Die Penrose-jagenden Eigenartigkeitslehrsätze sind eine Reihe läuft auf allgemeine Relativität hinaus, die versuchen, auf die Frage dessen zu antworten, wenn Schwerkraft Eigenartigkeiten erzeugt.

Eine Eigenartigkeit in Lösungen der Feldgleichungen von Einstein ist eines von zwei Dingen:

1. eine Situation, wo Sache gezwungen wird, zu einem Punkt (eine raumähnliche Eigenartigkeit) zusammengepresst zu werden
2. eine Situation, wohin bestimmte leichte Strahlen aus einem Gebiet mit der unendlichen Krümmung (zeitähnliche Eigenartigkeit) kommen

Raumähnliche Eigenartigkeiten sind eine Eigenschaft, unbeladene schwarze Löcher rotieren nichtzulassen, während zeitähnliche Eigenartigkeiten diejenigen sind, die im beladenen oder rotierenden schwarzen Loch genaue Lösungen vorkommen. Sie beide haben das folgende Eigentum:

:: geodätische Unvollständigkeit: Einige leichte Pfade oder Partikel-Pfade können außer einem bestimmten richtig-maligen nicht erweitert werden, oder Affine-Parameter (affine Parameter ist das ungültige Analogon der richtigen Zeit).

Es ist noch eine geöffnete Frage, ob zeitähnliche Eigenartigkeiten jemals im Interieur von echten beladenen oder rotierenden schwarzen Löchern vorkommen, oder ob sie Kunsterzeugnisse der hohen Symmetrie sind und sich in Raummäßigeigenartigkeiten verwandeln, wenn realistische Unruhen hinzugefügt werden.

Der Lehrsatz von Penrose versichert, dass eine Art geodätische Unvollständigkeit innerhalb jedes schwarzen Loches vorkommt, wann auch immer Sache angemessene Energiebedingungen befriedigt. (Es hält für die Sache beschrieben durch ein Superfeld, d. h., das Feld von Dirac nicht) Die für den Eigenartigkeitslehrsatz des schwarzen Loches erforderliche Energiebedingung ist schwach: Es sagt, dass leichte Strahlen immer zusammen durch den Ernst, nie gezogen einzeln eingestellt werden, und das hält, wann auch immer die Energie der Sache nichtnegativ ist.

Der Eigenartigkeitslehrsatz der Falknerei ist für das ganze Weltall, und arbeitet umgekehrt rechtzeitig: In der ursprünglichen Formulierung der Falknerei hat es versichert, dass der Urknall unendliche Dichte hat. Die Falknerei hat später seine Position in Einer Kurzen Geschichte der Zeit (1988) revidiert, wo er festgestellt hat, dass "Es tatsächlich keine Eigenartigkeit am Anfang des Weltalls" (p50) gab. Diese Revision ist aus Quant-Mechanik gefolgt, in der allgemeine Relativität zuweilen weniger zusammenbrechen muss als die Zeit von Planck. Folglich kann allgemeine Relativität nicht verwendet werden, um eine Eigenartigkeit zu zeigen.

Der Lehrsatz von Penrose wird mehr eingeschränkt, er hält nur, wenn Sache einer stärkeren Energiebedingung, genannt die dominierende Energiebedingung folgt, was bedeutet, dass die Energie größer ist als der Druck. Die ganze gewöhnliche Sache, mit Ausnahme von einem Vakuumerwartungswert eines Skalarfeldes, folgt dieser Bedingung. Während der Inflation verletzt das Weltall die stärkere dominierende Energiebedingung (aber nicht die schwache Energiebedingung), und Inflationskosmologien vermeiden die anfängliche Urknall-Eigenartigkeit, sie zu einem glatten Anfang abrundend.

Interpretation und Bedeutung

In der allgemeinen Relativität ist eine Eigenartigkeit ein Platz, der protestiert oder leichte Strahlen in einer endlichen Zeit reichen können, wo die Krümmung unendlicher oder Raum-Zeit-Halt wird, der eine Sammelleitung ist. Eigenartigkeiten können im ganzen schwarzen Loch spacetimes, Schwarzschild metrisch, das Reissner-Nordström metrische und der Kerr metrisch, und in allen kosmologischen Lösungen gefunden werden, die keine Skalarfeldenergie oder eine kosmologische Konstante haben.

Man kann nicht voraussagen, was einer Urknall-Eigenartigkeit in unserer Vergangenheit kommen könnte, oder was mit einem Beobachter geschieht, der "in" zu einer Eigenartigkeit des schwarzen Loches in der Zukunft fällt, so verlangen sie eine Modifizierung des physischen Gesetzes. Vor Penrose war es denkbar, dass sich Eigenartigkeiten nur in erfundenen Situationen formen. Zum Beispiel, im Zusammenbruch eines Sterns, um ein schwarzes Loch zu bilden, wenn der Stern spinnt und so etwas winkeligen Schwung vielleicht besitzt, wirkt die Zentrifugalkraft teilweise Ernst entgegen und hält eine Eigenartigkeit vom Formen ab. Die Eigenartigkeitslehrsätze beweisen, dass das nicht geschehen kann, und dass sich eine Eigenartigkeit immer formen wird, sobald sich ein Ereignis-Horizont formt.

Im zusammenbrechenden Sternbeispiel, seit der ganzen Sache und Energie ist eine Quelle der Gravitationsanziehungskraft in der allgemeinen Relativität, der zusätzliche winkelige Schwung reißt nur den Stern stärker zusammen, weil es sich zusammenzieht: Der Teil außerhalb des Ereignis-Horizonts lässt sich schließlich einem Kerr schwarzes Loch nieder (sieh Lehrsatz ohne Haare). Der Teil innerhalb des Ereignis-Horizonts hat notwendigerweise eine Eigenartigkeit irgendwo. Der Beweis ist etwas konstruktiv — er zeigt, dass die Eigenartigkeit durch folgende leichte Strahlen von einer Oberfläche gerade innerhalb des Horizonts gefunden werden kann. Aber der Beweis sagt nicht, welche Eigenartigkeit, raummäßig, zeitmäßig, orbifold, Sprung-Diskontinuität im metrischen vorkommt. Es versichert nur, dass, wenn man dem zeitähnlichen geodesics in die Zukunft folgt, es für die Grenze des Gebiets unmöglich ist, das sie bilden, um durch den ungültigen geodesics von der Oberfläche erzeugt zu werden. Das bedeutet, dass die Grenze entweder aus dem Nichts oder die ganzen zukünftigen Enden bei etwas begrenzter Erweiterung kommen muss.

Eine interessante "philosophische" Eigenschaft der allgemeinen Relativität wird durch die Eigenartigkeitslehrsätze offenbart. Weil allgemeine Relativität das unvermeidliche Ereignis von Eigenartigkeiten voraussagt, ist die Theorie ohne eine Spezifizierung dafür nicht abgeschlossen, was zufällig von Bedeutung ist, dass die Eigenartigkeit schlägt. Man kann allgemeine Relativität erweitern

zu einer vereinigten Feldtheorie, wie das System von Einstein-Maxwell-Dirac, wo keine solche Eigenartigkeiten vorkommen.

Elemente der Lehrsätze

In der Mathematik gibt es eine tiefe Verbindung zwischen der Krümmung einer Sammelleitung und seiner Topologie. Der Lehrsatz des Häubchens-Myers stellt fest, dass eine ganze Sammelleitung von Riemannian, die Krümmung von Ricci hat, die überall größer ist als eine bestimmte positive Konstante, kompakt sein muss. Die Bedingung der positiven Krümmung von Ricci wird folgendermaßen am günstigsten festgesetzt: Für jeden geodätischen gibt es einen nahe gelegenen am Anfang passen geodätisch an, der sich dazu, wenn erweitert, biegen wird, und sich die zwei an etwas begrenzter Länge schneiden werden.

Wenn sich zwei nahe gelegene Parallele geodesics schneidet, ist die Erweiterung jeder nicht mehr der kürzeste Pfad zwischen den Endpunkten. Der Grund besteht darin, dass zwei geodätischen Pfaden anpassen, notwendigerweise kollidieren nach einer Erweiterung der gleichen Länge, und wenn einem Pfad zur Kreuzung dann der andere gefolgt wird, verbinden Sie die Endpunkte durch einen nichtgeodätischen Pfad der gleichen Länge. Das bedeutet, dass für einen geodätischen, um ein kürzester Länge-Pfad zu sein, es benachbarte Parallele geodesics nie durchschneiden muss.

Wenn er

mit einem kleinen Bereich anfängt und Parallele geodesics von der Grenze verbreitet, annehmend, dass die Sammelleitung eine Krümmung von Ricci unten durch eine positive Konstante begrenzen ließ, ist keiner der geodesics kürzeste Pfade nach einer Weile, da sie alle mit einem Nachbar kollidieren. Das bedeutet, dass nach einem bestimmten Betrag der Erweiterung alle potenziell neuen Punkte erreicht worden sind. Wenn alle Punkte in einer verbundenen Sammelleitung in einer begrenzten geodätischen Entfernung von einem kleinen Bereich sind, muss die Sammelleitung kompakt sein.

Penrose hat analog in der Relativität gestritten. Wenn ungültig, wird geodesics, die Pfade von leichten Strahlen, in die Zukunft gefolgt, Punkte in der Zukunft des Gebiets werden erzeugt. Wenn ein Punkt an der Grenze der Zukunft des Gebiets ist, kann es nur durch das Gehen mit der Geschwindigkeit des Lichtes nicht langsamer erreicht werden, so schließen ungültige geodesics die komplette Grenze der richtigen Zukunft eines Gebiets ein. Wenn sich die ungültigen geodesics schneiden, sind sie nicht mehr an der Grenze der Zukunft, sie sind im Interieur der Zukunft. Also, wenn alle ungültigen geodesics kollidieren, gibt es keine Grenze zur Zukunft.

In der Relativität wird die Krümmung von Ricci, die die Kollisionseigenschaften von geodesics bestimmt, durch den Energietensor bestimmt, und sein Vorsprung auf leichten Strahlen ist dem ungültigen Vorsprung des Energieschwung-Tensor gleich und ist immer nichtnegativ. Das deutet an, dass das Volumen einer Kongruenz von parallelem ungültigem geodesics, sobald es anfängt abzunehmen, Null in einer endlichen Zeit erreichen wird. Sobald das Volumen Null ist, gibt es einen Zusammenbruch in einer Richtung, so schneidet jeder geodätische einen Nachbar durch.

Penrose hat beschlossen, dass, wann auch immer es einen Bereich gibt, wo der ganze aus dem Amt scheiden (und Eintritt) leichte Strahlen am Anfang zusammenlaufen, die Grenze der Zukunft dieses Gebiets nach einer begrenzten Erweiterung enden wird, weil der ganze ungültige geodesics zusammenlaufen wird. Das ist bedeutend, weil die aus dem Amt scheiden leichten Strahlen für jeden Bereich innerhalb des Horizonts einer schwarzen Loch-Lösung alle zusammenlaufen, so ist die Grenze der Zukunft dieses Gebiets entweder kompakt oder kommt aus dem Nichts. Die Zukunft des Interieurs entweder Enden nach einer begrenzten Erweiterung, oder hat eine Grenze, die schließlich durch neue leichte Strahlen erzeugt wird, die zurück zum ursprünglichen Bereich nicht verfolgt werden können.

Natur einer Eigenartigkeit

Die Eigenartigkeitslehrsätze verwenden den Begriff der geodätischen Unvollständigkeit als ein Stellvertreter für die Anwesenheit unendlicher Krümmungen. Geodätische Unvollständigkeit ist der Begriff, dass es geodesics, Pfade von Beobachtern durch die Raum-Zeit gibt, die nur seit einer endlichen Zeit, wie gemessen, von einem Beobachter erweitert werden kann, der entlang einem reist. Vermutlich am Ende des geodätischen ist der Beobachter in eine Eigenartigkeit gefallen oder auf eine andere Pathologie gestoßen, an der die Gesetze der allgemeinen Relativität zusammenbrechen.

Annahmen der Lehrsätze

Normalerweise hat ein Eigenartigkeitslehrsatz drei Zutaten:

1. Eine Energiebedingung auf der Sache,
2. Eine Bedingung auf der globalen Struktur der Raum-Zeit,
3. Ernst ist (irgendwo) stark genug, um ein Gebiet zu fangen.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für jede Zutat, und jeder führt zu verschiedenen Eigenartigkeitslehrsätzen.

Werkzeuge verwendet

Ein Schlüsselwerkzeug, das in der Formulierung und dem Beweis der Eigenartigkeitslehrsätze verwendet ist, ist die Gleichung von Raychaudhuri, die die Abschweifung einer Kongruenz (Familie) von geodesics beschreibt. Die Abschweifung einer Kongruenz wird definiert

als die Ableitung des Klotzes der Determinante des Kongruenz-Volumens. Der Raychaudhuri

Gleichung ist

:

wo der scheren Tensor der Kongruenz ist (sieh die Kongruenz-Seite für Details). Der Stichpunkt ist das wird nichtnegativ sein vorausgesetzt, dass die Feldgleichungen von Einstein halten und

• die ungültige Energiebedingung hält, und die geodätische Kongruenz, ist oder ungültig
• die starke Energiebedingung hält, und die geodätische Kongruenz ist zeitmäßig.

Wenn diese halten, wird die Abschweifung unendlich an einem begrenzten Wert des affine Parameters. So wird das ganze Geodesics-Verlassen eines Punkts schließlich nach einer endlichen Zeit wiederzusammenlaufen, vorausgesetzt dass die passende Energiebedingung, ein Ergebnis auch bekannt als der sich konzentrierende Lehrsatz hält.

Das ist für Eigenartigkeiten dank des folgenden Arguments wichtig

1. Nehmen Sie an, dass wir eine Raum-Zeit haben, die, und zwei Punkte allgemein hyperbolisch ist und das durch eine ungültige oder Zeitmäßigkurve verbunden werden kann. Dann dort besteht ein geodätische vom maximalen Länge-Anschließen und. Nennen Sie das geodätisch.
2. Das geodätische kann zu einer längeren Kurve geändert werden, wenn sich ein anderer, der davon geodätisch ist, an einem anderen Punkt, genannt einen verbundenen Punkt schneidet.
3. Vom sich konzentrierenden Lehrsatz wissen wir, dass alle geodesics davon verbundene Punkte an begrenzten Werten des affine Parameters haben. Insbesondere das ist für die geodätische von der maximalen Länge wahr. Aber das ist ein Widerspruch - man kann deshalb beschließen, dass die Raum-Zeit geodätisch unvollständig ist.

In der allgemeinen Relativität gibt es mehrere Versionen des Penrose-jagenden Eigenartigkeitslehrsatzes. Die meisten Versionen, stellen grob, dass fest, wenn es eine gefangene ungültige Oberfläche gibt und die Energiedichte nichtnegativ ist, dann dort bestehen geodesics der begrenzten Länge, die nicht erweitert werden kann.

Diese Lehrsätze beweisen genau genommen, dass es mindestens einen nichtraummäßig geodätisch gibt, der nur in die Vergangenheit begrenzt ausdehnbar ist, aber es gibt Fälle, in denen die Bedingungen dieser Lehrsätze auf solche Art und Weise vorherrschen, den alle geVergangenheitsleiteten Raum-Zeit-Pfade an einer Eigenartigkeit begrenzen.

Versionen

Es gibt viele Versionen. Hier ist die ungültige Version:

: Nehmen Sie an

1. Die ungültige Energiebedingung hält.
2. Wir haben eine verbundene Nichtkompaktoberfläche von Cauchy.
3. Wir haben eine geschlossene gefangene ungültige Oberfläche.

: Dann haben wir entweder ungültige geodätische Unvollständigkeit, oder haben Zeitmäßigkurven geschlossen.

:: Skizze des Beweises: Beweis durch den Widerspruch. Die Grenze der Zukunft dessen, wird durch ungültige geodätische Segmente erzeugt, die aus mit dazu orthogonalen Tangente-Vektoren entstehen. Wenn sie eine gefangene ungültige Oberfläche durch die ungültige Gleichung von Raychaudhuri sein werden, werden beide Familien von ungültigen Strahlen, die davon ausgehen, auf Ätzmittel stoßen. (Ein Ätzmittel ist allein unproblematisch. Zum Beispiel ist die Grenze der Zukunft von zwei getrennten Raummäßigpunkten die Vereinigung von zwei zukünftigen leichten Kegeln mit den Innenteilen der entfernten Kreuzung. Ätzmittel kommen vor, wo sich die leichten Kegel schneiden, aber keine Eigenartigkeit liegt dort.) Jedoch, das ungültige Geodesics-Erzeugen müssen enden, d. h. ihre zukünftigen Endpunkte an oder vor den Ätzmitteln erreichen. Sonst können wir zwei ungültige geodätische Segmente nehmen - sich am Ätzmittel ändernd - und sie dann ein bisschen deformieren, um eine Zeitmäßigkurve zu bekommen, die einen Punkt an der Grenze zu einem Punkt auf, ein Widerspruch verbindet. Aber wie, in Anbetracht eines dauernden affine parameterization der geodätischen Generatoren kompakt ist, dort besteht ein zum absoluten Wert des Vergrößerungsparameters gebundener niedrigerer. Also, wir wissen, dass sich Ätzmittel für jeden Generator entwickeln werden, bevor eine im affine Parameter gebundene Uniform vergangen hat. Infolgedessen, muss kompakt sein. Entweder wir haben Zeitmäßigkurven geschlossen, oder wir können eine Kongruenz durch Zeitmäßigkurven bauen, und jeder einzelne von ihnen muss sich schneiden nichtkompakte Cauchy erscheinen genau einmal. Betrachten Sie alle diese Zeitmäßigkurven als durchgehend und schauen Sie auf ihr Image auf der Oberfläche von Cauchy. Eine dauernde Karte seiend, muss das Image auch kompakt sein. Eine Zeitmäßigkongruenz seiend, können sich die Zeitmäßigkurven nicht schneiden, und so ist die Karte injective. Wenn die Oberfläche von Cauchy nichtkompakt war, dann hat das Image eine Grenze. Wir nehmen an, dass Raum-Zeit in einem verbundenem Stück kommt. Aber ist kompakt und boundariless, weil die Grenze einer Grenze leer ist. Eine dauernde Injective-Karte kann keine Grenze schaffen, uns unseren Widerspruch gebend.

:: Lücken: Wenn geschlossen, bestehen Zeitmäßigkurven, dann müssen Zeitmäßigkurven nicht die teilweise Oberfläche von Cauchy durchschneiden. Wenn die Oberfläche von Cauchy kompakt war, d. h. Raum-kompakt ist, können sich die ungültigen geodätischen Generatoren der Grenze überall schneiden, weil sie sich auf der anderen Seite des Raums schneiden können.

Andere Versionen des Lehrsatzes, der die schwache oder starke Energiebedingung auch einschließt, bestehen.

Zeichen

• Die klassische Verweisung.
• Siehe auch für ein relevantes Kapitel von Der In großem Umfang Struktur der Raumzeit.