In der Mengenlehre ist ein Superkompaktkardinal ein Typ des großen Kardinals. Sie zeigen eine Vielfalt von Nachdenken-Eigenschaften.

Formelle Definition

Wenn λ ist jede Ordnungszahl, κ ist λ-supercompact bedeutet, dass dort ein elementares Einbetten j vom Weltall V in eine transitive innere MusterM mit dem kritischen Punkt &kappa besteht; j (&kappa) >λ und

D. h. M enthält alles von seinem λ-sequences. Dann κ ist superkompakt bedeutet, dass es λ-supercompact für alle Ordnungszahlen λ. ist

Wechselweise, ein unzählbarer Kardinal κ ist wenn für jeden Ein solcher dass |A  &kappa superkompakt; dort besteht ein normales Maß über

[A]

Eigenschaften

Superkompaktkardinäle haben Nachdenken-Eigenschaften. Wenn ein Kardinal mit einem Eigentum (sagen einen 3-riesigen Kardinal), der durch eine Struktur der beschränkten Reihe bezeugt wird, über einem Superkompaktkardinal &kappa besteht; dann besteht ein Kardinal mit diesem Eigentum unten κ. zum Beispiel, wenn κ ist superkompakt, und die Verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese hält unten κ dann hält es überall weil eine Bijektion zwischen dem powerset ν und ein Kardinal mindestens ν würde ein Zeuge der beschränkten Reihe für den Misserfolg von GCH an &nu sein; so würde es auch unten κ. bestehen

Die Entdeckung eines kanonischen inneren Modells für Superkompaktkardinäle ist eines der Hauptprobleme der inneren Mustertheorie.