In der Geometrie ist eine konvexe gleichförmige Honigwabe eine Uniform tessellation, der dreidimensionalen Euklidischen Raum mit der Nichtüberschneidung auf konvexe gleichförmige polyedrische Zellen füllt.

Achtundzwanzig solche Honigwaben bestehen:

• die vertraute Kubikhonigwabe und 7 Stutzungen davon;
• die abwechseln lassene Kubikhonigwabe und 4 Stutzungen davon;
• 10 prismatische Formen, die auf dem gleichförmigen Flugzeug tilings (11 wenn einschließlich der Kubikhonigwabe) gestützt sind;
• 5 Modifizierungen von etwas vom obengenannten durch die Verlängerung und/oder Kreisbewegung.

Sie können als die dreidimensionale Entsprechung der Uniform tilings vom Flugzeug betrachtet werden.

Geschichte

• 1900: Thorold Gosset hat die Liste von halbregelmäßigem konvexem polytopes mit regelmäßigen Zellen (Platonische Festkörper) in seiner Veröffentlichung Auf den Regelmäßigen und Halbregelmäßigen Abbildungen im Raum von n Dimensionen, einschließlich einer regelmäßiger Kubikhonigwabe und zwei halbregelmäßiger Formen mit tetrahedra und octahedra aufgezählt.
• 1905: Alfredo Andreini hat 25 dieser tessellations aufgezählt.
• 1991: Die Manuskript-Uniform von Norman Johnson Polytopes hat die ganze Liste 28 identifiziert.
• 1994: Branko Grünbaum, in seiner Papieruniform tilings 3-Räume-, hat auch unabhängig alle 28, nach dem Entdecken von Fehlern in der Veröffentlichung von Andreini aufgezählt. Er hat das 1905-Papier gefunden, das 25 Schlagseite gehabt hat, hatte 1 falschen, und 4 vermisst werdend. Grünbaum stellt in dieser Zeitung fest, dass Norman Johnson Vorrang verdient, für dieselbe Enumeration 1991 zu erreichen. Er erwähnt auch dass ich. Alexeyev aus Russland war sich mit ihm bezüglich einer vermeintlichen Enumeration dieser Formen in Verbindung gesetzt, aber dass Grünbaum unfähig war, das zurzeit nachzuprüfen.
• 2006: George Olshevsky, in seiner Manuskript-Uniform Panoploid Tetracombs, zusammen mit dem Wiederholen der abgeleiteten Liste von 11 konvexer Uniform tilings und 28 konvexen gleichförmigen Honigwaben, breitet eine weitere abgeleitete Liste von 143 konvexer Uniform tetracombs (Honigwaben der Uniform polychorons im 4-Räume-) aus.

Nur 14 der konvexen gleichförmigen Polyeder erscheinen in diesen Mustern:

• drei der fünf Platonischen Festkörper,
• sechs der dreizehn Festkörper von Archimedean und
• fünf der unendlichen Familie von Prismen.

Namen

Dieser Satz kann die regelmäßigen und halbregelmäßigen Honigwaben genannt werden. Es ist die Honigwaben von Archimedean analog mit den konvexen gleichförmigen (nichtregelmäßigen) Polyedern, allgemein genannten Festkörpern von Archimedean genannt worden. Kürzlich hat Conway vorgeschlagen, den Satz als der Architektonische tessellations und die Doppelhonigwaben als Catoptric tessellations zu nennen.

Die individuellen Honigwaben werden mit Namen verzeichnet, die ihnen von Norman Johnson gegeben sind. (Einige der Begriffe, die unten gebraucht sind, werden in der Uniform polychoron#Geometric Abstammungen definiert.)

Dafür, Quer-verweise anzubringen, wird ihnen mit Listenindizes von Andreini (1-22), Williams (1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), und Grünbaum (1-28) gegeben.

Euklidische Kompaktuniform tessellations (durch ihre unendlichen Gruppenfamilien von Coxeter)

Die grundsätzlichen unendlichen Gruppen von Coxeter für den 3-Räume-sind:

1. [4,3,4], kubisch, (8 einzigartige Formen plus ein Wechsel)
2. [4,3], abwechseln lassen kubisch, (11 Formen, 3 neue)
3. Die zyklische Gruppe, [(3,3,3,3)], (5 Formen, eine neue)

Außerdem gibt es 5 spezielle Honigwaben, die reine reflectional Symmetrie nicht haben und von Reflectional-Formen mit der Verlängerung und den Kreisbewegungsoperationen gebaut werden.

Die einzigartigen Gesamthonigwaben sind oben 18.

Die prismatischen Stapel von unendlichen Gruppen von Coxeter für den 3-Räume-sind:

1. Der x, [4,4] x [] prismatische Gruppe, (2 neue Formen)
2. Der x, [6,3] x [] prismatische Gruppe, (7 einzigartige Formen)
3. Der x, (3 3 3) x [] prismatische Gruppe, (Keine neuen Formen)
4. Der xx, [] x [] x [] prismatische Gruppe, (Werden diese alle eine Kubikhonigwabe)

Außerdem gibt es eine spezielle verlängerte Form der prismatischen Dreieckshonigwabe.

Die prismatischen einzigartigen Gesamthonigwaben oben (des kubischen aufgezählt vorher ausschließend), sind 10.

Das Kombinieren dieser Zählungen, 18 und 10 gibt uns die gleichförmigen 28 Gesamthonigwaben.

Der C, [4,3,4] (kubische) Gruppe

Die regelmäßige Kubikhonigwabe, die durch das Symbol von Schläfli {4,3,4} vertreten ist, bietet sieben einzigartige abgeleitete gleichförmige Honigwaben über Stutzungsoperationen an. (Eine überflüssige Form, die runcinated Kubikhonigwabe, wird für die Vollständigkeit, obwohl identisch, zur Kubikhonigwabe eingeschlossen.)

B, [4,3] Gruppe

Die Gruppe bietet 11 abgeleitete Formen über Stutzungsoperationen, vier an, einzigartige gleichförmige Honigwaben seiend.

Die Honigwaben von dieser Gruppe werden abwechseln lassen kubisch genannt, weil die erste Form als eine Kubikhonigwabe mit abwechselnden Scheitelpunkten entfernte, abnehmende Kubikzellen zu tetrahedra und Schaffen-Oktaeder-Zellen in den Lücken gesehen werden kann.

Knoten werden verlassen zum Recht als 0,1,0', 3 mit 0 mit einem Inhaltsverzeichnis versehen', unten und austauschbar mit 0 seiend. Die abwechselnden gegebenen Kubiknamen basieren auf dieser Einrichtung.

A, [(3,3,3,3)] Gruppe

Es gibt 5 Formen, die von der Gruppe gebaut sind, von der nur das Viertel Kubikhonigwabe einzigartig ist.

Formen von Nonwythoffian (hat gekreist und hat sich verlängert)

Drei gleichförmigere Honigwaben werden durch das Brechen ein oder eine andere der obengenannten Honigwaben erzeugt, wo seine Gesichter ein dauerndes Flugzeug bilden, dann abwechselnde Schichten durch 60 oder 90 Grade (Kreisbewegung) rotieren lassend und/oder eine Schicht von Prismen (Verlängerung) einfügend.

Das verlängerte und gyroelongated haben abgewechselt kubische tilings haben dieselbe Scheitelpunkt-Zahl, aber sind nicht ähnlich. In der verlängerten Form entspricht jedes Prisma ein Tetraeder an einem Dreiecksende und ein Oktaeder am anderen. In der Gyroelongated-Form, Prismen, die tetrahedra an beidem Endstellvertreter mit Prismen entsprechen, die octahedra an beiden Enden entsprechen.

Gyroelongated dreieckig prismatisch mit Ziegeln zu decken, hat dieselbe Scheitelpunkt-Zahl wie einer der einfachen prismatischen tilings; die zwei können aus dem gekreisten und einfachen dreieckigen prismatischen tilings, beziehungsweise, durch das Einfügen von Schichten von Würfeln abgeleitet werden.

Prismatische Stapel

Elf prismatische tilings werden durch das Stapeln des elf gleichförmigen Flugzeugs tilings erhalten, unten in parallelen Schichten gezeigt. (Eine dieser Honigwaben ist das kubische, gezeigte oben.) Ist die Scheitelpunkt-Zahl von jedem ein unregelmäßiger bipyramid, dessen Gesichter gleichschenklige Dreiecke sind.

CxI (&infin), [4,4] x [∞], prismatische Gruppe

Es gibt nur 3 einzigartige Honigwaben davon, Quadrat-mit Ziegeln zu decken, aber alle 6 mit Ziegeln deckenden Stutzungen werden unten für die Vollständigkeit verzeichnet, und mit Ziegeln deckende Images werden durch Farben entsprechend jeder Form gezeigt.

GxI (&infin), [6,3] x [∞] prismatische Gruppe

Beispiele

Alle 28 dieser tessellations werden in Kristallmaßnahmen gefunden.

Die abwechseln lassene Kubikhonigwabe ist von spezieller Wichtigkeit, da seine Scheitelpunkte eine kubische Ende-Verpackung von Bereichen bilden. Das raumfüllende Bruchband von gepacktem octahedra und tetrahedra wurde anscheinend zuerst von Alexander Graham Bell entdeckt und unabhängig durch den Buckminster Voller wieder entdeckt (wer es das Oktett-Bruchband genannt hat und es in den 1940er Jahren patentiert hat).

http://tabletoptelephone.com/~hopspage/Fuller.html

http://members.cruzio.com/~devarco/energy.htm

http://www.n55.dk/MANUALS/DISCUSSIONS/OTHER_TEXTS/CM_TEXT.html

http://www.cjfearnley.com/fuller-faq-2.html. Oktett-Bruchbänder sind jetzt unter den allgemeinsten Typen des im Aufbau verwendeten Bruchbandes.

Nichtkompaktformen

Wenn Zellen erlaubt wird, gleichförmiger tilings zu sein, können gleichförmigere Honigwaben definiert werden:

Familien:

• x: [4,4] x [] prismatische Kubikplattenhonigwabe (3 Formen)
• x: [6,3] x [] Tri-sechseckige prismatische Plattenhonigwabe (8 Formen)
• x: (3 3 3) x [] prismatische Dreiecksplatte (Keine neuen Formen)
• xx: [] x [] x [] = Kubiksäulenhonigwabe (1 Form)
• x: [p] x [] Prismatische Säulenhonigwabe
• xx: [] x [] x [] = [4,4] x [] - = (Dasselbe als Kubikplattenwaffelfamilie)

Hyperbelformen

Es gibt 9 Gruppenfamilien von Coxeter von gleichförmigen Kompakthonigwaben im hyperbolischen 3-Räume-, erzeugt als Aufbauten von Wythoff und vertreten durch Ringversetzungen der Coxeter-Dynkin Diagramme für jede Familie.

Von diesen 9 Familien gibt es insgesamt 76 einzigartige erzeugte Honigwaben:

• [3,5,3]: - 9 Formen
• [5,3,4]: - 15 Formen
• [5,3,5]: - 9 Formen
• [5,3]: - 11 Formen (7 Übergreifen mit [5,3,4] Familie, 4 sind einzigartig)
• (4 3 3 3): - 9 Formen
• (4 3 4 3): - 6 Formen
• (5 3 3 3): - 9 Formen
• (5 3 4 3): - 9 Formen
• (5 3 5 3): - 6 Formen

Die volle Liste von gleichförmigen Hyperbelhonigwaben ist nicht bewiesen worden, und eine unbekannte Zahl von non-Wythoffian bestehen. Ein bekanntes Beispiel ist in {3,5,3} Familie.

Es gibt auch 23 Nichtkompaktgruppen von Coxeter der Reihe 4. Diese Familien können gleichförmige Honigwaben mit unbegrenzten Seiten oder Scheitelpunkt-Zahl einschließlich idealer Scheitelpunkte an der Unendlichkeit erzeugen:

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, (2008) Der Symmetries von Dingen, internationale Standardbuchnummer 978-1-56881-220-5 (Schließt Kapitel 21, Archimedean und katalanische Polyeder und tilings, Architektonisch und Catoptric tessellations, p 292-298 Nennend, alle nichtprismatischen Formen ein)
• George Olshevsky, (2006, Gleichförmiger Panoploid Tetracombs, Manuskript (Ganze Liste von 11 konvexer Uniform tilings, 28 konvexen gleichförmigen Honigwaben und 143 konvexer Uniform tetracombs)
• Branko Grünbaum, (1994) Uniform tilings 3-Räume-. Geombinatorics 4, 49 - 56.
• Norman Johnson (1991) gleichförmiger Polytopes, Manuskript

• (Kapitel 5: Polyeder-Verpackung und Raumfüllung)
• Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H.S.M. Coxeter, der von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Zwischenwissenschaftsveröffentlichung, 1995, internationale Standardbuchnummer 978-0-471-01003-6 http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html editiert ist
• (Papier 22) H.S.M. Coxeter, Regelmäßiger und Regelmäßiger Halbpolytopes I, [Mathematik. Zeit. 46 (1940) 380-407, HERR 2,10] (1.9 Gleichförmige Raumfüllungen)
• A. Andreini, (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti korrelativ (In den regelmäßigen und halbregelmäßigen Netzen von Polyedern und in den entsprechenden korrelativen Netzen), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75-129.
• D. M. Y. Sommerville, (1930) Eine Einführung in die Geometrie 'n Dimensionen. New York, E. P. Dutton. 196 Seiten (Veröffentlichungsausgabe von Dover, 1958) Kapitel X: Der Regelmäßige Polytopes

Links

• Gleichförmige Honigwaben in VRML 3-Räume-Modellen
• Elementarer Waffelscheitelpunkt transitive Raumfüllungshonigwaben mit ungleichförmigen Zellen.
• Gleichförmige Teilungen von 3-Räume-, ihren Verwandten und dem Einbetten, den 1999

Die gleichförmigen PolyederPolyeder der virtuellen Realität die Enzyklopädie von Polyedern

• Oktett-Bruchband-Zeichentrickfilm
• Rezension:A. F. Wells, Dreidimensionale Netze und Polyeder, H. S. M. Coxeter (Quelle: Stier. Amer. Mathematik. Soc. Band 84, Nummer 3 (1978), 466-470.)