, weil die herkömmliche Ersatzmultiplikation, die in der klassischen Mechanik gilt, zur Nichtersatzsternmultiplikation verallgemeinert wird, die Quant-Mechanik charakterisiert und seinem Unklarheitsgrundsatz unterliegt.

Thermodynamik und statistische Mechanik

In der Thermodynamik und den statistischen Mechanik-Zusammenhängen hat der Begriff-Phase-Raum zwei Bedeutungen: Es wird in demselben Sinn wie in der klassischen Mechanik verwendet. Wenn ein thermodynamisches System aus N Partikeln besteht, dann beschreibt ein Punkt im 6N-dimensional Phase-Raum den dynamischen Staat jeder Partikel in diesem System, weil jede Partikel mit drei Positionsvariablen und drei Schwung-Variablen vereinigt wird. In diesem Sinn, wie man sagt, ist ein Punkt im Phase-Raum ein Mikrostaat des Systems. N ist normalerweise auf der Ordnung der Zahl von Avogadro, so ist das Beschreiben des Systems an einem mikroskopischen Niveau häufig unpraktisch. Das führt uns zum Gebrauch des Phase-Raums in einem verschiedenen Sinn.

Der Phase-Raum kann sich auf den Raum beziehen, der durch die makroskopischen Staaten des Systems, wie Druck, Temperatur usw. parametrisiert wird. Zum Beispiel kann man das mit dem Druck bändige Diagramm oder die mit dem Wärmegewichttemperaturdiagramme als das Beschreiben des Teils dieses Phase-Raums ansehen. Ein Punkt in diesem Phase-Raum wird einen Makrostaat entsprechend genannt. Es kann mehr als einen Mikrostaat mit demselben Makrostaat leicht geben. Zum Beispiel, für eine feste Temperatur, konnte das System viele dynamische Konfigurationen am mikroskopischen Niveau haben. Wenn verwendet, in diesem Sinn ist eine Phase ein Gebiet des Phase-Raums, wo das fragliche System in, zum Beispiel, die flüssige Phase oder feste Phase usw. ist.

Da es noch viele Mikrostaaten gibt als Makrostaaten, ist der Phase-Raum im ersten Sinn gewöhnlich eine Sammelleitung von viel größeren Dimensionen als der zweite Sinn. Klar sind noch viele Rahmen erforderlich, jedes Detail des Systems unten zur molekularen oder atomaren Skala einzuschreiben, als, einfach, sagen wir, die Temperatur oder den Druck des Systems anzugeben.

Integrierte Phase

In der klassischen statistischen Mechanik (dauernde Energien) das Konzept von

Phase-Raum stellt ein klassisches Analogon der Teilungsfunktion zur Verfügung (summieren Sie

über Staaten) bekannt als die integrierte Phase. Anstatt den zu summieren

Faktor von Boltzmann getrennt Energiestaaten unter Drogeneinfluss (definiert durch

passende Quantenzahlen der ganzen Zahl für jeden Grad der Freiheit) man kann

integrieren Sie über den dauernden Phase-Raum. Solche Integration im Wesentlichen

besteht aus zwei Teilen: Integration des Schwung-Bestandteils des ganzen

Grade der Freiheit (Schwung-Raum) und Integration der Position

Bestandteil aller Grade der Freiheit (Konfigurationsraum). Einmal der

integrierte Phase ist bekannt, sie kann mit der klassischen Teilung verbunden sein

Funktion durch die Multiplikation einer Normalisierung das unveränderliche Darstellen des

die Zahl der Quant-Energie setzt pro Einheitsphase-Raum fest. Wie gezeigt, im Detail

in, diese Normalisierung unveränderlicher

ist einfach das Gegenteil der Konstante von Planck, die zu einer dem gleichen Macht erhoben ist

Zahl von Graden der Freiheit für das System.

Siehe auch

• Phase-Linie, 1-dimensionaler Fall
• Phase-Flugzeug, 2-dimensionaler Fall
• Phase-Bildnis
• Phase-Raummethode
• Parameter-Raum

Anwendungen

• Optischer Phase-Raum
• Staatsraum (Steuerungen) für die Information über den Zustandraum (ähnlich, um Staat aufeinander abzustimmen), in der Kontrolltechnik.
• Staatsraum für die Information über den Zustandraum mit getrennten Staaten in der Informatik.
• Molekulare Dynamik

Mathematik

• Kotangens-Bündel
• Dynamisches System
• Symplectic vervielfältigen
• Weyl quantization

Physik

• Klassische Mechanik
• Mechanik von Hamiltonian
• Mechanik von Lagrangian
• Staatsraum (Physik) für die Information über den Zustandraum in der Physik