In der Mathematik klingeln ein invertible Element oder eine Einheit in (unital) R bezieht sich auf jedes Element u, der ein umgekehrtes Element im multiplicative monoid von R, d. h. solchem Element v das hat

:uv = vu = 1, wo 1 das multiplicative Identitätselement ist.

Der Satz von Einheiten jedes Rings wird unter der Multiplikation geschlossen (das Produkt von zwei Einheiten ist wieder eine Einheit), und bildet eine Gruppe für diese Operation. Es enthält nie das Element 0 (außer im Fall vom trivialen Ring), und wird deshalb unter der Hinzufügung nicht geschlossen; seine Ergänzung könnte jedoch eine Gruppe unter der Hinzufügung sein, die geschieht, wenn, und nur wenn der Ring ein lokaler Ring ist.

Leider wird der Begriff Einheit auch gebraucht, um auf das Identitätselement 1 des Rings, in Ausdrücken wie Ring mit einer Einheit oder Einheitsring, und auch z.B 'Einheits'-Matrix zu verweisen. (Deshalb nennen einige Autoren 1 "Einheit" und sagen, dass R ein "Ring mit der Einheit" aber nicht ein "Ring mit einer Einheit" ist.)

Gruppe von Einheiten

Die Einheiten von R bilden eine Gruppe U(R) unter der Multiplikation, der Gruppe von Einheiten von R. Andere allgemeine Notationen für U(R) sind R *, R, und E(R) (für den deutschen Begriff Einheit).

In einem auswechselbaren Unital-RingR, der Gruppe von Einheiten folgt U(R) R über die Multiplikation. Die Bahnen dieser Handlung werden Sätze von Partnern genannt; mit anderen Worten gibt es eine Gleichwertigkeitsbeziehung ~ auf R genannt solche Verbundenkeit dass

:r ~ s

Mittel, dass es eine Einheit u mit r = wir gibt.

Man kann überprüfen, dass U ein functor von der Kategorie von Ringen zur Kategorie von Gruppen ist: jeder Ringhomomorphismus f: R  veranlasst S einen Gruppenhomomorphismus U (f): U(R)  U (S), seitdem f stellt Einheiten zu Einheiten kartografisch dar. Dieser functor hat einen linken adjoint, der der integrierte Gruppenringaufbau ist.

In einem integrierten Gebiet ist der cardinality einer Gleichwertigkeitsklasse von Partnern dasselbe als dieser von U(R).

Ein Ring R ist ein Abteilungsring wenn und nur wenn U(R) = R \{0}.

Beispiele

• Im Ring von ganzen Zahlen, Z, sind die Einheiten ±1. Die Partner sind Paare n und

• Im Ring von ganzen Zahlen modulo n, Z/nZ, sind die Einheiten die Kongruenz-Klassen (mod n), die coprime zu n sind. Sie setzen die multiplicative Gruppe von ganzen Zahlen (mod n) ein.
• Jede Wurzel der Einheit ist eine Einheit in jedem Unital-Ring R. (Wenn r eine Wurzel der Einheit und r = 1 ist, dann ist r = r auch ein Element von R durch den Verschluss unter der Multiplikation.)
• Wenn R der Ring von ganzen Zahlen in einem numerischen Feld ist, stellt der Einheitslehrsatz von Dirichlet fest, dass die Gruppe von Einheiten von R eine begrenzt erzeugte abelian Gruppe ist. Zum Beispiel haben wir (5 + 2) (5 − 2) = 1 im Ring von ganzen Zahlen von Q [5], und tatsächlich ist die Einheitsgruppe in diesem Fall unendlich. Im Allgemeinen ist die Einheitsgruppe eines echten quadratischen Feldes immer (der Reihe 1) unendlich.
• Im Ring M (n, F) n×n matrices über Feld F, sind die Einheiten genau der invertible matrices.