In der Mathematik ist die Gammafunktion (vertreten durch den griechischen Kapitalbrief Γ) eine Erweiterung der Factorial-Funktion, mit seinem Argument ausgewechselt unten durch 1, zu reellen Zahlen und komplexen Zahlen. D. h. wenn n eine positive ganze Zahl ist:

:

Obwohl die Gammafunktion für alle komplexen Zahlen außer den nichtpositiven ganzen Zahlen definiert wird, wird sie über ein unpassendes Integral definiert, das nur für komplexe Zahlen mit einem positiven echten Teil zusammenläuft:

:

Diese integrierte Funktion wird durch die analytische Verlängerung zu allen komplexen Zahlen außer den nichtpositiven ganzen Zahlen erweitert (wo die Funktion einfache Pole hat), die Meromorphic-Funktion nachgebend, nennen wir die Gammafunktion.

Die Gammafunktion ist ein Bestandteil in verschiedenen Wahrscheinlichkeitsvertrieb-Funktionen, und als solcher ist es in den Feldern der Wahrscheinlichkeit und Statistik, sowie combinatorics anwendbar.

Motivation

Die Gammafunktion kann als eine Lösung des folgenden Interpolationsproblems gesehen werden:

: "Finden Sie eine glatte Kurve, die die Punkte (x, y) gegeben durch y = (x  1) an den positiven Werten der ganzen Zahl für x." verbindet

Ein Anschlag der ersten paar factorials macht verständlich, dass solch eine Kurve gezogen werden kann, aber es würde vorzuziehend sein, eine Formel zu haben, die genau die Kurve beschreibt, in der die Zahl von Operationen von der Größe von n nicht abhängt. Die einfache Formel für den factorial, n = 1 × 2 × … × n, kann direkt für Bruchwerte von n nicht verwendet werden, da es nur gültig ist, wenn n eine natürliche Zahl (d. h., eine positive ganze Zahl) ist.

Es, gibt relativ betrachtet, keine solche einfachen Lösungen für factorials; jede Kombination von Summen, Produkten, Mächten, Exponentialfunktionen oder Logarithmen mit einer festgelegten Zahl von Begriffen wird nicht genügen, um n auszudrücken. Die Annäherung von Stirling ist der Factorial-Funktion für große Werte von n asymptotisch gleich. Es ist möglich, eine allgemeine Formel für factorials das Verwenden von Werkzeugen wie Integrale und Grenzen von der Rechnung zu finden. Eine gute Lösung davon ist die Gammafunktion.

Es gibt ungeheuer viele dauernde Erweiterungen des factorial zu nichtganzen Zahlen: Ungeheuer können viele Kurven durch jeden Satz von isolierten Punkten gezogen werden. Die Gammafunktion ist die nützlichste Lösung in der Praxis, (außer an den nichtpositiven ganzen Zahlen) analytisch seiend, und es kann auf mehrere Weisen charakterisiert werden. Jedoch ist es nicht die einzige analytische Funktion, die den factorial erweitert, als das Hinzufügen dazu wird jede analytische Funktion, die Null auf den positiven ganzen Zahlen ist, eine andere Funktion mit diesem Eigentum geben.

Ein einschränkenderes Eigentum als Zufriedenheit der obengenannten Interpolation soll die Wiederauftreten-Beziehung befriedigen, die eine ein bisschen übersetzte Version der Factorial-Funktion, definiert

:

f (1) & = 1 \,\text {und} \\

f (x+1) &= x f (x) \,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

für den jeder positiven reellen Zahl gleichen x. Der Lehrsatz von Bohr-Mollerup beweist dass diese Eigenschaften, zusammen in der Annahme, dass f, logarithmisch konvex zu sein (auch bekannt als: "Superkonvex"), bestimmen Sie einzigartig f für positive, echte Eingänge. Von dort kann die Gammafunktion zu allen echten und komplizierten Werten (außer den negativen ganzen Zahlen und der Null) durch das Verwenden der einzigartigen analytischen Verlängerung von f erweitert werden.

Definition

Hauptdefinition

Die Notation ist wegen Legendre. Wenn der echte Teil der komplexen Zahl z positiv ist (Re (z)> 0), dann der integrierte

:

läuft absolut zusammen. Mit der Integration durch Teile sehen wir, dass die Gammafunktion die funktionelle Gleichung befriedigt:

:

Das mit verbindend, kommen wir:

:

für alle positiven ganzen Zahlen n.

Die Identität Γ (z) = Γ (z+1) / z kann verwendet werden (oder, dasselbe Ergebnis nachgebend, analytische Verlängerung kann verwendet werden), die integrierte Formulierung für Γ (z) zu einer Meromorphic-Funktion zu erweitern, die für alle komplexen Zahlen z definiert ist, außer z = n für ganze Zahlen n  0, wo die Funktion einfache Pole mit dem Rückstand (1)/n hat.

Es ist diese verlängerte Version, die allgemein die Gammafunktion genannt wird.

Alternative Definitionen

Die folgenden unendlichen Produktdefinitionen für die Gammafunktion, wegen Euler und Weierstrass beziehungsweise, sind für alle komplexen Zahlen z gültig außer den nichtpositiven ganzen Zahlen:

:\begin {richten }\aus

\Gamma (z) &= \lim_ {n \to \infty} \frac {n! \; n^z} {z \; (z+1) \cdots (z+n) }\

\frac {1} {z} \prod_ {n

1\ist ^\\infty \frac {\\(1 +\frac {1} {n }\\Recht) ^z} {1 +\frac {z} {n} }\abgereist

\\

\Gamma (z) &= \frac {e^ {-\gamma z}} {z} \prod_ {n=1} ^\\infty \left (1 + \frac {z} {n }\\Recht) ^ {-1} e^ {z/n }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo die Euler-Mascheroni Konstante ist.

Es ist aufrichtig, um zu zeigen, dass die Definition von Euler die funktionelle Gleichung (1) oben befriedigt.

Ein etwas neugieriger parametrization der Gammafunktion wird in Bezug auf verallgemeinerte Polynome von Laguerre, gegeben

: der für Re (z) zusammenläuft

\begin {richten }\aus

\Gamma (z) = \int_0^\\infty e^ {-t^ {1 / (z-1)} }\\, dt \,

\end {richten }\aus</Mathematik>

wenn der echte Teil von z größer ist als 1.->

Die Gammafunktion im komplizierten Flugzeug

Das Verhalten für eine zunehmende positive Variable ist einfach: Es wächst schnell - schneller als eine Exponentialfunktion. Asymptotisch als wird der Umfang der Gammafunktion durch die Formel von Stirling gegeben

:

wo das Symbol ~ bedeutet, dass der Quotient von beiden Seiten zu 1 zusammenläuft.

Das Verhalten für nichtpositiven z ist komplizierter. Das Integral von Euler läuft für z  0 nicht zusammen, aber die Funktion, die es im positiven komplizierten Halbflugzeug definiert, hat eine einzigartige analytische Verlängerung zum negativen Halbflugzeug. Eine Weise zu finden, dass analytische Verlängerung ist, das Integral von Euler für positive Argumente zu verwenden und das Gebiet zu negativen Zahlen durch die wiederholte Anwendung der Wiederauftreten-Formel, zu erweitern

:

die Auswahl n solch, dass z + n positiv ist. Das Produkt im Nenner ist Null, wenn z einigen der ganzen Zahlen 0, &minus;1, &minus;2 gleichkommt.... So muss die Gammafunktion an jenen Punkten wegen der Abteilung durch die Null unbestimmt sein; es ist eine Meromorphic-Funktion mit Polen an den nichtpositiven ganzen Zahlen. Das folgende Image zeigt den Graphen der Gammafunktion entlang der echten Linie:

Die Gammafunktion ist Nichtnull überall entlang der echten Linie, obwohl es willkürlich nahe als kommt. Es gibt tatsächlich keine komplexe Zahl z, für den, und folglich die gegenseitige Gammafunktion eine komplette Funktion, mit Nullen an z = 0, &minus;1, &minus;2 ist.... Wir sehen, dass die Gammafunktion ein lokales Minimum daran hat, wo sie den Wert erreicht. Die Gammafunktion muss Zeichen zwischen den Polen abwechseln lassen, weil das Produkt im Vorwärtswiederauftreten eine ungerade Zahl von negativen Faktoren enthält, wenn die Zahl von Polen dazwischen und, und eine gerade Zahl seltsam ist, wenn die Zahl von Polen gleich ist.

Das Plotten des Gammas fungiert in den komplizierten Flugzeug-Erträgen:

Image:Complex Gamma fungiert abs.png | Absoluter Wert

Image:Complex Gamma fungiert Re.png | Echter Teil

Image:Complex Gamma fungiert Im.png | Imaginärer Teil

</Galerie>

Eigenschaften

Allgemein

Andere wichtige funktionelle Gleichungen für die Gammafunktion sind die Nachdenken-Formel von Euler

:

\Gamma (1-z) \; \Gamma (z) = {\\Pi \over \sin {(\pi z)}} \,

</Mathematik>

und die Verdoppelungsformel

:

\Gamma (z) \; \Gamma\left (z + \frac {1} {2 }\\Recht) = 2^ {1-2z} \; \sqrt {\\Pi} \; \Gamma (2z). \,

</Mathematik>

Die Verdoppelungsformel ist ein spezieller Fall des Multiplikationslehrsatzes

:

\Gamma (z) \; \Gamma\left (z + \frac {1} {M }\\Recht) \; \Gamma\left (z + \frac {2} {M }\\Recht) \cdots

\Gamma\left (z + \frac {m-1} {M }\\Recht) =

(2 \pi) ^ {(m-1)/2} \; m^ {1/2 - mz} \; \Gamma (mz) \.

</Mathematik>

Ein einfaches, aber nützliches Eigentum, das aus der Grenze-Definition gesehen werden kann, ist:

:

\overline {\\Gamma (z)} = \Gamma (\overline {z}). \, \!

</Mathematik>

Vielleicht ist der am besten bekannte Wert der Gammafunktion an einem Argument der nichtganzen Zahl

:

der durch das Setzen z = 1/2 im Nachdenken oder den Verdoppelungsformeln, durch das Verwenden der Beziehung zur Beta-Funktion gefunden werden kann, die unten mit x = y = 1/2, oder einfach durch das Bilden des Ersatzes u = t in der integrierten Definition der Gammafunktion gegeben ist, auf integrierten Gaussian hinauslaufend. Im Allgemeinen für Werte der natürlichen Zahl von n haben wir:

::

wo n den doppelten factorial und, wenn n = 0, (-1) anzeigt!! = 1. Sieh Besondere Werte der Gammafunktion für berechnete Werte.

Es könnte verführerisch sein, das Ergebnis zu verallgemeinern, das durch das Suchen nach einer Formel für andere Person schätzt, wo vernünftig ist. Jedoch, wie man bekannt, sind diese Zahlen nicht expressible durch sich in Bezug auf Elementarfunktionen. Es ist bewiesen worden, dass das eine transzendente Zahl und algebraisch unabhängig für jede ganze Zahl und jeden der Bruchteile = 1/6, 1/4, 1/3, 2/3, 3/4, und 5/6 ist. Im Allgemeinen, wenn Rechenwerte der Gammafunktion, wir uns mit numerischen Annäherungen abfinden müssen.

Eine andere nützliche Grenze für asymptotische Annäherungen ist:

:

\qquad \alpha\in\R </Mathematik>

Die Ableitungen der Gammafunktion werden in Bezug auf die Polygammafunktion beschrieben. Zum Beispiel:

:

Für die positive ganze Zahl kann M die Ableitung der Gammafunktion wie folgt berechnet werden (hier γ ist die Euler-Mascheroni Konstante):

:

Die n-te Ableitung der Gammafunktion ist:

:

</Mathematik>, der nur für Re (z)> 1 gültig ist.

: Der Logarithmus der Gammafunktion befriedigt die folgende Formel wegen Lerch:

::

\log\Gamma (x) = \zeta_ {H} '(0, x) - \zeta' (0) \,

</Mathematik>

: wo die Funktion von Hurwitz zeta ist, ist der Riemann zeta Funktion, und die Blüte (') zeigt Unterscheidung in der ersten Variable an.

• Die Gammafunktion ist vertraut mit der gestreckten Exponentialfunktion verbunden. Zum Beispiel sind die Momente dieser Funktion

::

Besondere Werte

Einige besondere Werte der Gammafunktion sind:

:

\begin {Reihe} {lll }\

\Gamma (-3/2) &= \frac {4\sqrt {\\Pi}} {3} &\\etwa 2.363 \\

\Gamma (-1/2) &=-2\sqrt {\\Pi} &\\etwa-3.545 \\

\Gamma (1/2) &= \sqrt {\\Pi} &\\etwa 1.772 \\

\Gamma (1) &= 0! &= 1 \\

\Gamma (3/2) &= \frac {\\sqrt {\\Pi}} {2} &\\etwa 0.886 \\

\Gamma (2) &= 1! &= 1 \\

\Gamma (5/2) &= \frac {3 \sqrt {\\Pi}} {4} &\\etwa 1.329 \\

\Gamma (3) &= 2! &= 2 \\

\Gamma (7/2) &= \frac {15\sqrt {\\Pi}} {8} &\\etwa 3.323 \\

\Gamma (4) &= 3! &= 6 \\

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Annäherungen

Komplizierte Werte der Gammafunktion können numerisch mit der willkürlichen Präzision mit der Annäherung von Stirling oder der Annäherung von Lanczos geschätzt werden.

Die Gammafunktion kann zur festen Präzision für Re (z)  [1, 2] durch die Verwendung der Integration durch Teile zum Integral von Euler geschätzt werden. Für jede positive Zahl x die Gammafunktion kann geschrieben werden

:

Wenn Re (z)  [1, 2] und x  1, der absolute Wert des letzten Integrals kleiner ist als (x + 1) e. Durch die Auswahl x groß genug kann dieser letzte Ausdruck kleiner gemacht werden als 2 für jeden Sollwert N. So kann die Gammafunktion zu N Bit der Präzision mit der obengenannten Reihe bewertet werden.

Der einzige schnelle Algorithmus für die Berechnung der Gammafunktion von Euler für jedes algebraische Argument (einschließlich des vernünftigen) wurde von E.A. Karatsuba, gebaut

sieh für Details "Schnelle Algorithmen und die GEBÜHR-Methode".

Für Argumente, die Vielfachen der ganzen Zahl von 1/24 sind, kann die Gammafunktion auch schnell mit Wiederholungen des arithmetischen geometrischen Mittels bewertet werden (sieh besondere Werte der Gammafunktion).

Weil das Gamma und die Factorial-Funktionen so schnell für gemäßigt große Argumente wachsen, schließen viele Rechenumgebungen eine Funktion ein, die den natürlichen Logarithmus der Gammafunktion (häufig gegeben der Name lngamma in der Programmierung von Umgebungen oder gammaln in Spreadsheets) zurückgibt; das wächst viel langsamer, und für kombinatorische Berechnungen erlaubt, Klotz hinzuzufügen und abzuziehen, anstatt sehr große Werte zu multiplizieren und zu teilen. Die Digamma-Funktion, die die Ableitung dieser Funktion ist, wird auch allgemein gesehen.

Im Zusammenhang von technischen und physischen Anwendungen, z.B mit der Welle-Fortpflanzung, die funktionelle Gleichung

:

wird häufig verwendet, da es erlaubt, Funktionswerte in einem Streifen der Breite 1 in z vom benachbarten Streifen zu bestimmen. Wenn man mit einer guten Annäherung für einen z mit dem großen echten Teil anfängt, kann man nach und nach unten zum gewünschten z gehen.

Im Anschluss an eine Anzeige von Carl Friedrich Gauss hat Rocktaeschel (1922) für lngamma eine Annäherung für großen Re (z) vorgeschlagen:

:

Das kann verwendet werden, um für z mit kleinerem Re (z) über (P.E.Böhmer, 1939) genau näher zu kommen

:

Eine genauere Annäherung kann durch das Gebrauchen von mehr Begriffen von den asymptotischen Vergrößerungen erhalten werden und, die auf der Annäherung von Stirling basieren.

Eine asymptotische Annäherung der Gammafunktion ist

:

\Gamma (z) = z^ {z - \frac {1} {2}} E^ {-z} \sqrt {2\pi }\

\left [

1 + \frac {1} {12z} + \frac {1} {288z^2} -

\frac {139} {51840 z^3} - \frac {571} {2488320 z^4} + O\left (\frac {1} {z^5 }\\Recht)

\right], \quad | \arg (z) |

Anwendungen

Eine zufällige Seite in einem fortgeschrittenen Tisch von Formeln öffnend, kann man so wahrscheinlich sein, die Gammafunktion zu entdecken, wie eine trigonometrische Funktion. Ein Autor beschreibt die Gammafunktion als "Wohl, die allgemeinste spezielle Funktion oder den 'am wenigsten speziellen' von ihnen. Die anderen transzendenten Funktionen, die unten verzeichnet sind, werden 'speziell' genannt, weil Sie denkbar einige von ihnen vermeiden konnten, indem Sie vielen mathematischen Spezialthemen ferngeblieben sind. Andererseits ist die Gammafunktion am schwierigsten zu vermeiden."

Integrationsprobleme

Die Gammafunktion findet Anwendung in solchen verschiedenen Gebieten als Quant-Physik, Astrophysik und flüssige Dynamik. Der Gammavertrieb, der in Bezug auf die Gammafunktion formuliert wird, wird in der Statistik verwendet, um eine breite Reihe von Prozessen zu modellieren; zum Beispiel, die Zeit zwischen Ereignissen von Erdbeben.

Der primäre Grund für die Gammafunktionsnützlichkeit in solchen Zusammenhängen ist das Vorherrschen von Ausdrücken des Typs, die Prozesse beschreiben, die exponential rechtzeitig oder Raum verfallen. Integrale solcher Ausdrücke können gelegentlich in Bezug auf die Gammafunktion gelöst werden, wenn keine elementare Lösung besteht. Zum Beispiel, wenn eine Potenzfunktion ist und eine geradlinige Funktion ist, gibt eine einfache Änderung von Variablen die Einschätzung

:

Die Tatsache, dass die Integration entlang der kompletten positiven echten Linie durchgeführt wird, könnte bedeuten, dass die Gammafunktion den cumulation eines zeitabhängigen Prozesses beschreibt, der unbestimmt weitergeht, oder der Wert die Summe eines Vertriebs in einem unendlichen Raum sein könnte.

Es ist natürlich oft nützlich, Grenzen der Integration außer 0 zu nehmen und den cumulation eines begrenzten Prozesses zu beschreiben, in welchem Fall die gewöhnliche Gammafunktion nicht mehr eine Lösung ist; die Lösung wird dann eine unvollständige Gammafunktion genannt. (Die gewöhnliche Gammafunktion, die durch die Integrierung über die komplette positive echte Linie erhalten ist, wird manchmal die ganze Gammafunktion nach der Unähnlichkeit genannt).

Eine wichtige Kategorie, exponential Funktionen zu verfallen, ist die von Funktionen von Gaussian und Integralen davon wie die Fehlerfunktion. Es gibt viele Wechselbeziehungen zwischen diesen Funktionen und der Gammafunktion; namentlich die Quadratwurzel von haben uns vorgeherrscht, indem wir bewertet haben, ist "dasselbe" als das, das im Normalisieren-Faktor der Fehlerfunktion und der Normalverteilung gefunden ist.

Die Integrale, die wir bis jetzt besprochen haben, schließen transzendente Funktionen ein, aber die Gammafunktion entsteht auch aus Integralen von rein algebraischen Funktionen. Insbesondere die Kreisbogen-Längen von Ellipsen und der lemniscate, die durch algebraische Gleichungen definierte Kurven sind, werden durch elliptische Integrale gegeben, die in speziellen Fällen in Bezug auf die Gammafunktion bewertet werden können. Die Gammafunktion kann auch verwendet werden, "um Volumen" und "Gebiet" - dimensionale Hyperbereiche zu berechnen.

Ein anderer wichtiger spezieller Fall ist der der Beta-Funktion

:

Das Rechnen von Produkten

Die Gammafunktionsfähigkeit dazu und verallgemeinert factorial Produkte führt sofort zu Anwendungen in vielen Gebieten der Mathematik; in combinatorics, und durch die Erweiterung in Gebieten wie Wahrscheinlichkeitstheorie und die Berechnung der Macht-Reihe. Viele Ausdrücke, die Produkte von aufeinander folgenden ganzen Zahlen einschließen, können als eine Kombination von factorials, das wichtigste Beispiel geschrieben werden, das vielleicht dieser des binomischen Koeffizienten ist

:

Das Beispiel von binomischen Koeffizienten motiviert, warum die Eigenschaften der Gammafunktion, wenn erweitert, zu negativen Zahlen natürlich sind. Ein binomischer Koeffizient gibt die Zahl von Weisen, Elemente aus einer Reihe von Elementen zu wählen; wenn es natürlich keine Wege gibt. Wenn, der factorial einer negativen ganzen Zahl und folglich unendlich ist, wenn wir die Gammafunktionsdefinition von factorials verwenden - gibt das Teilen durch die Unendlichkeit den erwarteten Wert von 0.

Wir können den factorial nach einer Gammafunktion ersetzen, jede solche Formel zu den komplexen Zahlen zu erweitern. Allgemein arbeitet das für jedes Produkt, worin jeder Faktor eine vernünftige Funktion der Index-Variable, durch das Factoring die vernünftige Funktion in geradlinige Ausdrücke ist. Wenn und monic Polynome des Grads und mit jeweiligen Wurzeln sind, und wir haben

:

Wenn wir eine Weise haben, die Gammafunktion numerisch zu berechnen, ist es eine Brise, um numerische Werte solcher Produkte zu berechnen. Die Zahl von Gammafunktionen in der Rechte hängt nur vom Grad der Polynome ab, so ist es nicht von Bedeutung, ob 5 gleich ist oder. Außerdem, wegen der Pole der Gammafunktion, hält die Gleichung auch (im Sinne der Einnahme von Grenzen), wenn das linke Produkt Nullen oder Pole enthält.

Durch die Einnahme von Grenzen können bestimmte vernünftige Produkte mit ungeheuer vielen Faktoren in Bezug auf die Gammafunktion ebenso bewertet werden. Wegen des Lehrsatzes von Weierstrass factorization können analytische Funktionen als unendliche Produkte geschrieben werden, und diese können manchmal als begrenzte Produkte oder Quotienten der Gammafunktion vertreten werden. Wir haben bereits einen gesehen Beispiel schlagen: Die Nachdenken-Formel vertritt im Wesentlichen die Sinusfunktion als das Produkt von zwei Gammafunktionen. Von dieser Formel anfangend, kann die Exponentialfunktion sowie alle trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen in Bezug auf die Gammafunktion ausgedrückt werden.

Mehr Funktionen noch, einschließlich der hypergeometrischen Funktion und speziellen Fälle davon, können mittels komplizierter Kontur-Integrale von Produkten und Quotienten der Gammafunktion, genannt Integrale von Mellin-Barnes vertreten werden.

Analytische Zahlentheorie

Eine elegante und tiefe Anwendung der Gammafunktion ist in der Studie des Riemanns zeta Funktion. Ein grundsätzliches Eigentum des Riemanns zeta Funktion ist seine funktionelle Gleichung:

:

Unter anderem stellt das eine ausführliche Form für die analytische Verlängerung der Zeta-Funktion zu einer Meromorphic-Funktion im komplizierten Flugzeug zur Verfügung und führt zu einem unmittelbaren Beweis, dass die Zeta-Funktion ungeheuer viele so genannte "triviale" Nullen auf der echten Linie hat. Borwein. nennen diese Formel "eines der schönsten Ergebnisse in der Mathematik". Ein anderer Meister für diesen Titel könnte sein

:

Beide Formeln wurden von Bernhard Riemann in seiner Samen-1859-Zeitung "Über abgeleitet sterben Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Auf der Zahl von Primzahlen weniger als eine Gegebene Menge"), einer der Meilensteine in der Entwicklung der analytischen Zahlentheorie - der Zweig der Mathematik, die Primzahlen mit den Werkzeugen der mathematischen Analyse studiert. Zahlen von Factorial, betrachtet als getrennte Gegenstände, sind ein wichtiges Konzept in der klassischen Zahlentheorie, weil sie viele Hauptfaktoren enthalten, aber Riemann hat einen Gebrauch für ihre dauernde Erweiterung gefunden, die sich wohl erwiesen hat, noch wichtiger zu sein.

Geschichte

Die Gammafunktion hat das Interesse von einigen der prominentesten Mathematiker aller Zeiten gefangen. Seine Geschichte, die namentlich von Philip J. Davis in einem Artikel dokumentiert ist, der ihn der Chauvenet 1963-Preis gewonnen hat, widerspiegelt viele der Hauptentwicklungen innerhalb der Mathematik seit dem 18. Jahrhundert. In den Wörtern von Davis, "hat jede Generation etwas von Interesse gefunden, um über die Gammafunktion zu sagen. Vielleicht wird die folgende Generation auch."

Das 18. Jahrhundert: Euler und Stirling

Das Problem, den factorial zu Argumenten der nichtganzen Zahl zu erweitern, wurde anscheinend zuerst von Daniel Bernoulli und Christian Goldbach in den 1720er Jahren betrachtet, und wurde am Ende desselben Jahrzehnts von Leonhard Euler behoben. Euler hat zwei verschiedene Definitionen gegeben: Das erste war nicht sein Integral, aber ein unendliches Produkt,

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über die er informiert hat, dass Goldbach in einem Brief am 13. Oktober 1729 miteinander gegangen ist. Er hat Goldbach wieder am 8. Januar 1730 geschrieben, um seine Entdeckung der integrierten Darstellung bekannt zu geben

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der für n> 0 gültig ist. Durch die Änderung von Variablen t = ln s wird das vertrauter integrierter Euler. Euler hat seine Ergebnisse in der Zeitung "De progressionibus transcendentibus seu quarum Endstationen generales algebraice dari nequeunt" veröffentlicht ("Auf transzendentalen Fortschritten, d. h. diejenigen, deren allgemeine Begriffe algebraisch" nicht gegeben werden können), vorgelegt der St. Petersburger Akademie am 28. November 1729. Euler hat weiter einige von den wichtigen funktionellen Eigenschaften der Funktion des Gammas einschließlich der Nachdenken-Formel entdeckt.

James Stirling, ein Zeitgenosse von Euler, hat auch versucht, einen dauernden Ausdruck für den factorial zu finden, und hat präsentiert, was jetzt als die Formel von Stirling bekannt ist. Obwohl die Formel von Stirling eine gute Schätzung auch für nichtganze Zahlen gibt, stellt sie den genauen Wert nicht zur Verfügung. Erweiterungen seiner Formel, die den Fehler korrigieren, wurden von Stirling selbst und von Jacques Philippe Marie Binet gegeben.

Das 19. Jahrhundert: Gauss, Weierstrass und Legendre

Carl Friedrich Gauss hat das Produkt von Euler als umgeschrieben

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und verwendet diese Formel, um neue Eigenschaften der Gammafunktion zu entdecken. Obwohl Euler ein Pionier in der Theorie von komplizierten Variablen war, scheint er nicht, den factorial einer komplexen Zahl gedacht zu haben, wie stattdessen Gauss zuerst getan hat. Gauss hat auch den Multiplikationslehrsatz der Gammafunktion bewiesen und hat die Verbindung zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen untersucht.

Karl Weierstrass hat weiter die Rolle der Gammafunktion in der komplizierten Analyse eingesetzt, von noch einer anderen Produktdarstellung, anfangend

:

wo γ die Euler-Mascheroni Konstante ist. Weierstrass hat ursprünglich sein Produkt als ein dafür geschrieben, in welchem Fall es die Nullen der Funktion aber nicht seine Pole übernommen wird. Begeistert durch dieses Ergebnis hat er bewiesen, was als der Lehrsatz von Weierstrass factorization bekannt ist — dass jede komplette Funktion als ein Produkt über seine Nullen im komplizierten Flugzeug geschrieben werden kann; eine Generalisation des Hauptsatzes der Algebra.

Die Namengammafunktion und das Symbol wurden von Adrien-Marie Legendre 1811 eingeführt; Legendre hat auch die integrierte Definition von Euler in seiner modernen Form umgeschrieben. Obwohl das Symbol ein griechisches Großschrift-Gamma ist, gibt es keinen akzeptierten Standard dafür, ob der Funktionsname "Gammafunktion" geschrieben werden sollte oder "Gammafunktion" (einige Autoren einfach "-Funktion" schreiben). Auf die alternative "Pi" Funktionsnotation wegen Gauss wird manchmal in der älteren Literatur gestoßen, aber die Notation von Legendre ist in modernen Arbeiten dominierend.

Es wird gerechtfertigt, um zu fragen, warum wir zwischen dem "gewöhnlichen factorial" und der Gammafunktion unterscheiden, indem wir verschiedene Symbole, und besonders verwenden, warum die Gammafunktion normalisiert werden sollte zu, anstatt einfach "" zu verwenden. Denken Sie, dass die Notation für Hochzahlen von ganzen Zahlen bis komplexe Zahlen ohne jede Änderung verallgemeinert worden ist. Die Motivation von Legendre für die Normalisierung

scheint nicht, bekannt zu sein, und ist als beschwerlich von einigen kritisiert worden (der Mathematiker des 20. Jahrhunderts Cornelius Lanczos, zum Beispiel, hat es "Leere jeder Vernunft" genannt und würde stattdessen verwenden). Die Normalisierung von Legendre vereinfacht wirklich einige Formeln, aber kompliziert am meisten andere. Aus einem modernen Gesichtspunkt ist die Normalisierung von Legendre der Gammafunktion das Integral des zusätzlichen Charakters gegen den multiplicative Charakter in Bezug auf das Maß von Haar auf der Lüge-Gruppe. So macht diese Normalisierung es klarer, dass die Gammafunktion eine dauernde Entsprechung einer Summe von Gauss ist.

19. - 20. Jahrhunderte: das Charakterisieren der Gammafunktion

Es ist etwas problematisch, der eine Vielzahl von Definitionen für die Gammafunktion gegeben worden ist. Obwohl sie dieselbe Funktion beschreiben, ist es nicht völlig aufrichtig, um die Gleichwertigkeit zu beweisen. Stirling hat nie bewiesen, dass seine verlängerte Formel genau zur Gammafunktion von Euler entspricht; ein Beweis wurde zuerst von Charles Hermite 1900 gegeben. Anstatt einen Spezialbeweis für jede Formel zu finden, würde es wünschenswert sein, eine allgemeine Methode zu haben, die Gammafunktion zu identifizieren.

Eine Weise sich zu erweisen würde sein, eine Differenzialgleichung zu finden, die die Gammafunktion charakterisiert. Die meisten speziellen Funktionen in der angewandten Mathematik entstehen als Lösungen von Differenzialgleichungen, deren Lösungen einzigartig sind. Jedoch scheint die Gammafunktion nicht, jede einfache Differenzialgleichung zu befriedigen. Otto Hölder hat 1887 bewiesen, dass die Gammafunktion mindestens keine algebraische Differenzialgleichung durch die Vertretung befriedigt, dass eine Lösung solch einer Gleichung die Gammafunktionswiederauftreten-Formel nicht befriedigen konnte. Dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz von Hölder bekannt.

Eine bestimmte und allgemein anwendbare Charakterisierung der Gammafunktion wurde bis 1922 nicht gegeben. Harald Bohr und Johannes Mollerup haben dann bewiesen, was als der Lehrsatz von Bohr-Mollerup bekannt ist: Dass die Gammafunktion die einzigartige Lösung der factorial Wiederauftreten-Beziehung ist, die positiv und für positiven z logarithmisch konvex ist, und dessen Wert an 1 1 ist (eine Funktion ist logarithmisch konvex, wenn sein Logarithmus konvex ist).

Der Lehrsatz von Bohr-Mollerup ist nützlich, weil es relativ leicht ist zu beweisen, dass die logarithmische Konvexität für einige der verschiedenen Formeln gepflegt hat, die Gammafunktion zu definieren. Das Nehmen von Dingen weiter, anstatt das Gamma zu definieren, fungiert durch jede besondere Formel, wir können die Bedingungen des Lehrsatzes von Bohr-Mollerup als die Definition wählen, und dann jede Formel aufpicken wir mögen das befriedigt die Bedingungen als ein Startpunkt, für die Gammafunktion zu studieren. Diese Annäherung wurde von der Gruppe von Bourbaki verwendet.

Referenztabellen und Software

Obwohl die Gammafunktion eigentlich so leicht berechnet werden kann wie jede mathematisch einfachere Funktion mit einem modernen Computer — sogar mit einer programmierbaren Taschenrechenmaschine — war das natürlich nicht immer der Fall. Bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts haben sich Mathematiker auf handgefertigte Tische verlassen; im Fall von der Gammafunktion, namentlich ein Tisch, der von Gauss 1813 und einem geschätztem durch Legendre 1825 geschätzt ist.

Tische von komplizierten Werten der Gammafunktion, sowie handgezogene Graphen, wurden in Tischen von Höheren Funktionen von Jahnke und Emde gegeben, der zuerst in Deutschland 1909 veröffentlicht ist. Gemäß Michael Berry, "hat die Veröffentlichung in J&E eines dreidimensionalen Graphen, den Polen der Gammafunktion im komplizierten Flugzeug zeigend, einen fast ikonischen Status erworben."

Es gab tatsächlich wenig praktisches Bedürfnis nach irgendetwas außer echten Werten der Gammafunktion bis zu den 1930er Jahren, als Anwendungen für die komplizierte Gammafunktion in der theoretischen Physik entdeckt wurden. Da elektronische Computer verfügbar für die Produktion von Tischen in den 1950er Jahren geworden sind, wurden mehrere umfassende Tische für die komplizierte Gammafunktion veröffentlicht, um die Nachfrage einschließlich eines Tisches zu befriedigen, der zu 12 dezimalen Plätzen vom amerikanischen Nationalen Büro von Standards genau ist.

Abramowitz und Stegun sind der normative Verweis dafür und viele andere spezielle Funktionen nach seiner Veröffentlichung 1964 geworden.

Schwimmpunkt-Durchführungen der doppelten Genauigkeit der Gammafunktion und seines Logarithmus sind jetzt im grössten Teil wissenschaftlichen Rechensoftware und speziellen Funktionsbibliotheken, zum Beispiel Matlab, GNU-Oktave und dem GNU Wissenschaftliche Bibliothek verfügbar. Die Gammafunktion wurde auch zur C Standardbibliothek (math.h) hinzugefügt. Durchführungen der willkürlichen Präzision sind in den meisten Computeralgebra-Systemen, wie Mathematica und Maple verfügbar. PARI/GP, MPFR und MPFUN enthalten freie Durchführungen der willkürlichen Präzision.

Siehe auch

• Das Abstammen des Volumens eines N-Balls (ein Beispiel der Gammafunktion, die in einem Problem anscheinend ohne Beziehung auftritt)
• Q-Gammafunktion
• Elliptische Gammafunktion
• Factorial
• Gammavertrieb
• Der unveränderliche von Gauss
• Summe von Gauss
• Unvollständige Gammafunktion
• Annäherung von Lanczos
• Gamma von Multivariate fungiert
• P-Adic-Gamma fungiert
• K-Symbol von Pochhammer
• Trigamma fungieren

Zeichen

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Hrsg.-Handbuch von Mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen und Mathematischen Tischen. New York: Dover, 1972. (Sieh Kapitel 6)
• G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Spezielle Funktionen, Universität von Cambridge Presse, 2001. Internationale Standardbuchnummer 978-0521789882. Kapitel ein, das Gamma und die Beta-Funktionen bedeckend, ist hoch lesbar und endgültig.
• Emil Artin, "Die Gammafunktion", in Rosen, Michael (Hrsg.). Ausstellung durch Emil Artin: eine Auswahl; Geschichte der Mathematik 30. Vorsehung, Rhode Island: Amerikanische Mathematische Gesellschaft (2006).
• P.E.Böhmer, ''Differenzengleichungen und bestimmte Integrale'', Köhler Verlag, Leipzig, 1939.
• Philip J. Davis, "das Integral von Leonhard Euler: Ein Historisches Profil der Gammafunktion," amerikanische Mathematische Monatliche 66, 849-869 (1959)
• O.R.Rocktaeschel, ''Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument``, Universität Dresdens, Dresdens, 1922.
• Nico M. Temme, "Spezielle Funktionen: Eine Einführung in die Klassischen Funktionen der Mathematischen Physik", John Wiley & Sons, New York, internationale Standardbuchnummer 0-471-11313-1,1996.

Außenverbindungen

• Pascal Sebah und Xavier Gourdon. Einführung in die Gammafunktion. In PostScript und HTML-Formaten.
• C ++ Verweisung für
• Beispiele von Problemen, die die Gammafunktion einschließen, können an Exampleproblems.com gefunden werden.
• Wolfram-Gamma fungiert Schätzer (willkürliche Präzision)
• Volumen von N-Bereichen und der Gammafunktion an MathPages
• "Elementare Beweise und Abstammungen"
• "Ausgewählte Transformationen, Identität und spezielle Werte für die Gammafunktion"