:For der Begriff der oberen oder niedrigeren halbdauernden mehrgeschätzten Funktion sehen: Hemicontinuity

In der mathematischen Analyse sind Halbkontinuität (oder Halbkontinuität) ein Eigentum von verlängerten reellwertigen Funktionen, das schwächer ist als Kontinuität. Eine verlängerte reellwertige Funktion f ist (tiefer) halbdauernd an einem Punkt x ober, wenn, grob das Sprechen, die Funktionswerte für Argumente nahe x irgendein in der Nähe von f (x) oder weniger sind als (größer als) f (x).

Beispiele

Betrachten Sie die Funktion f, piecewise als definiert durch f (x) =-1 für x = 0, aber nicht tiefer halbdauernd.

Die Anzeigefunktion eines offenen Satzes ist halbdauernd niedriger, wohingegen die Anzeigefunktion eines geschlossenen Satzes halbdauernd ober ist. Die Fußboden-Funktion, die die größte ganze Zahl weniger zurückgibt als oder gleich einer gegebenen reellen Zahl x, ist überall halbdauernd ober. Ähnlich ist die Decke-Funktion halbdauernd niedriger.

Eine Funktion kann ober sein oder niedrigere halbdauernd, ohne entweder verlassen zu werden, oder dauerndes Recht. Zum Beispiel, die Funktion

:

1 & \mbox {wenn} x

\end {Fälle} </Mathematik>

ist halbdauernd an x = 1 obwohl nicht verlassen oder dauerndes Recht ober. Die Grenze ist vom links 1 gleich, und die Grenze vom Recht ist 1/2 gleich, von denen beide vom Funktionswert von 2 verschieden sind. Ähnlich die Funktion

:

\sin (1/x) & \mbox {wenn} x \neq 0, \\

1 & \mbox {wenn} x = 0,

\end {Fälle} </Mathematik>

ist halbdauernd an x = 0 ober, während die Funktion vom links beschränkt oder direkt an der Null nicht sogar bestehen.

Lassen Sie, ein Maß-Raum zu sein und zu lassen, zeigen den Satz von positiven messbaren mit dem ausgestatteten Funktionen an

Topologie - fast überall Konvergenz. Dann das Integral, das als ein Maschinenbediener von zu gesehen ist

ist halbdauernd niedriger. Das ist gerade das Lemma von Fatou.

Formelle Definition

Denken Sie X ist ein topologischer Raum, x ist ein Punkt in X und f: X  R  {-, + } ist eine verlängerte reellwertige Funktion. Wir sagen, dass f halbdauernd an x ober ist, wenn für jeden ε> 0 dort eine Nachbarschaft U solchen x dass f (x)  f (x) + ε für den ganzen x in U besteht. Für den besonderen Fall eines metrischen Raums kann das als ausgedrückt werden

:

wo lim Mund voll die Grenze höher (von der Funktion f am Punkt x) ist. (Für nichtmetrische Räume kann eine gleichwertige Definition mit Netzen festgesetzt werden.)

Die Funktion f wird ober halbdauernd genannt, wenn es halbdauernd an jedem Punkt seines Gebiets ober ist. Eine Funktion ist halbdauernd wenn und nur wenn {x  X ober: f (x) &lt; α} ist ein offener Satz für jeden α  R.

Wir sagen, dass f halbdauernd an x niedriger ist, wenn für jeden ε> 0 dort eine Nachbarschaft U von solchem x dass f (x)  f (x) - ε für den ganzen x in U besteht. Gleichwertig kann das als ausgedrückt werden

:

wo lim inf die Grenze untergeordnet (von der Funktion f am Punkt x) ist.

Die Funktion f wird niedriger halbdauernd genannt, wenn es halbdauernd an jedem Punkt seines Gebiets niedriger ist. Eine Funktion ist halbdauernd wenn und nur wenn {x  X niedriger: f (x) &gt; α} ist ein offener Satz für jeden α  R; wechselweise ist eine Funktion halbdauernd wenn und nur wenn alles von seinem tiefer levelsets {x  X niedriger: f (x) werden  α} geschlossen. Sätze der niedrigeren Ebene werden auch Subniveau-Sätze oder Gräben genannt.

Eigenschaften

Eine Funktion ist an x dauernd, wenn, und nur wenn es ober ist und niedrigeres halbdauernd dort. Deshalb kann Halbkontinuität verwendet werden, um Kontinuität zu beweisen.

Wenn f und g zwei reellwertige Funktionen sind, die halbdauernd an x beide ober sind, dann auch ist f + g. Wenn beide Funktionen nichtnegativ sind, dann wird die Produktfunktion fg auch halbdauernd an x sein ober. Das Multiplizieren einer positiven oberen halbdauernden Funktion mit einer negativen Zahl verwandelt es in eine niedrigere halbdauernde Funktion.

Wenn C ein Kompaktraum (zum Beispiel ein geschlossener, begrenzter Zwischenraum [a, b]) und f ist: C  [-, ) ist halbdauernd ober, dann hat f ein Maximum auf C. Die analoge Behauptung dafür (-, ] - geschätzt tiefer halbdauernde Funktionen und Minima ist auch wahr. (Sieh den Artikel über den äußersten Wertlehrsatz für einen Beweis.)

Nehmen Sie f an: X  [-, ] ist eine niedrigere halbdauernde Funktion für jeden Index i in einem nichtleeren Satz I, und definieren Sie f als pointwise Supremum, d. h.,

:

Dann ist f halbdauernd niedriger. Selbst wenn alle f dauernd sind, braucht f nicht dauernd zu sein: Tatsächlich entsteht jede niedrigere halbdauernde Funktion auf einem gleichförmigen Raum (z.B ein metrischer Raum) als das Supremum einer Folge von dauernden Funktionen.

Die Anzeigefunktion jedes offenen Satzes ist halbdauernd niedriger. Die Anzeigefunktion eines geschlossenen Satzes ist halbdauernd ober.

Eine Funktion f: RR ist halbdauernd niedriger, wenn, und nur wenn seine Aufschrift (der Satz von Punkten, die auf oder über seinem Graphen liegen), geschlossen wird.

Eine Funktion f: XR, für einen topologischen Raum X, ist halbdauernd niedriger, wenn, und nur wenn es in Bezug auf die Topologie von Scott auf R dauernd ist.

Siehe auch

• Richtungskontinuität
• Halbdauernde mehrgeschätzte Funktion