In der Rechnung ist die Integration durch den Ersatz eine Methode, um Integrale zu finden. Das Verwenden des Hauptsatzes der Rechnung verlangt häufig Entdeckung einer Antiableitung. Dafür und andere Gründe ist die Integration durch den Ersatz ein wichtiges Werkzeug für Mathematiker. Es ist die Kopie zur Kettenregel der Unterscheidung.

Lassen Sie, ein Zwischenraum zu sein und unaufhörlich differentiable Funktion zu sein. Nehmen Sie an, dass das eine dauernde Funktion ist. Dann

:

\int_ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) \, dx = \int_a^b f (g (t)) g' (t) \, dt.

</Mathematik>

Das Verwenden der Notation von Leibniz: Der Ersatz trägt und so, formell, der der erforderliche Ersatz dafür ist. (Man konnte die Methode der Integration durch den Ersatz als eine Hauptrechtfertigung der Notation von Leibniz für Integrale und Ableitungen ansehen.)

Die Formel wird verwendet, um ein Integral in ein anderes Integral umzugestalten, das leichter ist zu rechnen. So kann die Formel vom linken bis Recht oder vom Recht bis linken verwendet werden, um ein gegebenes Integral zu vereinfachen. Wenn verwendet, auf die letzte Weise ist es manchmal als U-Ersatz bekannt.

Beziehung zum Hauptsatz der Rechnung

Die Integration durch den Ersatz kann aus dem Hauptsatz der Rechnung wie folgt abgeleitet werden. Lassen Sie &fnof; und g, zwei Funktionen sein, die die obengenannte Hypothese das &fnof befriedigen; ist auf mir dauernd und ist auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, b] dauernd. Dann ist die Funktion auch auf [a, b] dauernd. Folglich die Integrale

:

\int_ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) \, dx

</Mathematik>und:

\int_a^b f (g (t)) g' (t) \, dt

</Mathematik>

bestehen Sie tatsächlich, und es muss zu zeigen, dass sie gleich sind.

Seitdem &fnof; ist dauernd, es besitzt eine Antiableitung F. Die zerlegbare Funktion wird dann definiert. Da F und g differentiable sind, gibt die Kettenregel

:

(F \circ g)' (t) = F' (g (t)) g' (t) = f (g (t)) g' (t).

</Mathematik>

Die Verwendung des Hauptsatzes der Rechnung gibt zweimal

:

\begin {richten }\aus

\int_a^b f (g (t)) g' (t) \, dt & {} = (F \circ g) (b) - (F \circ g) (a) \\

& {} = F (g (b)) - F (g (a)) \\

& {} = \int_ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) \, dx,

\end {richten }\aus

</Mathematik>

der die Ersatz-Regel ist.

Beispiele

Denken Sie den integrierten

:

\int_ {0} ^2 x \cos (x^2+1) \, dx

</Mathematik>

Wenn wir den Ersatz u = x + 1 machen, erhalten wir du = 2x dx und

: \begin {richten }\aus

\int_ {x=0} ^ {x=2} x \cos (x^2+1) \, dx & {} = \frac {1} {2} \int_ {u=1} ^ {u=5 }\\weil (u) \, du \\

& {} = \frac {1} {2} (\sin (5)-\sin (1)).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Es ist wichtig zu bemerken, dass da die niedrigere Grenze x = 0 durch u = 0 + 1 = 1, und die obere Grenze x = 2 ersetzte mit u = 2 + 1 = 5 ersetzt wurde, war eine Transformation zurück in Begriffe von x unnötig.

Für den integrierten

:

\int_0^1 \sqrt {1-x^2 }\\; dx

</Mathematik>

die Formel muss vom Recht bis linken verwendet werden:

der Ersatz x = Sünde (u), dx =, weil (u) du, weil nützlich ist:

:

\int_0^1 \sqrt {1-x^2 }\\; dx = \int_0^\\frac {\\Pi} {2} \sqrt {1-\sin^2 (u)} \cos (u) \; du = \int_0^\\frac {\\Pi} {2} \cos^2 (u) \; du =\frac {\\Pi} {4 }\

</Mathematik>

Das resultierende Integral kann mit der Integration durch Teile oder eine doppelte von einem mehr Ersatz gefolgte Winkelformel geschätzt werden. Man kann auch bemerken, dass die Funktion, die wird integriert, das obere richtige Viertel eines Kreises mit einem Radius von einem und folglich die Integrierung des oberen richtigen Viertels von der Null bis ist, ist man die geometrische Entsprechung zum Gebiet eines Viertels des Einheitskreises oder Pi mehr als 4.

Antiableitungen

Ersatz kann verwendet werden, um Antiableitungen zu bestimmen. Man wählt eine Beziehung zwischen x und u, bestimmt die entsprechende Beziehung zwischen dx und du, indem man differenziert, und führt die Ersetzungen durch. Eine Antiableitung für die eingesetzte Funktion kann hoffentlich bestimmt werden; der ursprüngliche Ersatz zwischen u und x wird dann aufgemacht.

Ähnlich unserem ersten Beispiel oben können wir die folgende Antiableitung mit dieser Methode bestimmen:

:\begin {richten }\aus

& {} \quad \int x \cos (x^2+1) \, dx = \frac {1} {2} \int 2x \cos (x^2+1) \, dx \\

& {} = \frac {1} {2} \int\cos u \du = \frac {1} {sündigen 2 }\\u + C = \frac {1} {2 }\\Sünde (x^2+1) + C

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo C eine willkürliche Konstante der Integration ist.

Bemerken Sie, dass es keine integrierten Grenzen gab, um sich zu verwandeln, aber im letzten Schritt mussten wir der ursprüngliche Ersatz u = x + 1 zurückkehren.

Ersatz für vielfache Variablen

Man kann auch Ersatz verwenden, wenn man Funktionen von mehreren Variablen integriert.

Hier muss die Ersatz-Funktion (v..., v) = φ (u..., u) injective und unaufhörlich differentiable sein, und die Differenziale verwandeln sich als

:

wo det (Dφ) (u..., u) die Determinante der Matrix von Jacobian anzeigt, die die partiellen Ableitungen von φ enthält. Diese Formel drückt die Tatsache aus, dass der absolute Wert der Determinante von gegebenen Vektoren dem Volumen des abgemessenen parallelotope gleichkommt.

Genauer wird die Änderung der Variable-Formel im folgenden Lehrsatz festgesetzt:

Lehrsatz. Lassen Sie U ein offener Satz in R und φ sein: U  R ein injective fungieren differentiable mit dauernden partiellen Ableitungen, von denen Jacobian Nichtnull für jeden x in U ist. Dann für jede reellwertige, kompakt unterstützte, dauernde Funktion f, mit der Unterstützung, die in φ (U), enthalten ist

:

Die Bedingungen auf dem Lehrsatz können auf verschiedene Weisen geschwächt werden. Erstens, die Voraussetzung das &phi; seien Sie unaufhörlich differentiable kann durch die schwächere Annahme das &phi ersetzt werden; seien Sie bloß differentiable und haben Sie ein dauerndes Gegenteil. Wie man versichert, hält das wenn &phi; ist unaufhörlich differentiable durch den umgekehrten Funktionslehrsatz. Wechselweise, die Voraussetzung dieser Det (D&phi) 0 kann durch die Verwendung des Lehrsatzes von Sard beseitigt werden.

Für Lebesgue messbare Funktionen kann der Lehrsatz in der folgenden Form festgesetzt werden:

Lehrsatz. Lassen Sie U eine messbare Teilmenge von R und φ sein: U  R eine Injective-Funktion, und denken für jeden x in U dort besteht (x) in solchem R dass φ (y) = φ (x) + (x) (y  x) + o (|| y  x) als y  x. Dann ist φ (U), und für jede reellwertige Funktion f definiert auf φ (U), messbar

:

im Sinn dass, wenn entweder integriert besteht (oder ist richtig unendlich), dann so der andere, und haben sie denselben Wert.

Eine andere sehr allgemeine Version in der Maß-Theorie ist der folgende:

Lehrsatz. Lassen Sie X ein lokal kompakter Raum von Hausdorff sein, der mit einem begrenzten Maß von Radon &mu ausgestattet ist; und lassen Sie Y &sigma;-compact Hausdorff Raum mit &sigma;-finite Radon Maß &rho sein;. lassen Sie &phi;: X &rarr; Y, eine dauernde und absolut dauernde Funktion (wo die letzten Mittel das &rho sein; (&phi; (E)) = 0 wann auch immer &mu; (E) = 0). Dann dort besteht ein reellwertiger Borel messbare Funktion w auf X solch, die für jeden Lebesgue integrable f fungieren: Y &rarr; R, die Funktion (f °&phi) w ist Lebesgue integrable auf X, und

:

Außerdem ist es möglich, zu schreiben

:

für einen Borel messbare Funktion g auf Y.

In der geometrischen Maß-Theorie wird die Integration durch den Ersatz mit Funktionen von Lipschitz verwendet. Eine Bi-Lipschitz-Funktion ist eine Funktion von Lipschitz T: U &rarr; R, der isomorph, und dass seine umgekehrte Funktion T T (U) &rarr solch ist; U ist auch Lipschitz. Durch den Lehrsatz von Rademacher ist ein kartografisch darstellender bi-Lipschitz differentiable fast überall. Insbesondere die Determinante von Jacobian eines bi-Lipschitz, der det DT kartografisch darstellt, ist fast überall bestimmt. Das folgende Ergebnis hält dann:

Lehrsatz. Lassen Sie U eine offene Teilmenge von R und T sein: U &rarr; R, ein kartografisch darstellender bi-Lipschitz sein. Lässt f: T (U) &rarr; R, messbar sein. Dann

:im Sinn dass, wenn entweder integriert besteht (oder ist richtig unendlich), dann so der andere, und haben sie denselben Wert.

Der obengenannte Lehrsatz wurde zuerst von Euler vorgeschlagen, als er den Begriff von doppelten Integralen 1769 entwickelt hat. Obwohl verallgemeinert, um Integrale durch Lagrange 1773, und verwendet von Legendre, Laplace, Gauss, und zuerst verallgemeinert zu n Variablen durch Michail Ostrogradski 1836 zu verdreifachen, ist es einem völlig strengen formellen Beweis seit einer überraschend langen Zeit widerstanden, und wurde zuerst 125 Jahre später von Élie Cartan in einer Reihe von Papieren hinreichend aufgelöst, die Mitte der 1890er Jahre beginnen .

Anwendung in der Wahrscheinlichkeit

Ersatz kann verwendet werden, um auf die folgende wichtige Frage in der Wahrscheinlichkeit zu antworten: In Anbetracht einer zufälligen Variable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und einer anderen zufälligen Variable, die mit durch die Gleichung verbunden ist, wofür die Wahrscheinlichkeitsdichte ist?

Es ist am leichtesten, auf diese Frage durch das erste Antworten auf eine ein bisschen verschiedene Frage zu antworten: Wie ist die Wahrscheinlichkeit, die nimmt einen Wert in einer besonderen Teilmenge? Zeigen Sie diese Wahrscheinlichkeit an. Natürlich, wenn Wahrscheinlichkeitsdichte dann hat, ist die Antwort

:

aber das ist nicht wirklich nützlich, weil wir p nicht wissen; es ist, was wir versuchen, an erster Stelle zu finden. Wir können Fortschritte machen, indem wir das Problem in der Variable denken. nimmt einen Wert in S, wann auch immer X einen Wert, so annimmt

:

Das Ändern von der Variable x zu y gibt

:

P (Y \in S) = \int_ {\\Phi^ {-1} (S)} p_x (x) ~dx = \int_S p_x (\Phi^ {-1} (y)) ~ \left |\frac {d\Phi^ {-1}} {dy }\\Recht | ~ dy. </Mathematik>

Das Kombinieren davon mit unserer ersten Gleichung gibt

:

\int_S p_y (y) ~dy = \int_S p_x (\Phi^ {-1} (y)) ~ \left |\frac {d\Phi^ {-1}} {dy }\\Recht | ~ dy </Mathematik>

so

:

p_y (y) = p_x (\Phi^ {-1} (y)) ~ \left |\frac {d\Phi^ {-1}} {dy }\\Recht |. </Mathematik>

Im Fall, wo und von mehreren unkorrelierten Variablen abhängen, d. h., und, kann durch den Ersatz in mehreren Variablen gefunden werden, die oben besprochen sind. Das Ergebnis ist

:

p_y (y) = p_x (\Phi^ {-1} (y)) ~ \left |\det \left [D\Phi ^ {-1} (y) \right] \right |. </Mathematik>

Siehe auch

• Ersatz von Variablen
• Wahrscheinlichkeitsdichte fungiert
• Ersatz von Weierstrass
• .

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