Die Huzita-Hatori Axiome oder Axiome von Huzita-Justin sind eine Reihe von mit den mathematischen Grundsätzen der Papierfalte verbundenen Regeln, die Operationen beschreibend, die gemacht werden können, wenn man ein Stück von Papier faltet. Die Axiome nehmen an, dass die Operationen auf einem Flugzeug (d. h. ein vollkommenes Stück von Papier) vollendet werden, und dass alle Falten geradlinig sind. Das ist nicht ein minimaler Satz von Axiomen, aber eher der ganze Satz von möglichen einzelnen Falten.

Die Axiome wurden zuerst von Jacques Justin 1989 entdeckt. Axiome 1 bis 6 wurden vom italienisch-japanischen Mathematiker Humiaki Huzita wieder entdeckt und haben auf der Ersten Internationalen Konferenz für das Origami in der Ausbildung und Therapie 1991 berichtet. Axiome 1, obwohl 5 von Auckly und Cleveland 1995 wieder entdeckt wurden. Axiom 7 wurde von Koshiro Hatori 2001 wieder entdeckt; Robert J. Lang hat auch Axiom 7 gefunden.

Die sieben Axiome

Die ersten 6 Axiome sind als die Axiome von Huzita bekannt. Axiom 7 wurde von Koshiro Hatori entdeckt. Jacques Justin und Robert J. Lang haben auch Axiom 7 gefunden. Die Axiome sind wie folgt:

1. In Anbetracht zwei Punkte p und p gibt es eine einzigartige Falte, die sie beide durchführt.
2. In Anbetracht zwei Punkte p und p gibt es eine einzigartige Falte, die p auf p legt.
3. In Anbetracht zwei Linien l und l gibt es eine Falte, die l auf l legt.
4. In Anbetracht eines Punkts p und einer Linie l gibt es eine einzigartige Falte-Senkrechte zu l, der Punkt p durchführt.
5. In Anbetracht zwei Punkte p und p und einer Linie l gibt es eine Falte, die p auf l legt und p durchführt.
6. In Anbetracht zwei Punkte p und p und zwei Linien l und l gibt es eine Falte, die p auf l und p auf l legt.
7. In Anbetracht eines Punkts p und zwei Linien l und l gibt es eine Falte, die p auf l legt und auf l rechtwinklig ist.

Axiom 5 kann 0, 1, oder 2 Lösungen haben, während Axiom 6 0, 1, 2, oder 3 Lösungen haben kann. Auf diese Weise ist die resultierende Geometrie des Origamis stärker als die Geometrie des Kompasses und Haarlineals, wo die maximale Zahl von Lösungen, die ein Axiom hat, 2 ist. So löst Kompass- und Haarlineal-Geometrie zweiten Grades Gleichungen, während Origami-Geometrie oder origametry, dritten Grades Gleichungen lösen, und Probleme wie Winkeldreiteilung und Verdoppelung des Würfels beheben kann. Jedoch in der Praxis verlangt der Aufbau der Falte, die durch das Axiom 6 versichert ist, das "Schieben" vom Papier oder neusis, dem im klassischen Kompass und den Haarlineal-Aufbauten nicht erlaubt wird. Der Gebrauch von neusis zusammen mit einem Kompass und Haarlineal erlaubt wirklich Dreiteilung eines willkürlichen Winkels.

Details

Axiom 1

In Anbetracht zwei Punkte p und p gibt es eine einzigartige Falte, die sie beide durchführt.

In der parametrischen Form ist die Gleichung für die Linie, die die zwei Punkte durchführt:

:

Axiom 2

In Anbetracht zwei Punkte p und p gibt es eine einzigartige Falte, die p auf p legt.

Das ist zur Entdeckung der rechtwinkligen Halbierungslinie der Liniensegment-Seiten gleichwertig. Das kann in vier Schritten getan werden:

• Verwenden Sie Axiom 1, um die Linie durch p und p zu finden, der durch gegeben ist
• Finden Sie den Mittelpunkt von p von P (s)
• Finden Sie den Vektoren v Senkrechte zu P (s)
• Die parametrische Gleichung der Falte ist dann:

:

Axiom 3

In Anbetracht zwei Linien l und l gibt es eine Falte, die l auf l legt.

Das ist zur Entdeckung einer Halbierungslinie des Winkels zwischen l und l gleichwertig. Lassen Sie p und p irgendwelche zwei Punkte auf l sein, und q und q irgendwelche zwei Punkte auf l sein zu lassen. Lassen Sie außerdem u und v die Einheitsrichtungsvektoren von l und l beziehungsweise sein; das ist:

::

Wenn die zwei Linien nicht parallel sind, ist ihr Punkt der Kreuzung:

:wo:

Die Richtung von einer der Halbierungslinien ist dann:

:

\left |\mathbf {u }\\Recht | \mathbf {v} +

\left |\mathbf {v }\\Recht | \mathbf {u} }\

{\\hat |\mathbf {u }\\Recht | + verlassen

\left |\mathbf {v }\\Recht |}. </Mathematik>

Und die parametrische Gleichung der Falte ist:

:

Eine zweite Halbierungslinie besteht auch, Senkrechte zum ersten und durchgehenden p. Die Falte entlang dieser zweiten Halbierungslinie wird auch das gewünschte Ergebnis erreichen, l auf l zu legen. Es kann nicht möglich sein, ein oder die anderen dieser Falten abhängig von der Position des Kreuzungspunkts zu leisten.

Wenn die zwei Linien parallel sind, haben sie nichts der Kreuzung. Die Falte muss die Linie auf halbem Wege zwischen l und l und Parallele zu ihnen sein.

Axiom 4

In Anbetracht eines Punkts p und einer Linie l gibt es eine einzigartige Falte-Senkrechte zu l, der Punkt p durchführt.

Das ist zur Entdeckung einer Senkrechte zu l gleichwertig, der p durchführt. Wenn wir einen Vektoren v finden, der auf der Linie l rechtwinklig ist, dann ist die parametrische Gleichung der Falte:

:

Axiom 5

In Anbetracht zwei Punkte p und p und einer Linie l gibt es eine Falte, die p auf l legt und p durchführt.

Dieses Axiom ist zur Entdeckung der Kreuzung einer Linie mit einem Kreis gleichwertig, so kann es 0, 1, oder 2 Lösungen haben. Die Linie wird durch l definiert, und der Kreis hat sein Zentrum an p und einen Radius, der der Entfernung von p bis p gleich ist. Wenn die Linie den Kreis nicht durchschneidet, gibt es keine Lösungen. Wenn die Linie Tangente zum Kreis ist, gibt es eine Lösung, und wenn die Linie den Kreis in zwei Plätzen durchschneidet, gibt es zwei Lösungen.

Wenn wir zwei Punkte auf der Linie, (x, y) wissen und (x, y), dann kann die Linie parametrisch als ausgedrückt werden:

::

Lassen Sie den Kreis durch sein Zentrum an p = (x, y) mit dem Radius definiert werden. Dann kann der Kreis als ausgedrückt werden:

:

Um die Punkte der Kreuzung der Linie mit dem Kreis zu bestimmen, setzen wir den x und die y Bestandteile der Gleichungen für die Linie in die Gleichung für den Kreis ein, gebend:

:

Oder, vereinfacht:

:wo::::

Dann lösen wir einfach die quadratische Gleichung:

:

Wenn der discriminant b  4ac &lt; 0 gibt es keine Lösungen. Der Kreis schneidet nicht durch oder berührt die Linie. Wenn der discriminant 0 gleich ist, dann gibt es eine einzelne Lösung, wo die Linie Tangente zum Kreis ist. Und wenn der discriminant größer ist als 0, gibt es zwei Lösungen, die zwei Punkte der Kreuzung vertretend. Lassen Sie uns die Lösungen d und d nennen, wenn sie bestehen. Wir haben 0, 1, oder 2 Liniensegmente:

::

Eine Falte F (s) Senkrechte zur M durch seinen Mittelpunkt wird p auf der Linie an der Position d legen. Ähnlich wird eine Falte F (s) Senkrechte zur M durch seinen Mittelpunkt p auf der Linie an der Position d legen. Die Anwendung des Axioms 2 vollbringt leicht das. Die parametrischen Gleichungen der Falten sind so:

:\begin {richten }\aus

F_1 (s) & = p_1 + \frac {1} {2} (d_1-p_1) +s (d_1-p_1) ^\\perp \\[8pt]

F_2 (s) & = p_1 + \frac {1} {2} (d_2-p_1) +s (d_2-p_1) ^\\perp.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Axiom 6

In Anbetracht zwei Punkte p und p und zwei Linien l und l gibt es eine Falte, die p auf l und p auf l legt.

Dieses Axiom ist zur Entdeckung einer Linie gleichzeitig Tangente zu zwei Parabeln gleichwertig, und kann gleichwertig zum Lösen einer dritten Grades Gleichung betrachtet werden, wie es in allgemeinen drei Lösungen gibt. Die zwei Parabeln haben Fokusse an p und p beziehungsweise mit directrices, der durch l und l beziehungsweise definiert ist.

Diese Falte wird die Falte von Beloch nach Margharita P. Beloch genannt, die 1936 das Verwenden davon gezeigt hat, dass Origami verwendet werden kann, um allgemeine kubische Gleichungen zu lösen.

Axiom 7

In Anbetracht eines Punkts p und zwei Linien l und l gibt es eine Falte, die p auf l legt und auf l rechtwinklig ist.

Dieses Axiom wurde von Jacques Justin 1989 ursprünglich entdeckt, aber wurde überblickt und wurde von Koshiro Hatori 2002 wieder entdeckt. Robert J. Lang hat bewiesen, dass diese Liste von Axiomen die Axiome des Origamis vollendet.

Constructibility

Teilmengen der Axiome können verwendet werden, um verschiedene Sätze von Zahlen zu bauen. Die ersten drei können mit drei gegebenen Punkten nicht auf einer Linie verwendet werden, um zu tun, was Alpern Aufbauten von Thalian nennt.

Die ersten vier Axiome mit zwei gegebenen Punkten definieren ein System, das schwächer ist als Kompass und Haarlineal-Aufbauten: Jede Gestalt, die mit jenen Axiomen gefaltet werden kann, kann mit dem Kompass und Haarlineal gebaut werden, aber einige Dinge können durch den Kompass und das Haarlineal gebaut werden, das mit jenen Axiomen nicht gefaltet werden kann. Die Zahlen, die gebaut werden können, werden das Origami oder die pythagoreischen Zahlen genannt, wenn die Entfernung zwischen den zwei gegebenen Punkten 1 dann ist, sind die Constructible-Punkte die ganze Form, wo und Pythagoreische Zahlen sind. Die Pythagoreischen Zahlen werden durch das kleinste Feld gegeben, das die rationalen Zahlen enthält, und wann auch immer solch eine Zahl ist.

Das Hinzufügen des fünften Axioms gibt die Euklidischen Zahlen, der die Punkte constructible durch das Haarlineal und die Kompass-Aufbauten ist.

Das neusis Axiom 6 hinzufügend, wird die Rückseite wahr: Alle Aufbauten des Kompass-Haarlineals, und mehr, können gemacht werden. Insbesondere die constructible regelmäßigen Vielecke mit diesen Axiomen sind diejenigen mit Seiten, wo ein Produkt der verschiedenen Blüte von Pierpont ist. Aufbauten des Kompass-Haarlineals erlauben nur denjenigen mit Seiten, wo ein Produkt der verschiedenen Blüte von Fermat ist. (Blüte von Fermat ist eine Teilmenge der Blüte von Pierpont.)

Das siebente Axiom erlaubt Aufbau des weiteren Punkts nicht. Die sieben Axiome geben alle einzelnen Falte-Aufbauten, die getan werden können, anstatt ein minimaler Satz von Axiomen zu sein.

Links

• Origami geometrische Aufbauten durch Thomas Hull
• Eine mathematische Theorie von Origami-Aufbauten und Zahlen durch Roger C. Alperin