In der Physik und der ganzen Wissenschaft ist dimensionale Analyse ein Werkzeug, um Beziehungen unter physischen Mengen durch das Verwenden ihrer Dimensionen zu finden oder zu überprüfen. Die Dimension einer physischen Menge ist die Kombination der grundlegenden physischen Dimensionen (gewöhnlich Masse, Länge, Zeit, elektrische Anklage und Temperatur), die es beschreiben; zum Beispiel hat Geschwindigkeit die Dimensionslänge pro Einheitszeit, und kann in Metern pro Sekunde, Meilen pro Stunde oder anderen Einheiten gemessen werden. Dimensionale Analyse basiert auf der Tatsache, dass ein physisches Gesetz der Einheiten unabhängig sein muss, die verwendet sind, um die physischen Variablen zu messen. Eine aufrichtige praktische Folge ist, dass jede bedeutungsvolle Gleichung (und jede Ungleichheit und inequation) dieselben Dimensionen im verlassenen und den richtigen Seiten haben müssen. Überprüfung davon ist die grundlegende Weise, dimensionale Analyse durchzuführen.

Dimensionale Analyse wird alltäglich verwendet, um die Glaubhaftigkeit von abgeleiteten Gleichungen und Berechnung zu überprüfen. Es wird auch verwendet, um angemessene Hypothesen über komplizierte physische Situationen zu bilden, die durch das Experiment oder durch mehr entwickelte Theorien der Phänomene geprüft werden können, und Typen von physischen Mengen und Einheiten zu kategorisieren, die auf ihren Beziehungen zu oder Abhängigkeit von anderen Einheiten oder ihren Dimensionen wenn irgendwelcher gestützt sind.

Großer Grundsatz der Ähnlichkeit

Das Kernprinzip der dimensionalen Analyse war Isaac Newton (1686) bekannt, wer es als der "Große Grundsatz der Ähnlichkeit" gekennzeichnet hat. James Clerk Maxwell hat eine Hauptrolle im Herstellen modernen Gebrauches der dimensionalen Analyse gespielt, indem er Masse, Länge, und Zeit als grundsätzliche Einheiten unterschieden hat, während er sich auf andere Einheiten, wie abgeleitet, bezogen hat. Der französische Mathematiker des 19. Jahrhunderts Joseph Fourier hat wichtige auf der Idee gestützte Beiträge geleistet, dass physische Gesetze mögen, sollte der Einheiten unabhängig sein, die verwendet sind, um die physischen Variablen zu messen. Das hat zum Beschluss geführt, dass bedeutungsvolle Gesetze homogene Gleichungen in ihren verschiedenen Einheiten des Maßes, ein Ergebnis sein müssen, das schließlich im Lehrsatz von Buckingham π formalisiert wurde. Dieser Lehrsatz beschreibt, wie jede physisch bedeutungsvolle Gleichung, die n Variablen einschließt, als eine Gleichung von ohne Dimension Rahmen gleichwertig umgeschrieben werden kann, wo M die Zahl von grundsätzlichen verwendeten Dimensionen ist. Außerdem, und am wichtigsten stellt es eine Methode zur Verfügung, um diese ohne Dimension Rahmen von den gegebenen Variablen zu schätzen.

Eine dimensionale Gleichung kann die Dimensionen oder beseitigt durch nondimensionalization reduzieren lassen, der mit der dimensionalen Analyse beginnt, und kletternde Mengen durch charakteristische Einheiten eines Systems oder natürliche Einheiten der Natur einschließt. Das gibt Scharfsinnigkeit in die grundsätzlichen Eigenschaften des Systems, wie illustriert, in den Beispielen unten.

Definition

Die Dimension einer physischen Menge kann als ein Produkt der grundlegenden physischen Dimensionsmasse, Länge, Zeit, elektrische Anklage und absolute Temperatur ausgedrückt werden, die durch Ohne-Serife-Symbole M, L, T, Q, und Θ, beziehungsweise, jeder vertreten ist, der zu einer vernünftigen Macht erhoben ist.

Der Begriff Dimension ist abstrakter als Maßeinheit: Masse ist eine Dimension, während Kilogramme eine Maßeinheit (Wahl des Standards) in der Massendimension sind.

Als Beispiele ist die Dimension der physischen Menge-Geschwindigkeit Länge/Zeit (L/T oder LEUTNANT), und die Dimension der physischen Menge-Kraft ist "Masse × Beschleunigung" oder "mass× (Länge/Zeit) / Zeit" (ML/T oder MLT). Im Prinzip konnten andere Dimensionen der physischen Menge als "grundsätzlich" (wie Schwung oder Energie oder elektrischer Strom) anstatt einiger von denjenigen definiert werden, die oben gezeigt sind. Die meisten Physiker erkennen Temperatur, Θ als eine grundsätzliche Dimension der physischen Menge nicht an, da es im Wesentlichen die Energie pro Partikel pro Grad der Freiheit ausdrückt, die in Bezug auf die Energie (oder Masse, Länge, und Zeit) ausgedrückt werden kann. Dennoch erkennen andere elektrische Anklage, Q als eine getrennte grundsätzliche Dimension der physischen Menge nicht an, seitdem es in Bezug auf die Masse, Länge, und Zeit mit Einheitssystemen wie das cgs System ausgedrückt worden ist. Es gibt auch Physiker, die auf der wirklichen Existenz von unvereinbaren grundsätzlichen Dimensionen der physischen Menge in Zweifel gezogen haben.

Die Einheit einer physischen Menge und seiner Dimension ist verbunden, aber nicht identische Konzepte. Die Einheiten einer physischen Menge werden durch die Tagung definiert und mit einem Standard verbunden; z.B kann Länge Einheiten von Metern, Fuß, Zoll, Meilen oder Mikrometern haben; aber jede Länge hat immer eine Dimension von L, der dessen unabhängig ist, welche Einheiten willkürlich gewählt werden, um es zu messen. Zwei verschiedene Einheiten derselben physischen Menge haben Umwandlungsfaktoren, die sie verbinden. Zum Beispiel: 1 in = 2.54 Cm; dann sind (2.54 Cm/in) der Umwandlungsfaktor, und sind selbst ohne Dimension und einem gleich. Deshalb ändert das Multiplizieren mit diesem Umwandlungsfaktor keine Menge. Dimensionale Symbole haben Umwandlungsfaktoren nicht.

Mathematische Eigenschaften

Die Dimensionen, die von einer gegebenen Sammlung von grundlegenden physischen Dimensionen, wie M, L, und T gebildet werden können, bilden eine Gruppe: Die Identität wird als 1 geschrieben; L = 1, und das Gegenteil zu L ist 1/L oder L. L erhoben zu jeder vernünftigen Macht ist p ein Mitglied der Gruppe, ein Gegenteil von L oder 1/L habend. Die Operation der Gruppe ist Multiplikation, die üblichen Regeln habend, um Hochzahlen (L × L = L) zu behandeln.

Diese Gruppe kann als ein Vektorraum über die rationalen Zahlen, mit zum Beispiel dem dimensionalen Symbol MLT entsprechend dem Vektoren (ich, j, k) beschrieben werden. Wenn physische gemessene Mengen (sind sie ähnlich dimensioniert oder unterschiedlich - dimensioniert), multipliziert oder durch ein anderen geteilt werden, werden ihre dimensionalen Einheiten ebenfalls multipliziert oder geteilt; das entspricht Hinzufügung oder Subtraktion im Vektorraum. Wenn messbare Mengen zu einer vernünftigen Macht erhoben werden, wird dasselbe zu den dimensionalen jenen Mengen beigefügten Symbolen getan; das entspricht Skalarmultiplikation im Vektorraum.

Eine Basis für einen gegebenen Vektorraum von dimensionalen Symbolen wird eine Reihe grundsätzlicher Einheiten oder grundsätzliche Dimensionen genannt, und alle anderen Vektoren werden abgeleitete Einheiten genannt. Als in jedem Vektorraum kann man verschiedene Basen wählen, der verschiedene Systeme von Einheiten nachgibt (z.B, wählend, ob die Einheit für die Anklage aus der Einheit für den Strom, oder umgekehrt abgeleitet wird).

Die Gruppenidentität 1, die Dimension von ohne Dimension Mengen, entspricht dem Ursprung in diesem Vektorraum.

Der Satz von Einheiten der physischen an einem Problem beteiligten Mengen entspricht einer Reihe von Vektoren (oder eine Matrix). Der Kern beschreibt eine Zahl (z.B, m) Wege, auf die diese Vektoren verbunden werden können, um einen Nullvektoren zu erzeugen. Diese entsprechen dem Produzieren (von den Maßen) mehrere ohne Dimension Mengen, {π..., π}. (Tatsächlich messen diese Wege völlig den ungültigen Subraum eines anderen verschiedenen Raums Mächte der Maße ab.) Jede mögliche Weise (und exponating) zusammen die gemessenen Mengen zu multiplizieren, um etwas mit denselben Einheiten wie zu erzeugen, kann etwas abgeleitete Menge X in der allgemeinen Form ausgedrückt werden

Folglich kann jede mögliche entsprechende Gleichung für die Physik des Systems in der Form umgeschrieben werden

. Das Wissen dieser Beschränkung kann ein starkes Werkzeug sein, um neue Scharfsinnigkeit ins System zu erhalten.

Mechanik

In der Mechanik kann die Dimension jeder physischen Menge in Bezug auf die grundsätzlichen Dimensionen (oder Grunddimensionen) M, L, und T ausgedrückt werden - diese bilden einen 3-dimensionalen Vektorraum. Das ist nicht die einzige mögliche Wahl, aber es ist meistens verwendetes dasjenige. Zum Beispiel könnte man Kraft, Länge und Masse als die Grunddimensionen wählen (weil einige getan haben), mit verbundenen Dimensionen F, L, M; das entspricht einer verschiedenen Basis, und man kann sich zwischen diesen Darstellungen durch eine Änderung der Basis umwandeln. Die Wahl des Grundsatzes von Dimensionen, ist so, teilweise eine Tagung, auf vergrößertes Dienstprogramm und Vertrautheit hinauslaufend. Es ist jedoch, wichtig zu bemerken, dass die Wahl des Satzes von Dimensionen willkürlich nicht gewählt werden kann - ist es nicht nur eine Tagung - weil die Dimensionen eine Basis bilden müssen: Sie müssen den Raum abmessen und linear unabhängig sein.

Zum Beispiel, F, L, M Form eine Reihe grundsätzlicher Dimensionen, weil sie eine gleichwertige Basis zur M, L, T bilden: Der erstere kann als [F=ML/T], L, M ausgedrückt werden, während die Letzteren als M, L, [T = (ML/F)] ausgedrückt werden können.

Andererseits, mit der Länge, Geschwindigkeit und Zeit (L, V, T) weil werden Grunddimensionen gut nicht arbeiten (sie bilden eine Reihe grundsätzlicher Dimensionen nicht), aus zwei Gründen:

• Es gibt keine Weise, Masse zu erhalten —, oder irgendetwas ist darauf wie Kraft zurückzuführen gewesen — ohne eine andere Grunddimension einzuführen (so diese messen den Raum nicht ab).
• Geschwindigkeit, werden abgeleitet aus Länge und Zeit (V=L/T), ist überflüssig (der Satz ist nicht linear unabhängig).

Andere Felder der Physik und Chemie

Abhängig vom Feld der Physik kann es vorteilhaft sein, ein oder ein anderer verlängerter Satz von dimensionalen Symbolen zu wählen. Im Elektromagnetismus, zum Beispiel, kann es nützlich sein, Dimensionen der M, L, T, und Q zu verwenden, wo Q Menge der elektrischen Anklage vertritt. In der Thermodynamik wird der Grundsatz von Dimensionen häufig erweitert, um eine Dimension für die Temperatur, Θ einzuschließen. In der Chemie wird die Zahl von Maulwürfen der Substanz (lose, aber nicht genau, verbunden mit der Zahl von Molekülen oder Atomen) häufig beteiligt, und eine Dimension dafür wird ebenso verwendet.

In der Wechselwirkung von relativistischem Plasma mit starken Laserpulsen wird ein ohne Dimension relativistischer mit den Symmetrie-Eigenschaften der collisionless Gleichung von Vlasov verbundener Ähnlichkeitsparameter von den und kritischen Plasmaelektrondichten zusätzlich zum elektromagnetischen Vektor-Potenzial gebaut. Die Wahl der Dimensionen oder ist sogar die Zahl von Dimensionen, die in verschiedenen Feldern der Physik zu verwenden sind, einigermaßen willkürlich, aber die Konsistenz im Gebrauch und der Bequemlichkeit von Kommunikationen ist sehr wichtig.

Commensurability

Zum Beispiel hat es keinen Sinn zu fragen, ob 1 Stunde mehr, dasselbe, oder weniger als 1 Kilometer ist, weil diese verschiedene Dimensionen haben, noch 1 Stunde zu 1 Kilometer hinzuzufügen. Andererseits, wenn ein Gegenstand 100 km in 2 Stunden reist, kann man diese teilen und beschließen, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit des Gegenstands 50 kph war.

Die Regel deutet an, dass in einem physisch bedeutungsvollen Ausdruck nur Mengen derselben Dimension hinzugefügt, abgezogen oder verglichen werden können. Zum Beispiel, wenn M, M und L, beziehungsweise, die Masse von einem Mann, die Masse einer Ratte und die Länge dieses Mannes anzeigen, ist der dimensional homogene Ausdruck bedeutungsvoll, aber der heterogene Ausdruck ist sinnlos. Jedoch ist m/L fein. So kann dimensionale Analyse als eine Prüfung der Zurechnungsfähigkeit von physischen Gleichungen verwendet werden: Die zwei Seiten jeder Gleichung müssen kommensurabel sein oder dieselben Dimensionen haben.

Selbst wenn zwei physische Mengen identische Dimensionen haben, kann es dennoch sinnlos sein, um sie zu vergleichen oder hinzuzufügen. Zum Beispiel, obwohl Drehmoment und Energie die Dimension ML/T teilen, sind sie im Wesentlichen verschiedene physische Mengen.

Um sich zu vergleichen, tragen Sie bei, oder ziehen Sie Mengen mit denselben Dimensionen ab, aber hat in verschiedenen Einheiten ausgedrückt, das Standardverfahren soll sie alle zuerst zu denselben Einheiten umwandeln. Zum Beispiel, um 32 Meter mit 35 Yards zu vergleichen, verwenden Sie 1 Yard = 0.9144 M, um 35 Yards zu 32.004 M umzuwandeln.

Polynome und transzendente Funktionen

Skalarargumente für transzendente Funktionen wie logarithmische und trigonometrische Exponentialfunktionen, oder zu inhomogeneous Polynomen, müssen ohne Dimension Mengen sein. (Bemerken Sie: Diese Voraussetzung wird in der orientational Analyse von Siano etwas entspannt, die unten beschrieben ist, in dem das Quadrat von bestimmten dimensionierten Mengen ohne Dimension sind)

Während der grösste Teil mathematischen Identität über ohne Dimension Zahlen auf eine aufrichtige Weise zu dimensionalen Mengen übersetzt, muss Sorge mit Logarithmen von Verhältnissen genommen werden: Der Identitätsklotz (a/b) = loggt - loggen b, wo der Logarithmus in jeder Basis genommen wird, hält für ohne Dimension Zahlen a und b, aber es hält nicht, ob a und b dimensional sind, weil in diesem Fall die linke Seite bestimmt ist, aber die Rechte ist nicht.

Ähnlich, während man Monome (x) von dimensionalen Mengen bewerten kann, kann man nicht Polynome des Mischgrads mit ohne Dimension Koeffizienten auf dimensionalen Mengen bewerten: Für x der Ausdruck (3 m) = haben 9 M Sinn (als ein Gebiet), während für x + x der Ausdruck (3 m) + 3 M = 9 M + 3 M Sinn nicht haben.

Jedoch können Polynome des Mischgrads Sinn haben, wenn die Koeffizienten physische Mengen angemessen gewählt werden, die nicht ohne Dimension sind. Zum Beispiel,

:

Das ist die Höhe, zu der sich ein Gegenstand rechtzeitig t erhebt, wenn die Beschleunigung des Ernstes 32 Fuß pro Sekunde pro Sekunde ist und die anfängliche nach oben gerichtete Geschwindigkeit 500 Fuß pro Sekunde ist. Es ist für t nicht sogar notwendig, in Sekunden zu sein. Nehmen Sie zum Beispiel t = 0.01 Minuten an. Dann würde der erste Begriff sein

:

\begin {richten }\aus

& {} \qquad \frac {1} {2 }\\cdot \left (-32\frac {\\Text {Fuß}} {\\Text {der zweite} ^2 }\\Recht) \cdot (0.01\text {Minute}) ^2 \\[10pt]

& = \frac {1} {2 }\\cdot-32\cdot (0.01^2) \left (\frac {\\Text {Minute}} {\\Text {der zweite} }\\Recht) ^2 \cdot \text {Fuß} \\[10pt]

& = \frac {1} {2 }\\cdot-32\cdot (0.01^2) \cdot 60^2 \cdot \text {Fuß}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Das Verbinden von Einheiten

Der Wert einer dimensionalen physischen Menge Z wird als das Produkt einer Einheit [Z] innerhalb der Dimension und eines ohne Dimension numerischen Faktors, n geschrieben.

:

In einem strengen Sinn, wenn ähnlich dimensionierte Mengen hinzugefügt oder abgezogen oder verglichen werden, müssen diese dimensionierten Mengen in konsequenten Einheiten ausgedrückt werden, so dass die numerischen Werte dieser Mengen direkt hinzugefügt oder abgezogen werden können. Aber, im Konzept, gibt es kein Problem, das Mengen derselben in verschiedenen Einheiten ausgedrückten Dimension hinzufügt. Zum Beispiel ist zu 1 Fuß hinzugefügter 1 Meter eine Länge, aber es würde nicht richtig sein, um 1 zu 1 beizutragen, um das Ergebnis zu bekommen. Ein Umwandlungsfaktor, der ein Verhältnis von ähnlich dimensionierten Mengen ist und der ohne Dimension Einheit gleich ist, ist erforderlich:

: ist zu identisch

Der Faktor ist zu ohne Dimension 1 identisch, so ändert das Multiplizieren mit diesem Umwandlungsfaktor nichts. Dann, als das Hinzufügen von zwei Mengen der ähnlichen Dimension, aber in verschiedenen Einheiten ausgedrückt hat, wird der passende Umwandlungsfaktor, der im Wesentlichen ohne Dimension 1 ist, verwendet, um die Mengen zu identischen Einheiten umzuwandeln, so dass ihre numerischen Werte hinzugefügt oder abgezogen werden können.

:Only auf diese Weise ist es bedeutungsvoll, um davon zu sprechen, ähnlich dimensionierte Mengen von sich unterscheidenden Einheiten hinzuzufügen.

Position gegen die Versetzung

Einige Diskussionen der dimensionalen Analyse beschreiben implizit alle Mengen als mathematische Vektoren. (In der Mathematik werden Skalare ein spezieller Fall von Vektoren in Betracht gezogen; die Betonung hier ist, dass Vektoren unter der Hinzufügung, Subtraktion und Skalarmultiplikation geschlossen werden, und Skalarabteilung erlauben.). Das nimmt einen impliziten Maßstab — ein Ursprung an. Während das nützlich und häufig vollkommen entsprechend ist, vielen wichtigen Fehlern erlaubend, gefangen zu werden, kann es scheitern, bestimmte Aspekte der Physik zu modellieren. Eine strengere Annäherung verlangt das Unterscheiden zwischen Position und Versetzung (oder Moment rechtzeitig gegen die Dauer oder absolute Temperatur gegen die Temperaturänderung).

Denken Sie Punkte auf einer Linie, jedem mit einer Position in Bezug auf einen gegebenen Ursprung und Entfernungen unter ihnen. Positionen und Versetzungen alle haben Einheiten der Länge, aber ihre Bedeutung ist nicht austauschbar:

• das Hinzufügen von zwei Versetzungen sollte eine neue Versetzung nachgeben (zehn Schritte dann spazieren gehend zwanzig Schritte bekommen Sie dreißig Schritte vorwärts),
• das Hinzufügen einer Versetzung zu einer Position sollte eine neue Position nachgeben (ein Block unten spazieren gehend die Straße von einer Kreuzung bekommt Sie zur folgenden Kreuzung),
• Abstriche machende zwei Positionen sollten eine Versetzung, nachgeben
• aber man kann zwei Positionen nicht hinzufügen.

Das illustriert die feine Unterscheidung zwischen affine Mengen (die durch einen affine Raum wie Position modelliert sind) und Vektor-Mengen (die durch einen Vektorraum, wie Versetzung modelliert sind).

• Vektor-Mengen können zu einander hinzugefügt werden, eine neue Vektor-Menge nachgebend, und eine Vektor-Menge kann zu einer passenden affine Menge hinzugefügt werden (ein Vektorraum folgt einem affine Raum), eine neue affine Menge nachgebend.
• Mengen von Affine können nicht hinzugefügt werden, aber können abgezogen werden, Verhältnismengen nachgebend, die Vektoren sind, und diese Verhältnisunterschiede dann zu einander oder zu einer affine Menge hinzugefügt werden können.

Richtig dann haben Positionen Dimension der affine Länge, während Versetzungen Dimension der Vektor-Länge haben. Um eine Zahl einer affine Einheit zuzuteilen, muss man keine Einheit des Maßes nur wählen, sondern auch ein Maßstab, während man eine Zahl einer Vektor-Einheit nur zuteilt, verlangt eine Einheit des Maßes.

So werden einige physische Mengen durch Vektormengen besser modelliert, während andere dazu neigen, affine Darstellung zu verlangen, und die Unterscheidung in ihrer dimensionalen Analyse widerspiegelt wird.

Diese Unterscheidung ist im Fall von der Temperatur besonders wichtig, für die der numerische Wert der absoluten Null nicht der Ursprung 0 in einigen Skalen ist. Für die absolute Null,

: 0 K = 273.15 °C = 459.67 °F = 0 °R,

aber für Temperaturunterschiede,

: 1 K = 1 °C  1 °F = 1 °R.

(Hier bezieht sich °R auf die Skala von Rankine, nicht die Skala von Réaumur).

Die Einheitskonvertierung für Temperaturunterschiede ist einfach eine Sache des Multiplizierens mit, z.B, 1 °F / 1 K. Aber weil einige dieser Skalen Ursprünge haben, die absoluter Null nicht entsprechen, verlangt die Konvertierung von einer Temperaturskala bis einen anderen Erklärung davon. Infolgedessen kann einfache dimensionale Analyse zu Fehlern führen, wenn es zweideutig ist, ob 1 K die absolute Temperatur bedeutet, die 272.15 °C oder dem 1 °C gleichen Temperaturunterschied gleich ist.

Orientierung und Bezugssystem

Ähnlich dem Problem eines Maßstabs ist das Problem der Orientierung: Eine Versetzung in 2 oder 3 Dimensionen ist nicht nur eine Länge, aber ist eine Länge zusammen mit einer Richtung. (Dieses Problem entsteht in 1 Dimension nicht, oder ist eher zur Unterscheidung zwischen positivem und negativem gleichwertig.) So, um zwei dimensionale Mengen in einem mehrdimensionalen Raum sich zu vergleichen oder zu verbinden, braucht man auch eine Orientierung: Sie müssen im Vergleich zu einem Bezugssystem sein.

Das führt zu den Erweiterungen, die unten, nämlich die geleiteten Dimensionen von Huntley und die orientational Analyse von Siano besprochen sind.

Anderer Gebrauch

Dimensionale Analyse wird auch verwendet, um Beziehungen zwischen den physischen Mengen abzuleiten, die an einem besonderen Phänomen beteiligt werden, das man verstehen und charakterisieren möchte. Es wurde zum ersten Mal auf diese Weise 1872 von Herrn Rayleigh verwendet, der versuchte zu verstehen, warum der Himmel blau ist. Rayleigh hat zuerst die Technik veröffentlicht ist sein Buch "Theorie des Tons" von 1877.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel: Periode eines harmonischen Oszillators

Wie ist die Periode der Schwingung einer Masse, die einem idealen geradlinigen Frühling mit der im Ernst der Kraft aufgehobenen Frühlingskonstante beigefügt ist? Diese Periode ist die Lösung für einer ohne Dimension Gleichung in den Variablen, und.

Die vier Mengen haben die folgenden Dimensionen: [T]; [M]; [M/T]; und [L/T]. Von diesen können wir nur ein ohne Dimension Produkt von Mächten unserer gewählten Variablen bilden, =, und für eine ohne Dimension Konstante stellend, gibt die ohne Dimension gesuchte Gleichung. Das ohne Dimension Produkt von Mächten von Variablen wird manchmal eine ohne Dimension Gruppe von Variablen genannt; hier bedeutet der Begriff "Gruppe" "Sammlung" aber nicht mathematische Gruppe. Sie werden häufig ohne Dimension Zahlen ebenso genannt.

Bemerken Sie, dass die Variable in der Gruppe nicht vorkommt. Es ist leicht zu sehen, dass es unmöglich ist, ein ohne Dimension Produkt von Mächten zu bilden, das sich mit verbindet, und, weil die einzige Menge ist, die die Dimension L einschließt. Das deutet das in diesem Problem an irrelevant zu sein. Dimensionale Analyse kann manchmal starke Behauptungen über die Irrelevanz von einigen Mengen in einem Problem oder das Bedürfnis nach zusätzlichen Rahmen nachgeben. Wenn wir genug Variablen gewählt haben, um das Problem richtig zu beschreiben, dann von diesem Argument können wir beschließen, dass die Periode der Masse auf dem Frühling unabhängig ist: Es ist dasselbe auf der Erde oder dem Mond. Die Gleichung, die die Existenz eines Produktes von Mächten für unser Problem demonstriert, kann auf eine völlig gleichwertige Weise geschrieben werden: für einen ohne Dimension unveränderlichen κ (gleich von der ursprünglichen ohne Dimension Gleichung).

Wenn, mit einem Fall konfrontierend, wo dimensionale Analyse eine Variable zurückweist (hier), dass man intuitiv annimmt, in einer physischen Beschreibung der Situation zu gehören, eine andere Möglichkeit darin besteht, dass die zurückgewiesene Variable tatsächlich wichtig ist, aber dass eine andere relevante Variable weggelassen worden ist, der sich mit der zurückgewiesenen Variable verbinden könnte, um eine ohne Dimension Menge zu bilden. D. h. jedoch, nicht der Fall hier.

Wenn dimensionale Analyse nur eine ohne Dimension Gruppe als hier nachgibt, gibt es keine unbekannten Funktionen, und, wie man sagt, ist die Lösung "abgeschlossen" - obwohl es noch unbekannte ohne Dimension Konstanten wie κ einschließen kann.

Ein komplizierteres Beispiel: Energie einer vibrierenden Leitung

Ziehen Sie den Fall einer vibrierenden Leitung der Länge  (L) in Betracht, mit einem Umfang (L) vibrierend. Die Leitung hat eine geradlinige Dichte ρ (M/L) und ist unter der Spannung s (ML/T), und wir wollen die Energie E (ML/T) in der Leitung wissen. Lassen Sie π und π zwei ohne Dimension Produkte von Mächten der Variablen sein, die gewählt, durch gegeben sind

:

Die geradlinige Dichte der Leitung wird nicht beteiligt. Die zwei Gruppen haben gefunden kann in eine gleichwertige Form als eine Gleichung verbunden werden

:

wo F etwas unbekannte Funktion, oder, gleichwertig als ist

:

wo f eine andere unbekannte Funktion ist. Hier deutet die unbekannte Funktion an, dass unsere Lösung jetzt unvollständige aber dimensionale Analyse ist, hat uns etwas gegeben, was nicht offensichtlich gewesen sein kann: Die Energie ist zur ersten Macht der Spannung proportional. Weiter analytische Analyse verriegelnd, könnten wir zu Experimenten fortfahren, die Form für die unbekannte Funktion f zu entdecken. Aber unsere Experimente sind einfacher als ohne dimensionale Analyse. Wir würden niemanden durchführen, um nachzuprüfen, dass die Energie zur Spannung proportional ist. Oder vielleicht könnten wir glauben, dass die Energie zu  proportional ist, und so leiten Sie das ab. Die Macht der dimensionalen Analyse als eine Hilfe zu experimentieren und sich formende Hypothesen wird offensichtlich.

Die Macht der dimensionalen Analyse wird wirklich offenbar, wenn es auf Situationen, verschieden von denjenigen angewandt wird, die oben gegeben sind, die mehr kompliziert sind, der Satz von beteiligten Variablen, sind und die zu Grunde liegenden hoffnungslos komplizierten Gleichungen nicht offenbar., Denken Sie zum Beispiel, einen kleinen Kieselstein, der auf dem Bett eines Flusses sitzt. Wenn der Fluss schnell genug fließt, wird er wirklich den Kieselstein erheben und es veranlassen, zusammen mit dem Wasser zu fließen. An welcher kritischer Geschwindigkeit wird das vorkommen? Sich die erratenen Variablen von selbst zu erledigen, ist nicht so leicht wie zuvor. Aber dimensionale Analyse kann eine starke Hilfe im Verstehen von Problemen wie das sein, und ist gewöhnlich das allererste auf komplizierte Probleme anzuwendende Werkzeug, wo die zu Grunde liegenden Gleichungen und Einschränkungen schlecht verstanden werden. In solchen Fällen kann die Antwort von einer ohne Dimension Zahl wie die Zahl von Reynolds abhängen, die durch die dimensionale Analyse interpretiert werden kann.

Erweiterungen

Die Erweiterung von Huntley: geleitete Dimensionen

Huntley hat darauf hingewiesen, dass es manchmal produktiv ist, unser Konzept der Dimension zu raffinieren. Zwei mögliche Verbesserungen sind:

• Der Umfang der Bestandteile eines Vektoren soll dimensional verschieden betrachtet werden. Zum Beispiel, aber nicht eine undifferenzierte Länge-Einheit L, wir können haben vertreten Länge in der x Richtung und so weiter. Diese Voraussetzung stammt schließlich von der Voraussetzung, dass jeder Bestandteil einer physisch bedeutungsvollen Gleichung (Skalar, Vektor oder Tensor) dimensional entsprechen muss.
• Die Masse als ein Maß der Menge soll dimensional verschieden von der Masse als ein Maß der Trägheit betrachtet werden.

Als ein Beispiel der Nützlichkeit der ersten Verbesserung, nehmen Sie an, dass wir die Entfernung berechnen möchten, reist eine Kanonenkugel, wenn angezündet, mit einem vertikalen Geschwindigkeitsbestandteil und einem horizontalen Geschwindigkeitsbestandteil, annehmend, dass es auf einer flachen Oberfläche angezündet wird. Keinen Gebrauch von geleiteten Längen annehmend, werden die Mengen von Interesse dann beide als, R dimensioniert, die Entfernung ist gereist, Dimension L und g die Beschleunigung nach unten des Ernstes, mit der Dimension habend

Mit diesen vier Mengen können wir beschließen, dass die Gleichung für die Reihe R geschrieben werden kann:

:

Oder dimensional

:

von dem wir ableiten können, dass und, der eine Hochzahl unentschieden verlässt. Das soll erwartet werden, da wir zwei grundsätzliche Mengen L und T und vier Rahmen mit einer Gleichung haben.

Wenn, jedoch, wir geleitete Länge-Dimensionen verwenden, dann als, als, R als und g als dimensioniert werden. Die dimensionale Gleichung wird:

:

und wir können völlig als lösen, und. Die Zunahme in der deduktiven durch den Gebrauch von geleiteten Länge-Dimensionen gewonnenen Macht ist offenbar.

Auf eine ähnliche Weise wird es manchmal nützlich (z.B, in der flüssigen Mechanik und Thermodynamik) gefunden, um zwischen Masse als ein Maß der Trägheit (Trägheitsmasse) und Masse als ein Maß der Menge (wesentliche Masse) zu unterscheiden. Denken Sie zum Beispiel die Abstammung des Gesetzes von Poiseuille. Wir möchten die Rate des Massenflusses einer klebrigen Flüssigkeit durch eine kreisförmige Pfeife finden. Ohne Unterschiede zwischen der wesentlichen und Trägheitsmasse zu machen, können wir als die relevanten Variablen wählen

• der Massendurchfluss mit Dimensionen

• der Druck-Anstieg entlang der Pfeife mit Dimensionen

• die Dichte mit Dimensionen

• die dynamische flüssige Viskosität mit Dimensionen

• der Radius der Pfeife mit Dimensionen

Es gibt drei grundsätzliche Variablen, so werden die obengenannten fünf Gleichungen zwei ohne Dimension Variablen nachgeben, die wir nehmen können, um zu sein, und und wir die dimensionale Gleichung als ausdrücken können

:

wo C und unentschiedener Konstanten zu sein. Wenn wir einen Unterschied zwischen Trägheitsmasse mit Dimensionen und wesentlicher Masse mit Dimensionen machen, dann werden Massendurchfluss und Dichte wesentliche Masse als der Massenparameter verwenden, während der Druck-Anstieg und Koeffizient der Viskosität Trägheitsmasse verwenden werden. Wir haben jetzt vier grundsätzliche Rahmen und eine ohne Dimension Konstante, so dass die dimensionale Gleichung geschrieben werden kann:

:

wo jetzt nur C eine unentschiedene Konstante (gefunden ist, durch Methoden außerhalb der dimensionalen Analyse gleich zu sein). Diese Gleichung kann für den Massendurchfluss gelöst werden, um das Gesetz von Poiseuille nachzugeben.

Die Erweiterung von Siano: Orientational-Analyse

Die Erweiterung von Huntley hat einige ernste Nachteile:

• Es befasst sich gut mit Vektor-Gleichungen nicht, die das Kreuzprodukt, einschließen
• noch es behandelt gut den Gebrauch von Winkeln als physische Variablen.

Es ist häufig auch ziemlich schwierig, den L, L, L, L, die Symbole zu den physischen am Problem von Interesse beteiligten Variablen zuzuteilen. Er ruft ein Verfahren an, das die "Symmetrie" des physischen Problems einschließt. Das ist häufig sehr schwierig, zuverlässig zu gelten: Es ist betreffs unklar, welche Teile des Problems, dass der Begriff "der Symmetrie" angerufen wird. Ist es die Symmetrie des physischen Körpers, nach dem Kräfte, oder zu den Punkten, Linien oder Gebieten handeln, an welche Kräfte werden angewandt? Und wenn mehr als ein Körper mit verschiedenem symmetries beteiligt wird? Betrachten Sie die kugelförmige Luftblase als beigefügt einer zylindrischen Tube, wo man den Durchfluss von Luft als eine Funktion des Druck-Unterschieds in den zwei Teilen will. Was der Huntley sind erweiterte Dimensionen der Viskosität der in den verbundenen Teilen enthaltenen Luft? Wie sind die verlängerten Dimensionen des Drucks der zwei Teile? Sind sie dasselbe oder verschieden? Diese Schwierigkeiten sind für die beschränkte Anwendung der Hinzufügung von Huntley zu echten Problemen verantwortlich.

Winkel, sind durch die Tagung, betrachtet, ohne Dimension Variablen zu sein, und so kann der Gebrauch von Winkeln als physische Variablen in der dimensionalen Analyse weniger bedeutungsvolle Ergebnisse geben. Als ein Beispiel, betrachten Sie das Kugel-Problem als erwähnt oben. Nehmen Sie an, dass, statt des x- und der Y-Bestandteile der anfänglichen Geschwindigkeit, wir den Umfang der Geschwindigkeit v und des Winkels θ gewählt hatten, an dem die Kugel angezündet wurde. Der Winkel, ist durch die Tagung, betrachtet, ohne Dimension zu sein, und der Umfang eines Vektoren hat keine Richtungsqualität, so dass keine ohne Dimension Variable aus den vier Variablen g, v, R, und dem θ zusammengesetzt werden kann. Herkömmliche Analyse wird die Mächte von g und v richtig geben, aber wird keine Information bezüglich des ohne Dimension Winkels θ geben.

Siano hat vorgeschlagen, dass die geleiteten Dimensionen von Huntley durch das Verwenden orientational von Symbolen 1 1 1 ersetzt werden, um Vektor-Richtungen und ein orientationless Symbol 1 anzuzeigen. So wird 1 von Huntley L 1 mit L das Spezifizieren der Dimension der Länge und des 1 Spezifizierens der Orientierung. Weitere Shows von Siano, dass die orientational Symbole eine Algebra ihres eigenen haben. Zusammen mit der Voraussetzung dass 1 = 1, die folgende Multiplikationstabelle für die Orientierungssymbol-Ergebnisse:

:

\begin {Matrix-}\

&\\mathbf {1_0} &\\mathbf {1_x} &\\mathbf {1_y} &\\mathbf {1_z }\\\

\mathbf {1_0} &1_0&1_x&1_y&1_z \\

\mathbf {1_x} &1_x&1_0&1_z&1_y \\

\mathbf {1_y} &1_y&1_z&1_0&1_x \\

\mathbf {1_z}

&1_z&1_y&1_x&1_0

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass die orientational Symbole eine Gruppe (der Klein vier-Gruppen- oder "Viergruppe") bilden. In diesem System haben Skalare immer dieselbe Orientierung wie das Identitätselement, das der "Symmetrie des Problems unabhängig ist." Physische Mengen, die Vektoren sind, ließen die Orientierung erwarten: Eine Kraft oder eine Geschwindigkeit in der Z-Richtung haben die Orientierung 1. Für Winkel, denken Sie einen Winkel θ, der im z-plane liegt. Bilden Sie ein rechtwinkliges Dreieck im z Flugzeug mit θ, der einer der akuten Winkel ist. Die Seite des rechtwinkligen Dreieckes neben dem Winkel hat dann eine Orientierung 1, und die Seite hat gegenüber eine Orientierung 1. Dann seit der Lohe (θ) = 1/1 = θ +... beschließen wir, dass ein Winkel im xy Flugzeug eine Orientierung 1/1 = 1 haben muss, der ziemlich angemessen ist. Analoge vernünftig urteilende Kräfte, hat der Beschluss, die (θ) sündigen, Orientierung 1 während, weil (θ) Orientierung 1 hat. Diese sind verschieden, so beschließt man (richtig) zum Beispiel, dass es keine Lösungen von physischen Gleichungen gibt, die der Form sind, weil (θ) + b Sünde (θ), wo a und b echte Skalare sind. Bemerken Sie, dass ein Ausdruck, der nicht dimensional inkonsequent ist, da es ein spezieller Fall der Summe der Winkelformel ist und richtig geschrieben werden sollte:

:

der für und Erträge. Physische Mengen können als komplexe Zahlen (z.B) ausgedrückt werden. die andeuten, dass die komplizierte Menge ich habe eine diesem des Winkels gleiche Orientierung, es wird mit (1 im obengenannten Beispiel) vereinigt.

Die Anweisung von orientational Symbolen zu physischen Mengen und der Voraussetzung, dass physische Gleichungen, homogen sein orientationally, wirklich in einem Weg verwendet werden können, der der dimensionalen Analyse ähnlich ist, um etwas mehr Information über annehmbare Lösungen von physischen Problemen abzuleiten. In dieser Annäherung stellt man die dimensionale Gleichung auf und löst es, so weit man kann. Wenn die niedrigste Macht einer physischen Variable unbedeutend ist, beide Seiten der Lösung zu einer solcher Macht erhoben wird, dass alle Mächte integriert sind. Das stellt es in die "normale Form". Die orientational Gleichung wird dann gelöst, um eine einschränkendere Bedingung auf den unbekannten Mächten der orientational Symbole zu geben, eine Lösung erreichend, die mehr abgeschlossen ist als derjenige, den dimensionale Analyse allein gibt. Häufig ist die zusätzliche Information, dass eine der Mächte einer bestimmten Variable sogar oder seltsam ist.

Als ein Beispiel, für das Kugel-Problem, mit orientational Symbole, θ, im xy-plane seiend, wird so Dimension 1 haben, und die Reihe der Kugel wird R von der Form sein:

:

\left (\frac {L \, 1_y} {T^2 }\\Recht) ^a\left (\frac {L} {T }\\Recht) ^b \, 1_z^c. \, </math>

Dimensionale Gleichartigkeit wird jetzt = &minus;1 und b = 2 richtig tragen, und orientational Gleichartigkeit verlangt, dass c eine sonderbare ganze Zahl sind. Tatsächlich wird die erforderliche Funktion von theta Sünde (θ) sein, weil (θ), der eine Reihe von sonderbaren Mächten von θ ist.

Es wird gesehen, dass die Reihe von Taylor der Sünde (θ), und weil (θ) das orientationally homogene Verwenden die obengenannte Multiplikationstabelle sind, während Ausdrücke wie, weil (θ) + Sünde (θ) und exp (θ) nicht ist, und unphysisch (richtig) gehalten werden.

Es sollte klar sein, dass die für die orientational Symbole verwendete Multiplikationsregel nicht dasselbe als das für das Kreuzprodukt von zwei Vektoren ist. Das Kreuzprodukt von zwei identischen Vektoren ist Null, während das Produkt von zwei identischen orientational Symbolen das Identitätselement ist.

Prozentsätze und Ableitungen

Prozentsätze sind ohne Dimension Mengen, da sie Verhältnisse von zwei Mengen mit denselben Dimensionen sind.

Ableitungen in Bezug auf eine Menge fügen hinzu, dass die Dimensionen der variablen in Bezug auf auf dem Nenner differenzieren. So:

• Position (x) hat Einheiten von L (Länge);
• die Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit (dx/dt, Geschwindigkeit) hat Einheiten von L/T - Länge von der Position, Zeit von der Ableitung;
• die zweite Ableitung (dx/dt, Beschleunigung) hat Einheiten von L/T.

In der Volkswirtschaft unterscheidet man zwischen Lagern und Flüssen: Ein Lager hat Einheiten von "Einheiten" (sagen Sie Produkte oder Dollars), während ein Fluss eine Ableitung eines Lagers ist, und Einheiten von "Einheiten/Zeit" hat (sagen Sie Dollars/Jahr).

Hüten Sie sich davor in einigen Zusammenhängen, dimensionale Mengen werden als ohne Dimension Mengen oder Prozentsätze durch das Auslassen einiger Dimensionen ausgedrückt. Das kann oder kann nicht irreführend sein. Zum Beispiel, Schuld gegenüber BIP-Verhältnissen werden allgemein als Prozentsätze ausgedrückt: Gesamtschuld hervorragend (Dimension der Währung) geteilt durch das jährliche BIP (Dimension der Währung) - aber kann man behaupten, dass im Vergleichen eines Lagers zu einem Fluss jährliches BIP Dimensionen der Währung/Zeit (Dollars/Jahr, zum Beispiel) haben sollte, und so die Schuld gegenüber dem BIP Einheiten von Jahren haben sollte.

Ohne Dimension Konzepte

Konstanten

Die ohne Dimension Konstanten, die in den Ergebnissen erhalten, wie der C im Gesetzproblem von Poiseuille und in den Frühlingsproblemen entstehen, die über dem gekommenen von einer ausführlicheren Analyse der zu Grunde liegenden Physik besprochen sind, und häufig daraus entstehen, eine Differenzialgleichung zu integrieren. Dimensionale Analyse selbst hat wenig, um über diese Konstanten zu sagen, aber es ist nützlich zu wissen, dass sie sehr häufig einen Umfang der Ordnungseinheit haben. Diese Beobachtung kann demjenigen erlauben, manchmal "Rücken des Umschlags" Berechnungen über das Phänomen von Interesse zu machen, und deshalb im Stande zu sein, Experimente effizienter zu entwerfen, um es zu messen oder zu urteilen, ob es usw. wichtig ist.

Formalismen

Paradoxerweise kann dimensionale Analyse ein nützliches Werkzeug sein, selbst wenn alle Rahmen in der zu Grunde liegenden Theorie z.B ohne Dimension sind, können Gitter-Modelle wie das Modell von Ising verwendet werden, um Phase-Übergänge und kritische Phänomene zu studieren. Solche Modelle können auf eine rein ohne Dimension Weise formuliert werden. Da wir uns dem kritischen Punkt näher und näher nähern, wird die Entfernung, über die die Variablen im Gitter-Modell aufeinander bezogen werden (die so genannte Korrelationslänge,) größer und größer. Jetzt ist die Korrelationslänge die relevante mit kritischen Phänomenen verbundene Länge-Skala, so kann man z.B auf dem "dimensionalen Boden" vermuten, dass der nichtanalytische Teil der freien Energie pro Gitter-Seite sein sollte, wo die Dimension des Gitters ist.

Es ist von einigen Physikern, z.B, Michael Duff diskutiert worden, dass die Gesetze der Physik von Natur aus ohne Dimension sind. Die Tatsache, dass wir unvereinbare Dimensionen der Länge, Zeit und Masse zugeteilt haben, ist gemäß diesem Gesichtspunkt, gerade eine Sache der Tagung, die aus der Tatsache dass vor dem Advent der modernen Physik geboren ist, es gab keine Weise, Masse, Länge, und Zeit zu einander zu verbinden. Die drei unabhängigen dimensionful Konstanten: Wie man dann sehen muss, wandelt c, ħ, und G, in den grundsätzlichen Gleichungen der Physik als bloße Umwandlungsfaktoren Masse, Zeit und Länge in einander um.

Ebenso im Fall von kritischen Eigenschaften von Gitter-Modellen kann man die Ergebnisse der dimensionalen Analyse in der passenden kletternden Grenze wieder erlangen; z.B kann die dimensionale Analyse in der Mechanik abgeleitet werden, indem sie die Konstanten ħ, c, und G wieder eingesetzt wird (aber wir können jetzt denken, dass sie ohne Dimension sind), und fordernd, dass eine nichtsinguläre Beziehung zwischen Mengen in der Grenze besteht, und. In Problemen, die ein Schwerefeld einschließen, sollte die letzte Grenze solch genommen werden, dass das Feld begrenzt bleibt.

Anwendungen

Dimensionale Analyse wird meistenteils in der Physik und Chemie - und in der Mathematik davon verwendet - aber findet einige Anwendungen außerhalb jener Felder ebenso.

Mathematik

Eine einfache Anwendung der dimensionalen Analyse zur Mathematik ist in der Computerwissenschaft der Form des Volumens eines N-Balls (der feste Ball in N-Dimensionen), oder das Gebiet seiner Oberfläche, des N-Bereichs: Eine N-Dimensional-Zahl seiend, klettert das Volumen als, während die Fläche, - dimensional, Skalen weil So seiend, das Volumen des N-Balls in Bezug auf den Radius für etwas unveränderliche Bestimmung ist, dass die Konstante beteiligtere Mathematik nimmt, aber die Form kann abgeleitet werden und hat von dimensionaler Analyse allein überprüft.

Finanz, Volkswirtschaft und Buchhaltung

In der Finanz, Volkswirtschaft und Buchhaltung, wird auf dimensionale Analyse meistens in Bezug auf die Unterscheidung zwischen Lagern und Flüssen verwiesen. Mehr allgemein wird dimensionale Analyse in der Interpretation verschiedener Finanzverhältnisse, Wirtschaftverhältnisse und Buchhaltungsverhältnisse verwendet.

• Zum Beispiel hat das P/E Verhältnis Dimensionen der Zeit (Einheiten von Jahren), und kann als "Jahre des Ertrags interpretiert werden, um den bezahlten Preis zu verdienen."
• In der Volkswirtschaft hat Verhältnis der Schuld zum BIP auch Einheiten von Jahren (Schuld hat Einheiten der Währung, BIP hat Einheiten der Währung/Jahr).
• Überraschender hat Band-Dauer auch Einheiten von Jahren, die durch die dimensionale Analyse gezeigt werden können, aber eine Finanzintuition nehmen, um zu verstehen.
• Die Geschwindigkeit des Geldes hat Einheiten 1/Jahre (BIP/Geldmenge hat Einheiten der Währung/Jahr über die Währung): Wie oft eine Einheit der Währung pro Jahr zirkuliert.
• Zinssätze werden häufig als ein Prozentsatz ausgedrückt, aber richtiger Prozent pro Jahr, das Dimensionen 1/Jahre hat.

Kritiker der Hauptströmungsvolkswirtschaft, namentlich einschließlich Anhänger der österreichischen Volkswirtschaft, haben behauptet, dass es an dimensionaler Konsistenz Mangel hat.

Dimensionale Gleichwertigkeiten

Folgender ist Tische allgemein vorkommender Ausdrücke in der Physik, die mit den Dimensionen der Energie, des Schwungs und der Kraft verbunden ist.

SI-Einheiten

Natürliche Einheiten

Wenn c = ħ = 1, wo c = luminal Geschwindigkeit und ħ = die reduzierte Konstante von Planck, und eine passende feste Einheit der Energie gewählt werden, dann können alle Mengen der Länge L, MassenM und Zeit T (dimensional) als eine Macht der Energie E ausgedrückt werden, weil Länge, Masse und Zeit mit der Geschwindigkeit v, Handlung S und Energie E ausgedrückt werden können:

:

obwohl Geschwindigkeit und Handlung (v = c = 1 und S = ħ = 1) ohne Dimension sind - so ist die einzige restliche Menge mit der Dimension Energie. In Bezug auf Mächte von Dimensionen:

:

Das, das in der Partikel-Physik und hohen Energiephysik besonders nützlich ist, in welchem Fall die Energieeinheit das Elektronvolt (eV) ist. Dimensionale Kontrollen und Schätzungen werden sehr einfach in diesem System.

Jedoch - wenn elektrische Anklagen und Ströme beteiligt werden, ist eine andere zu befestigende Einheit für die elektrische Anklage, normalerweise die Elektronanklage e, obwohl andere Wahlen möglich sind.

Siehe auch

• Menge-Rechnung
• Schuld gegenüber dem BIP-Verhältnis
• Konkrete Zahl
• Hypothese der großen Anzahl von Dirac
• Problem von Fermi
• Grundsätzliche Einheit
• Nondimensionalization
• Equivalization
• Physische Menge
• Natürliche Einheiten
• Ähnlichkeit (Modell)
• Lehrsatz von Buckingham π
• Einheitskonvertierung durch das Faktor-Etikett
• Raum von Affine
• Vektorraum
• Bezugssystem
• Maßstab
• Die Methode von Rayleigh der dimensionalen Analyse
• Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren
• Keil-Produkt
• Geschichte des metrischen Systems
• Geometrische Algebra

Referenzen

• , (5): 147, (6): 101, (7): 129

Links

• Liste von Dimensionen für die Vielfalt von physischen Mengen
• Unicalc Lebende Webrechenmaschine, die Einheitskonvertierung durch die dimensionale Analyse tut
• Ein C ++ Durchführung der Übersetzungszeit dimensionale Analyse in den Zunahme-Bibliotheken der offenen Quelle

http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf

• Menge-Systemrechenmaschine für die Einheitskonvertierung, die auf der dimensionalen Annäherung gestützt ist
• Einheiten, Mengen und grundsätzliche Konstanten planen, dass dimensionale Analyse kartografisch darstellt