In der Knoten-Theorie ist eine Zahl acht Knoten (auch genannt den Knoten der Auflistung) der einzigartige Knoten mit einer sich treffenden Zahl vier. Das ist die kleinstmögliche sich treffende Zahl abgesehen vom Losknüpfen und Klee-Knoten. Die Zahl acht Knoten ist ein Hauptknoten.

Ursprung des Namens

Der Name wird gegeben, weil, eine normale Zahl bindend acht Knoten in einem Tau und dann sich den Enden zusammen auf die natürlichste Weise anschließend, ein Modell des mathematischen Knotens geben.

Beschreibung

Eine einfache parametrische Darstellung der Zahl acht Knoten ist als der Satz aller Punkte (x, y, z) wo

:

x& = \left (2 + \cos {(2t)} \right) \cos {(3t)} \\

y & = \left (2 + \cos {(2t)} \right) \sin {(3t)} \\

z & = \sin {(4t) }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

für t, der sich über die reellen Zahlen ändert (sieh 2. Sehverwirklichung im Grunde Recht).

Die Zahl acht Knoten ist erst, abwechselnd, mit einem verbundenen Wert vernünftig

5/2, und ist achiral. Die Zahl acht Knoten ist auch ein fibered Knoten. Das folgt aus anderem, weniger einfach (aber sehr interessant) Darstellungen des Knotens:

(1) Es ist eine homogene geschlossene Flechte (nämlich, der Verschluss der 3-Schnuren-Flechte σσσσ), und ein Lehrsatz von John Stallings zeigt, dass jede geschlossene homogene Flechte fibered ist.

(2) Es ist die Verbindung an (0,0,0,0) eines isolierten kritischen Punkts einer echt-polynomischen Karte: RR, so (gemäß einem Lehrsatz von John Milnor) ist die Karte von Milnor dessen wirklich ein fibration. Bernard Perron hat das erste derartige für diesen Knoten, nämlich, gefunden

:

wo

:

G (x, y, z, t) = \& (z (x^2+y^2+z^2+t^2) +x (6x^2-2y^2-2z^2-2t^2), \\

& \t x \sqrt {2} +y (6x^2-2y^2-2z^2-2t^2)).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Mathematische Eigenschaften

Die Zahl haben acht Knoten eine wichtige Rolle historisch gespielt (und setzt fort, so zu tun), in der Theorie von 3 Sammelleitungen. Einmal Mitte-zu-spät der 1970er Jahre hat William Thurston gezeigt, dass die Zahl acht hyperbolisch war, indem sie seine Ergänzung in zwei ideale hyperbolische tetrahedra zersetzt hat. (Robert Riley und Troels Jørgensen, unabhängig von einander arbeitend, hatten früher gezeigt, dass die Zahl acht Knoten durch andere Mittel hyperbolisch war.) Dieser Aufbau, neu zurzeit, hat ihn zu vielen starken Ergebnissen und Methoden geführt. Zum Beispiel ist er im Stande gewesen zu zeigen, dass alle außer zehn Chirurgien von Dehn auf der Zahl acht Knoten auf non-Haken, non-Seifert-fibered nicht zu vereinfachende 3 Sammelleitungen hinausgelaufen sind; das waren die ersten derartigen Beispiele. Noch viele sind entdeckt worden, indem sie den Aufbau von Thurston zu anderen Knoten und Verbindungen verallgemeinern.

Die acht Zahl-Knoten sind auch der Hyperbelknoten, dessen Ergänzung das kleinstmögliche Volumen, 2.02988... gemäß der Arbeit von Chun Cao und Robert Meyerhoff hat. Von dieser Perspektive die Zahl können acht Knoten als der einfachste Hyperbelknoten betrachtet werden. Die Zahl-Acht-Knoten-Ergänzung ist ein doppelter Deckel der Sammelleitung von Gieseking, die das kleinste Volumen unter nichtkompakten hyperbolischen 3 Sammelleitungen hat.

Die Zahl acht Knoten und (-2, 3, 7) Salzbrezel-Knoten ist die nur zwei Hyperbelknoten, die bekannt sind, mehr als 6 außergewöhnliche Chirurgien, Chirurgien von Dehn zu haben, die auf einen Nichthyperbel-3-Sammelleitungen-hinauslaufen; sie haben 10 und 7, beziehungsweise. Ein Lehrsatz von Lackenby und Meyerhoff, dessen sich Beweis auf die Geometrization-Vermutung und Computerhilfe verlässt, meint, dass 10 die größtmögliche Zahl von außergewöhnlichen Chirurgien jedes Hyperbelknotens ist. Jedoch ist es nicht zurzeit bekannt, ob die Zahl acht Knoten sind der einzige, der die bestimmten von 10 erreicht. Eine wohl bekannte Vermutung ist, dass das bestimmte (abgesehen von den zwei Knoten erwähnt) 6 ist.

Invariants

Das Polynom von Alexander der Zahl acht Knoten ist

:

das Polynom von Conway ist

:

und das Polynom von Jones ist

:

Die Symmetrie zwischen und im Polynom von Jones widerspiegelt die Tatsache, dass die Zahl acht Knoten achiral ist.

• Ian Agol, Grenzen auf der außergewöhnlichen Füllung von Dehn, Geometrie & Topologie 4 (2000), 431-449.
• Chun Cao und Robert Meyerhoff, Die orientable spitzen hyperbolischen 3 Sammelleitungen des minimalen Volumens, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), Nr. 3, 451-478.
• Marc Lackenby, Wort Hyperbelchirurgie von Dehn, Inventiones Mathematicae 140 (2000), Nr. 2, 243-282.
• Marc Lackenby und Robert Meyerhoff, Die maximale Zahl von außergewöhnlichen Chirurgien von Dehn, arXiv:0808.1176
• Robion Kirby, Probleme in der niedrig-dimensionalen Topologie, (sieh Problem 1.77, wegen Cameron Gordons, für den außergewöhnlichen Hang)
• William Thurston, Die Geometrie und Topologie von Drei Sammelleitungen, hält Universität von Princeton Zeichen (1978-1981) Vorlesungen.

Links

• Knoten-Atlas-Artikel