In der Mathematik, einer Zahl von Fermat, genannt nachdem ist Pierre de Fermat, der sie zuerst studiert hat, eine positive ganze Zahl der Form

:

wo n eine natürliche Zahl ist. Die ersten paar Zahlen von Fermat sind:

: 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, ….

Wenn 2 + 1, und n> 0 erst ist, kann es gezeigt werden, dass n eine Macht zwei sein muss. (Wenn n = ab, wo 1  a, b  n und b, dann 2 + 1 = (2) + 1  (−1) + 1 = 0 (mod 2 + 1) seltsam ist. Sieh unten für den ganzen Beweis.) Mit anderen Worten ist jede Blüte der Form 2 + 1 eine Zahl von Fermat, und solche Blüte wird Blüte von Fermat genannt. Die einzige bekannte Blüte von Fermat ist F, F, F, F, und F.

Grundlegende Eigenschaften

Die Fermat Zahlen befriedigen die folgenden Wiederauftreten-Beziehungen:

:

F_ {n} = (F_ {n-1}-1) ^ {2} +1 \! </math>

für n  1,

:

F_ {n} = F_ {n-1} + 2^ {2^ {n-1}} F_ {0} \cdots F_ {n-2 }\\! </Mathematik>

:

F_ {n} = F_ {n-1} ^2 - 2 (F_ {n-2}-1) ^2 \! </math>

:

F_ {n} = F_ {0} \cdots F_ {n-1} + 2 \! </math>

für n  2. Jede dieser Beziehungen kann durch die mathematische Induktion bewiesen werden. Von der letzten Gleichung können wir den Lehrsatz von Goldbach ableiten: Keine zwei Zahlen von Fermat teilen einen gemeinsamen Faktor. Um das zu sehen, nehmen Sie an, dass 0  i und F einen gemeinsamen Faktor a> 1 haben. Dann ein Teilen von beiden

:

und F; folglich ein Teilen ihres Unterschieds, 2. Seitdem a> 1 zwingt das = 2. Das ist ein Widerspruch, weil jede Zahl von Fermat klar seltsam ist. Als eine Folgeerscheinung erhalten wir einen anderen Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen: Für jeden F, wählen Sie einen Hauptfaktor p; dann ist die Folge {p} eine unendliche Folge der verschiedenen Blüte.

Weitere Eigenschaften:

• Die Zahl von Ziffern D (n, b) F, der in der Basis b ausgedrückt ist, ist

: (Sieh Fußboden fungieren).

• Keine Fermat Zahl kann als die Summe von zwei Blüte, mit Ausnahme von F = 2 + 3 ausgedrückt werden.
• Keine Fermat Blüte kann als der Unterschied von zwei pth Mächten ausgedrückt werden, wo p eine sonderbare Blüte ist.
• Mit Ausnahme von F und F ist die letzte Ziffer einer Zahl von Fermat 7.
• Die Summe der Gegenstücke aller Zahlen von Fermat ist vernunftwidrig. (Solomon W. Golomb, 1963)

Primality von Zahlen von Fermat

Zahlen von Fermat und Blüte von Fermat wurden zuerst von Pierre de Fermat studiert, der gemutmaßt hat (aber hat zugegeben, dass er sich nicht erweisen konnte), dass alle Zahlen von Fermat erst sind. Tatsächlich, wie man leicht zeigt, sind die ersten fünf Zahlen von Fermat F..., F erst. Jedoch wurde diese Vermutung von Leonhard Euler 1732 widerlegt, als er dem gezeigt

hat:

Euler hat bewiesen, dass jeder Faktor von F die Form k2 + 1 (später verbessert zu k2 + 1 durch Lucas) haben muss.

Die Tatsache, die 641 ein Faktor von F ist, kann aus den Gleichheiten 641 = 2×5+1 und 641 = 2 + 5 leicht abgeleitet werden. Es folgt aus der ersten Gleichheit dass 2×5  1 (mod 641) und deshalb (Aufhebung zur vierten Macht) dass 2×5  1 (mod 641). Andererseits deutet die zweite Gleichheit dass 5  2 (mod 641) an. Diese Kongruenzen deuten dass 2  1 (mod 641) an.

Es wird weit geglaubt, dass Fermat der Form der von Euler später bewiesenen Faktoren bewusst war, so scheint es neugierig, warum er gescheitert hat, auf der aufrichtigen Berechnung durchzuziehen, um den Faktor zu finden. Eine allgemeine Erklärung besteht darin, dass Fermat einen rechenbetonten Fehler gemacht hat und von der Genauigkeit seines Anspruchs so überzeugt war, dass er gescheitert hat, seine Arbeit zweimal zu kontrollieren.

Es gibt keine andere bekannte Blüte von Fermat F mit n> 4. Jedoch ist wenig über Zahlen von Fermat mit großem n bekannt. Tatsächlich ist jeder des folgenden ein offenes Problem:

Ist

• F für den ganzen n> 4 zerlegbar?
• Gibt es ungeheuer viele Blüte von Fermat? (Eisenstein 1844)
• Gibt es ungeheuer viele zerlegbare Zahlen von Fermat?

es ist bekannt, dass F für 5  n  32 zerlegbar ist, obwohl abgeschlossen, factorizations F sind nur für 0  n  11 bekannt, und es gibt keine bekannten Faktoren für n in {20, 24}. Die größte Zahl von Fermat, die bekannt ist, zerlegbar zu sein, ist F, und sein Hauptfaktor 9&times;2 + 1 wurde von Scott Brown in der Proth Hauptsuche von PrimeGrid am 22. Juni 2011 entdeckt.

Heuristische Argumente für die Dichte

Das folgende heuristische Argument weist darauf hin, dass es nur begrenzt viele Blüte von Fermat gibt: Gemäß dem Primzahl-Lehrsatz ist die "Wahrscheinlichkeit", dass eine Nummer n erst ist, am grössten Teil von A/ln (n), wo A eine feste Konstante ist. Deshalb ist die erwartete Gesamtzahl der Blüte von Fermat am grössten Teil von

:

Es sollte betont werden, dass dieses Argument keineswegs ein strenger Beweis ist. Erstens einmal nimmt das Argument an, dass sich Zahlen von Fermat "zufällig" benehmen, noch haben wir bereits gesehen, dass die Faktoren von Zahlen von Fermat spezielle Eigenschaften haben. Wenn (hoch entwickelter) wir die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachten, dass n erst ist, vorausgesetzt, dass wir wissen, dass alle seine Hauptfaktoren B, als am grössten Teil von Aln (B)/ln (n) überschreiten, dann mit dem Lehrsatz von Euler, den der am wenigsten Hauptfaktor von F 2 überschreitet, würden wir stattdessen finden

:

Obwohl solche Argumente den Glauben erzeugen, dass es nur begrenzt viele Blüte von Fermat gibt, kann man auch Argumente für den entgegengesetzten Beschluss erzeugen. Nehmen Sie an, dass wir die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachten, dass n erst ist, vorausgesetzt, dass wir wissen, dass alle seine Hauptfaktoren 1 modulo M, als mindestens CM/ln (n) sind. Dann mit dem Ergebnis von Euler, dass M = 2 wir finden würden, dass die erwartete Gesamtzahl der Blüte von Fermat mindestens war

:

und tatsächlich sagt dieses Argument voraus, dass ein asymptotisch unveränderlicher Bruchteil von Zahlen von Fermat erst ist!

Gleichwertige Bedingungen von primality

Es gibt mehrere Bedingungen, die zum primality von F gleichwertig sind.

• Der Lehrsatz von Proth (1878) — hat N = k2 + 1 mit sonderbarem k Gelassen. Wenn es eine ganze Zahl ein solcher dass gibt

::

:then N ist erst. Umgekehrt, wenn die obengenannte Kongruenz, und außerdem nicht hält

:: (Sieh Jacobi Symbol)

:then N ist zerlegbar. Wenn N = F> 3, dann ist das obengenannte Symbol von Jacobi immer &minus;1 für = 3, und dieser spezielle Fall des Lehrsatzes von Proth gleich, als der Test von Pépin bekannt ist. Obwohl der Test von Pépin und der Lehrsatz von Proth auf Computern durchgeführt worden sind, um die Zerlegbarheit von vielen Zahlen von Fermat zu beweisen, gibt kein Test einen spezifischen nichttrivialen Faktor. Tatsächlich sind keine spezifischen Hauptfaktoren für n = 20 und 24 bekannt.

• Lassen Sie n  3 eine positive sonderbare ganze Zahl sein. Dann ist n erster Fermat wenn und nur wenn für jeden ein co-prime zu n, einer primitiven Wurzel mod n wenn und nur wenn zu sein, eines quadratischen Nichtrückstands mod n zu sein.
• Die Fermat Zahl F> 3 ist erst, wenn, und nur wenn sie einzigartig als eine Summe von zwei Nichtnullquadraten, nämlich geschrieben werden kann

::

:When nicht der Form, die oben gezeigt ist, ein richtiger Faktor ist:

::

:Example 1: F = 62264 + 20449, so ist ein richtiger Faktor

::

:Example 2: F = 4046803256 + 1438793759, so ist ein richtiger Faktor

::

Factorization von Zahlen von Fermat

Wegen der Größe von Zahlen von Fermat ist es schwierig, primality von denjenigen zu faktorisieren oder zu beweisen. Der Test von Pépin gibt eine notwendige und genügend Bedingung für primality von Zahlen von Fermat, und kann durch moderne Computer durchgeführt werden. Die elliptische Kurve-Methode ist eine schnelle Methode, um kleine Hauptteiler von Zahlen zu finden. Verteilter rechnender Projektfermatsearch hat einige Faktoren von Zahlen von Fermat erfolgreich gefunden. Yves Gallot ist proth.exe verwendet worden, um Faktoren von großen Zahlen von Fermat zu finden. Édouard Lucas, das obengenannte erwähnte Ergebnis durch Euler verbessernd, hat 1878 bewiesen, dass jeder Faktor der Zahl von Fermat, mit n mindestens 2, der Form ist (sieh Zahl von Proth), wo k eine positive ganze Zahl ist; das ist an sich fast genügend, um den primality der bekannten Blüte von Fermat zu beweisen.

Factorizations der ersten zwölf Zahlen von Fermat sind:

, nur F zu F sind völlig factored gewesen. Die Fermat verteilte Rechenprojektsuche sucht nach neuen Faktoren von Zahlen von Fermat. Der Satz aller Faktoren von Fermat ist (oder, sortiert,) in OEIS.

Pseudoprimes und Zahlen von Fermat

Wie zerlegbare Zahlen der Form 2  1 ist jede zerlegbare Zahl von Fermat eine starke Pseudoblüte, um 2 zu stützen. Weil die ganze starke Pseudoblüte, um 2 zu stützen, auch Pseudoblüte von Fermat ist - d. h.

:

für alle Zahlen von Fermat.

Weil es allgemein geglaubt wird, dass alle außer den ersten paar Zahlen von Fermat zerlegbar sind, macht das es möglich, ungeheuer viele starke Pseudoblüte zu erzeugen, um 2 von den Zahlen von Fermat zu stützen.

1964 hat Rotkiewicz gezeigt, dass das Produkt jeder Zahl von ersten oder zerlegbaren Zahlen von Fermat Fermat sein wird, der zur Basis 2 pseudoerst ist.

Andere Lehrsätze über Zahlen von Fermat

Lemma: Wenn n eine positive ganze Zahl, ist

:

Beweis:

::::

Lehrsatz: Wenn eine sonderbare Blüte ist, dann eine Macht 2 ist.

Beweis:

Wenn eine positive ganze Zahl, aber nicht eine Macht 2, dann wo ist

Durch das vorhergehende Lemma, für die positive ganze Zahl,

:

wo bedeutet, "gleichmäßig teilt sich". Das Ersetzen, und und das Verwenden, das, seltsam

ist:und so:

Weil

Lehrsatz: Eine Fermat Blüte kann kein erster Wieferich sein.

Beweis: Wir zeigen uns, ob erster Fermat, dann die Kongruenz ist

befriedigt nicht.

Es ist leicht, zu zeigen

. Schreiben Sie jetzt. Wenn die gegebene Kongruenz, dann, deshalb befriedigt

:

Folglich, und deshalb

. Das führt

zu

, der seitdem unmöglich ist.

Ein Lehrsatz von Édouard Lucas: Jeder Hauptteiler p F = ist der Form, wann auch immer n größer ist als einer.

Skizze des Beweises:

Lassen Sie G die Gruppe von Nichtnullelementen der ganzen Zahlen (mod p) unter der Multiplikation anzeigen, die Auftrag p-1 hat. Bemerken Sie, dass 2 (genau genommen, sein Image (mod p)) Multiplicative-Ordnung in G hat, so dass, durch den Lehrsatz von Lagrange, p-1 dadurch teilbar ist und p die Form für eine ganze Zahl k, hat

weil Euler gewusst hat. Édouard Lucas ist weiter gegangen. Da n größer ist als 1, ist der erste p oben zu 1 kongruent (mod 8). Folglich (wie Carl Friedrich Gauss bekannt war), 2 ist ein quadratischer Rückstand (mod p), d. h. es gibt ganze Zahl ein solcher, dass ein-2 durch p teilbar ist. Dann hat das Image Ordnung in der Gruppe G und (der Lehrsatz von verwendendem Lagrange wieder), p-1 ist durch teilbar

und p hat die Form für eine ganze Zahl s.

Tatsächlich kann es direkt gesehen werden, dass 2 ein quadratischer Rückstand (mod p), seitdem ist

(mod p). Seit einem

sonderbare Macht 2 ist ein quadratischer Rückstand (mod p), auch ist 2 selbst.

Beziehung zu constructible Vielecken

Ein n-sided regelmäßiges Vieleck kann mit dem Kompass und Haarlineal gebaut werden, wenn, und nur wenn n das Produkt einer Macht 2 und verschiedene Blüte von Fermat ist. Mit anderen Worten, wenn, und nur wenn n der Form n = 2pp … p ist, wo k eine natürliche Zahl und der p ist, verschiedene Blüte von Fermat sind.

Eine positive ganze Zahl n ist von der obengenannten Form, wenn, und nur wenn sein totient φ (n) eine Macht 2 ist.

Anwendungen von Zahlen von Fermat

Pseudozufallszahl-Generation

Blüte von Fermat ist im Erzeugen pseudozufälliger Folgen von Zahlen in der Reihe 1 … N besonders nützlich, wo N eine Macht 2 ist. Der grösste Teil der verwendeten üblichen Methodik ist, jeden Samen-Wert zwischen 1 und P  1 zu nehmen, wo P erster Fermat ist. Multiplizieren Sie jetzt das mit einer Zahl A, die größer ist als die Quadratwurzel von P und eine primitive Wurzel modulo P ist (d. h. es ist nicht ein quadratischer Rückstand). Dann nehmen Sie das Ergebnis modulo P. Das Ergebnis ist der neue Wert für den RNG.

: (sieh Geradlinigen congruential Generator, RANDU)

Das ist in der Informatik nützlich, da die meisten Datenstrukturen Mitglieder mit 2 möglichen Werten haben. Zum Beispiel hat ein Byte 256 (2) mögliche Werte (0-255). Um deshalb ein Byte oder Bytes mit zufälligen Werten zu füllen, kann ein Zufallszahlengenerator, der Werte 1-256 erzeugt, verwendet werden, das Byte, das die Produktion nimmt, schätzen  1. Sehr große Blüte von Fermat ist von besonderem Interesse in der Datenverschlüsselung aus diesem Grund. Diese Methode erzeugt nur pseudozufällige Werte als, danach P  1 Wiederholungen, die Folge-Wiederholungen. Ein schlecht gewählter Vermehrer kann auf die Folge hinauslaufen, die sich eher wiederholt als P  1.

Andere interessante Tatsachen

Eine Fermat Zahl kann keine vollkommene Zahl oder ein Teil eines Paares von freundlichen Zahlen sein.

Die Reihe von Gegenstücken aller Hauptteiler von Zahlen von Fermat ist konvergent.

Wenn n + 1 erst ist, dort besteht eine ganze Zahl solche M dass n = 2. Die Gleichung

n + 1 = F

hält damals.

Lassen Sie den größten Hauptfaktor von Fermat Nummer F P (F). Then, sein

:

Verallgemeinerte Fermat Zahlen

Zahlen der Form, wo a> 1 verallgemeinerte Zahlen von Fermat genannt werden. Analog mit den gewöhnlichen Zahlen von Fermat ist es üblich, verallgemeinerte Zahlen von Fermat der Form als F (a) zu schreiben. In dieser Notation, zum Beispiel, würde die Nummer 100,000,001 als F (10) geschrieben.

Ein sonderbarer erster p ist eine verallgemeinerte Zahl von Fermat, wenn, und nur wenn p zu 1 (mod 4) (mit Ausnahme von 3 = und für = 6, 10, 18, 22, 30, 42, usw.) kongruent ist.

Verallgemeinerte Fermat Blüte

Wegen der Bequemlichkeit, ihren primality zu beweisen, ist verallgemeinerte Blüte von Fermat in den letzten Jahren ein heißes Thema für die Forschung innerhalb des Feldes der Zahlentheorie geworden. Viele von der größten bekannten Blüte ist heute verallgemeinerte Blüte von Fermat.

Verallgemeinerte Fermat Zahlen können nur für sogar a, weil erst sein, wenn seltsam dann zu sein, jede verallgemeinerte Zahl von Fermat durch 2 teilbar sein wird. Analog mit dem heuristischen Argument für die begrenzte Zahl der Blüte unter der Basis 2 Zahlen von Fermat soll es erwartet werden, dass es nur begrenzt geben wird, haben viele Blüte von Fermat für jede gleiche Basis verallgemeinert. Die kleinste Primzahl F (a) mit n> 4 ist F (30), oder 30+1.

Eine mehr wohl durchdachte Theorie kann verwendet werden, um die Zahl von Basen vorauszusagen, für die F (a) für einen festen n erst sein wird. Wie man grob erwarten kann, halbiert die Zahl der verallgemeinerten Blüte von Fermat, weil n um 1 vergrößert wird.

Siehe auch

• Mersenne erster
• Pierpont erster
• Der Lehrsatz von Lucas
• Der Lehrsatz von Proth
• Pseudoerster
• Primality prüfen
• Vieleck von Constructible: Welche regelmäßige Vielecke constructible sind, teilweise hängt von Blüte von Fermat ab.
• Zahl von Sierpiński
• Die Folge von Sylvester
• Verdoppeln Sie Exponentialfunktion

Referenzen

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Links

• Chris Caldwell, Das Hauptwörterverzeichnis: Zahl von Fermat an Den Hauptseiten.
• Luigi Morelli, Geschichte von Fermat Zahlen
• John Cosgrave, Vereinigung von Mersenne und Fermat Numbers
• Wilfrid Keller, Hauptfaktoren von Fermat Zahlen
• Yves Gallot, verallgemeinerte Fermat Hauptsuche
• Mark S. Manasse, Ganzer factorization der neunten Zahl von Fermat (ursprüngliche Ansage)