In der Mathematik ist der Schwamm von Menger eine Fractal-Kurve. Es ist eine universale Kurve, in der es topologische Dimension ein, und jede andere Kurve hat (genauer: Jeder metrische Kompaktraum der topologischen Dimension ist 1) homeomorphic zu einer Teilmenge davon. Es wird manchmal den Schwamm von Menger-Sierpinski oder den Schwamm von Sierpinski genannt. Es ist eine dreidimensionale Erweiterung des Kantor-Satzes und Teppichs von Sierpinski. Es wurde zuerst dadurch beschrieben, während man das Konzept der topologischen Dimension erforscht hat.

Der Menger Schwamm stellt gleichzeitig eine unendliche Fläche aus und schließt Nullvolumen ein.

Aufbau

Der Aufbau eines Schwamms von Menger kann wie folgt beschrieben werden:

1. Beginnen Sie mit einem Würfel (das erste Image).
2. Teilen Sie jedes Gesicht des Würfels in 9 Quadrate wie ein Würfel von Rubik. Das wird den Würfel in 27 kleinere Würfel unterteilen.
3. Entfernen Sie den kleineren Würfel in der Mitte jedes Gesichtes, und entfernen Sie den kleineren Würfel im wirklichen Zentrum des größeren Würfels, 20 kleinere Würfel (das zweite Image) verlassend. Das ist ein Niveau 1 Schwamm von Menger (einem Leeren Würfel ähnelnd).
4. Wiederholen Sie Schritte 2 und 3 für jeden der restlichen kleineren Würfel und setzen Sie fort, ad infinitum zu wiederholen.

Die zweite Wiederholung wird Ihnen einen Schwamm des Niveaus 2 (das dritte Image) geben, die dritte Wiederholung gibt einen Schwamm des Niveaus 3 (das vierte Image) und so weiter. Der Menger Schwamm selbst ist die Grenze dieses Prozesses nach einer unendlichen Zahl von Wiederholungen.

Die Zahl von Würfeln ist 20 mit n die Zahl von auf dem ersten Würfel durchgeführten Wiederholungen zu sein.

Eigenschaften

Jedes Gesicht des Schwamms von Menger ist ein Teppich von Sierpinski; außerdem ist jede Kreuzung des Schwamms von Menger mit einer Diagonale oder Medium des anfänglichen Würfels M ist ein Kantor, untergegangen.

Der Menger Schwamm ist ein geschlossener Satz; da es auch begrenzt wird, deutet der Lehrsatz von Heine-Borel an, dass es kompakt ist. Es lässt Lebesgue 0 messen. Es ist ein unzählbarer Satz.

Die topologische Dimension des Schwamms von Menger ist ein, dasselbe als jede Kurve. Menger hat im 1926-Aufbau gezeigt, dass der Schwamm eine universale Kurve ist, in dieser jeder möglichen eindimensionalen Kurve ist homeomorphic zu einer Teilmenge des Schwamms von Menger, wo hier eine Kurve bedeutet, dass jeder metrische Kompaktraum von Lebesgue, der bedeckt, denjenigen dimensioniert; das schließt Bäume und Graphen mit einer willkürlichen zählbaren Zahl von Rändern, Scheitelpunkten und geschlossenen Regelkreisen ein, die auf willkürliche Weisen verbunden sind. Auf eine ähnliche Weise ist der Teppich von Sierpinski eine universale Kurve für alle Kurven, die das zweidimensionale Flugzeug angezogen werden können. Der in drei Dimensionen gebaute Schwamm von Menger erweitert diese Idee zu Graphen, die nicht planar sind, und in jeder Zahl von Dimensionen eingebettet werden könnten.

Der Menger Schwamm stellt gleichzeitig eine unendliche Fläche aus und schließt Nullvolumen ein. Trotz dessen, dort besteht ein homeomorphism des Würfels, der begrenzte Verzerrung hat, die "den Schwamm" im Sinn drückt, dass die Löcher im Schwamm zu einem Kantor-Satz des Nullmaßes gehen.

Der Schwamm hat eine Dimension von Hausdorff (loggen Sie 20) / (loggen 3) (etwa 2.726833).

Formelle Definition

Formell kann ein Schwamm von Menger wie folgt definiert werden:

wo M der Einheitswürfel und ist

(x, y, z) \in\mathbb {R} ^3: &

\begin {Matrix-}\\besteht ich, j, k\in\{0,1,2\}: (3x-i, 3y-j, 3z-k) \in M_n

\\\mbox {und am grössten Teil von einen} bin ich, j, k\mbox {1 }\\Ende {Matrix-}\gleich

\end {Matrix-}\\right\}. </Mathematik>

Siehe auch

• Liste von fractals durch die Dimension von Hausdorff
• Dreieck von Sierpiński
• Tetraeder von Sierpiński
• Schneeflocke von Koch
• Dichtung von Apollonian

• Englische Übersetzung in nachgedruckt
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Herausgeber, Leipzig.

Außenverbindungen

• Schwamm von Menger am Wolfram MathWorld
• Die 'Visitenkarte Menger Schwamm' durch Dr Jeannine Mosely - ein Online-Ausstellungsstück über dieses riesige Origami fractal am Institut, Um zu bemalen
• Ein interaktiver Schwamm von Menger
• Polyeder von Fractal (VRML) und interaktive javanische Modelle
• Rätsel-Jagd — Video, das die Paradoxe von Zeno mit dem Schwamm von Menger-Sierpinski erklärt
• Menger Schwamm-Zusammenbau-Aufbau eines Niveaus 3 Menger Schwamm von Visitenkarten
• Menger Schwamm-Zeichentrickfilme — Schwamm-Zeichentrickfilme von Menger bis zum Niveau 9, Diskussion der Optimierung für den 3.
• Der L3 Menger Schwamm mit Visitenkarten 2006 - Ein L3 Menger Schwamm durch Studenten in der Universität von Cornell hat 2006 gebaut
• Niveau 3 Menger Schwamm, der aus Visitenkarten - Ein Niveau 3 Schwamm von Menger gemacht ist, von Studenten an der Staatlichen Universität von Mississippi aus 48,000 gefalteten Visitenkarten gebaut.
• Bereich von Menger, der in SunFlow gemacht ist
• Postes Menger Schwamm - ein Niveau 3 Schwamm von Menger, der von postseinem wird baut
• Das Mysterium des Menger Schwamms. Aufgeschnitten diagonal, um Sterne zu offenbaren.