In der Mathematik zersetzt eine Reihe von Fourier periodische Funktionen oder periodische Signale in die Summe (vielleicht unendlich) Satz von einfachen schwingenden Funktionen, nämlich Sinus und Kosinus (oder Komplex exponentials). Die Studie der Reihe von Fourier ist ein Zweig der Analyse von Fourier.

Die Reihe von Fourier wird zu Ehren von Joseph Fourier (1768-1830) genannt, wer wichtige Beiträge zur Studie der trigonometrischen Reihe, nach einleitenden Untersuchungen durch Leonhard Euler, Jean le Rond D'Alembert und Daniel Bernoulli geleistet hat. Fourier hat die Reihe zum Zweck eingeführt, die Hitzegleichung in einem Metallteller zu lösen, das Veröffentlichen seiner Initiale läuft auf seinen 1807-Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides (Abhandlung auf der Fortpflanzung der Hitze in festen Körpern), und das Veröffentlichen seines Théorie analytique de la chaleur 1822 hinaus.

Die Hitzegleichung ist eine teilweise Differenzialgleichung. Vor der Arbeit von Fourier war keine Lösung der Hitzegleichung im allgemeinen Fall bekannt, obwohl besondere Lösungen bekannt waren, wenn sich die Hitzequelle auf eine einfache Weise benommen hat, insbesondere wenn die Hitzequelle ein Sinus oder Kosinus-Welle war. Diese einfachen Lösungen werden jetzt manchmal eigensolutions genannt. Die Idee von Fourier war, eine komplizierte Hitzequelle als eine Überlagerung (oder geradlinige Kombination) des einfachen Sinus und der Kosinus-Wellen zu modellieren, und die Lösung als eine Überlagerung des entsprechenden eigensolutions zu schreiben. Diese Überlagerung oder geradlinige Kombination werden die Reihe von Fourier genannt.

Aus einem modernen Gesichtspunkt sind die Ergebnisse von Fourier, wegen des Mangels an einem genauen Begriff der Funktion und integriert am Anfang des neunzehnten Jahrhunderts etwas informell. Später haben Dirichlet und Riemann die Ergebnisse von Fourier mit der größeren Präzision und Formalität ausgedrückt.

Obwohl die ursprüngliche Motivation die Hitzegleichung lösen sollte, ist es später offensichtlich geworden, dass dieselben Techniken auf eine breite Reihe von mathematischen und physischen Problemen, und besonders denjenigen angewandt werden konnten, die lineare Differenzialgleichungen mit unveränderlichen Koeffizienten einschließen, für die die eigensolutions sinusoids sind. Die Reihe von Fourier hat viele solche Anwendungen in Elektrotechnik, Vibrieren-Analyse, Akustik, Optik, Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Quant-Mechanik, econometrics, dünn ummauerter Schale-Theorie usw.

Revolutionärer Artikel

Das gibt sofort jeden Koeffizienten der trigonometrischen Reihe für für jede Funktion, die solch eine Vergrößerung hat. Es arbeitet weil, wenn solch eine Vergrößerung, dann (unter passenden Konvergenz-Annahmen) der integrierte hat

:

\begin {richten }\aus

a_k&= \int_ {-1} ^1\varphi (y) \cos (2k+1) \frac {\\Pi y\{2 }\\, dy \\

&= \int_ {-1} ^1\left (a\cos\frac {\\Pi y} {2 }\\weil (2k+1) \frac {\\Pi y} {2} +a '\cos 3\frac {\\Pi y\{2 }\\weil (2k+1) \frac {\\Pi y} {2} + \cdots\right) \, dy

\end {richten} </Mathematik> {aus}

kann Begriff-für-Begriff ausgeführt werden. Aber das ganze Begriff-Beteiligen dafür, verschwindet wenn integriert, von &minus;1 bis 1, nur den Kth-Begriff verlassend.

In diesen wenigen Linien, die dem modernen in der Reihe von Fourier verwendeten Formalismus nah sind, hat Fourier sowohl Mathematik als auch Physik revolutioniert. Obwohl ähnliche trigonometrische Reihen vorher von Euler, D'Alembert, Daniel Bernoulli und Gauss verwendet wurden, hat Fourier geglaubt, dass solche trigonometrische Reihe jede willkürliche Funktion vertreten konnte. In welchem Sinne das wirklich wahr ist, ist ein etwas feines Problem und die Versuche im Laufe vieler Jahre, um zu klären, dass diese Idee zu wichtigen Entdeckungen in den Theorien der Konvergenz, Funktionsräume und harmonischen Analyse geführt hat.

Als Fourier einen späteren Konkurrenz-Aufsatz 1811, das Komitee vorgelegt hat (der Lagrange, Laplace, Malus und Legendre, unter anderen eingeschlossen hat) geschlossen:... die Weise, auf die der Autor diese Gleichungen erreicht, ist von Schwierigkeiten nicht freigestellt, und... seine Analyse, um sie zu integrieren, verlässt noch etwas, um auf der Kerbe der Allgemeinheit und sogar Härte gewünscht zu werden.

Geburt der harmonischen Analyse

Seit der Zeit von Fourier sind viele verschiedene Annäherungen an das Definieren und Verstehen des Konzepts der Reihe von Fourier entdeckt worden, von denen alle mit einander im Einklang stehend sind, aber von denen jeder verschiedene Aspekte des Themas betont. Einige der stärkeren und eleganten Annäherungen basieren auf mathematischen Ideen und Werkzeugen, die in der Zeit nicht verfügbar waren, hat Fourier seine ursprüngliche Arbeit vollendet. Fourier hat ursprünglich die Reihe von Fourier für reellwertige Funktionen von echten Argumenten und das Verwenden des Sinus und der Kosinus-Funktionen als der Basissatz für die Zergliederung definiert.

Viele, die anderes Fourier-zusammenhängendes umgestaltet, sind seitdem definiert worden, die anfängliche Idee zu anderen Anwendungen erweiternd. Dieses allgemeine Gebiet der Untersuchung wird jetzt manchmal harmonische Analyse genannt. Eine Reihe von Fourier kann jedoch nur für periodische Funktionen, oder für Funktionen auf einem begrenzten (kompakten) Zwischenraum verwendet werden.

Definition

In dieser Abteilung, (x) ƒ zeigt eine Funktion der echten Variable x an. Diese Funktion wird gewöhnlich genommen, um, der Periode 2π periodisch zu sein, der dass ƒ (x + 2π) = (x) ƒ, für alle reellen Zahlen x sagen soll. Wir werden versuchen, solch eine Funktion wie eine unendliche Summe oder Reihe von einfacheren 2π-periodic Funktionen zu schreiben. Wir werden anfangen, indem wir eine unendliche Summe des Sinus und der Kosinus-Funktionen auf dem Zwischenraum [ π, π] verwenden werden, wie Fourier getan hat (sieh das Zitat oben), und wir werden dann verschiedene Formulierungen und Generalisationen besprechen.

Die Formel von Fourier für 2π-periodic Funktionen mit Sinus und Kosinus

Für eine periodische Funktion (x) ƒ, der integrable auf [&pi ist; &pi;], die Zahlen

:

und

:

werden die Koeffizienten von Fourier von ƒ genannt. Man führt die teilweisen Summen der Reihe von Fourier für den ƒ ein, der häufig durch angezeigt ist

:

Die teilweisen Summen für den ƒ sind trigonometrische Polynome. Man erwartet, dass die Funktionen S ƒ dem Funktions-ƒ näher kommen, und dass sich die Annäherung verbessert, weil N zur Unendlichkeit neigt. Die unendliche Summe

:

wird die Reihe von Fourier von ƒ genannt. Diese trigonometrischen Funktionen können selbst mit vielfachen Winkelformeln ausgebreitet werden.

Die Reihe von Fourier läuft nicht immer zusammen, und selbst wenn sie wirklich für einen spezifischen Wert x von x zusammenläuft, kann sich die Summe der Reihe an x vom Wert (x) ƒ der Funktion unterscheiden. Es ist eine der Hauptfragen in der harmonischen Analyse, um zu entscheiden, wenn Reihen von Fourier zusammenlaufen, und wenn die Summe der ursprünglichen Funktion gleich ist. Wenn eine Funktion Quadrat-Integrable auf dem Zwischenraum [ π, π] ist, dann läuft die Reihe von Fourier zur Funktion an fast jedem Punkt zusammen. In Technikanwendungen, wie man allgemein wagt, läuft die Reihe von Fourier überall außer an Diskontinuitäten zusammen, da die in der Technik gestoßenen Funktionen mehr gut benommen werden als diejenigen, dass Mathematiker als Gegenbeispiele dieser Annahme zur Verfügung stellen können. Insbesondere die Reihe von Fourier läuft absolut und gleichförmig zu (x) ƒ zusammen, wann auch immer die Ableitung von (x) ƒ (der überall nicht bestehen kann) quadratischer integrable ist. Sieh Konvergenz der Reihe von Fourier.

Es ist möglich, Koeffizienten von Fourier für allgemeinere Funktionen oder Vertrieb in solcher Fall-Konvergenz in der Norm zu definieren, oder schwache Konvergenz ist gewöhnlich von Interesse.

Beispiel 1: eine einfache Reihe von Fourier

Wir verwenden jetzt die Formel oben, um eine Reihenentwicklung von Fourier einer sehr einfachen Funktion zu geben. Denken Sie eine Sägezahnwelle

::

In diesem Fall werden die Koeffizienten von Fourier durch gegeben

:

a_0 & {} = \frac {1} {\\Pi }\\int_ {-\pi} ^ {\\Pi} x \, dx = 0. \\

a_n & {} = \frac {1} {\\Pi }\\int_ {-\pi} ^ {\\Pi} x \cos (nx) \, dx = 0, \quad n \ge 0. \\

b_n & {} = \frac {1} {\\Pi }\\int_ {-\pi} ^ {\\Pi} x \sin (nx) \, dx =-\frac {2} {n }\\, weil (n\pi) + \frac {2} {\\Pi n^2 }\\Sünde (n\pi) = 2 \\frac {(-1) ^ {n+1}} {n}, \quad n \ge 1.\end </Mathematik> {ausrichten}

Es kann bewiesen werden, dass die Reihe von Fourier zu (x) ƒ an jedem Punkt x zusammenläuft, wo ƒ differentiable, und deshalb ist:

{n} \sin (nx), \quad \mathrm {für} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbb {Z}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

|} }\

Wenn x = π, die Reihe von Fourier zu 0 zusammenläuft, der die Halbsumme des nach links und richtige Grenze von ƒ an x = π ist. Das ist ein besonderes Beispiel des Lehrsatzes von Dirichlet für die Reihe von Fourier.

Beispiel 2: Die Motivation von Fourier

Man bemerkt, dass die Reihenentwicklung von Fourier unserer Funktion im Beispiel 1 Blicke, die viel weniger einfach sind als die Formel (x) ƒ = x, und so ist es nicht sofort offenbar, warum man diese Reihe von Fourier brauchen würde. Während es viele Anwendungen gibt, zitieren wir die Motivation von Fourier, die Hitzegleichung zu lösen. Denken Sie zum Beispiel einen Metallteller in Form eines Quadrats, dessen Seite π Meter, mit Koordinaten (x, y)  [0, π] × [0, π] misst. Wenn es keine Hitzequelle innerhalb des Tellers gibt, und wenn drei der vier Seiten an 0 Grad Celsius gehalten werden, während die vierte Seite, die durch y = π gegeben ist, am Temperaturanstieg T (x, π) = x Grad Celsius, für x darin unterstützt wird (0, π), dann kann man zeigen, dass der stationäre Hitzevertrieb (oder der Hitzevertrieb nachdem hat ein langer Zeitraum der Zeit vergangen), durch gegeben wird

:

Hier ist sinh die Funktion des Sinus hyperbolicus. Diese Lösung der Hitzegleichung wird durch das Multiplizieren jedes Begriffes durch sinh (ny)/sinh (nπ) erhalten. Während unsere Beispiel-Funktion f (x) scheint, eine unnötig komplizierte Reihe von Fourier zu haben, ist der Hitzevertrieb T (x, y) nichttrivial. Die Funktion T kann als ein Ausdruck der geschlossenen Form nicht geschrieben werden. Diese Methode, das Hitzeproblem zu beheben, wurde möglich durch die Arbeit von Fourier gemacht.

Andere Anwendungen

Eine andere Anwendung dieser Reihe von Fourier soll das Baseler Problem durch das Verwenden des Lehrsatzes von Parseval beheben. Das Beispiel verallgemeinert, und man kann ζ (2n), für jede positive ganze Zahl n schätzen.

Exponentialreihe von Fourier

Wir können die Formel von Euler, verwenden

:

wo ich die imaginäre Einheit bin, um eine kürzere Formel zu geben:

:

Das Annehmen f (x) ist eine periodische Funktion mit T = 2π, durch die Koeffizienten von Fourier wird dann gegeben:

:

Die Koeffizienten von Fourier a, b, c sind über verbunden

::und:

\frac {1} {2} (a_n - ich b_n) & n> 0 \\

\quad \frac {1} {2} a_0 & n = 0 \\

\frac {1} {2} (a_ {-n} + ich b_ {-n}) & n

Die Notation c ist unzulänglich, für die Koeffizienten von Fourier von mehreren verschiedenen Funktionen zu besprechen. Deshalb wird es gewöhnlich durch eine modifizierte Form von ƒ (in diesem Fall), solcher als oder F ersetzt, und funktionelle Notation ersetzt häufig subscripting:

:\begin {richten }\aus

f (x) &= \sum_ {n =-\infty} ^\\infty \hat {f} (n) \cdot E^ {inx} \\

&= \sum_ {n =-\infty} ^\\infty F [n] \cdot E^ {jnx} \quad \text {(Elektrotechnik). }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

In der Technik, besonders wenn die Variable x Zeit vertritt, wird die mitwirkende Folge eine Frequenzbereichsdarstellung genannt. Eckige Klammern werden häufig verwendet, um zu betonen, dass das Gebiet dieser Funktion ein getrennter Satz von Frequenzen ist.

Reihe von Fourier auf einem allgemeinen Zwischenraum [a, + τ]

Die folgende Formel, mit passenden Komplex-geschätzten Koeffizienten G [n], ist eine periodische Funktion mit der Periode τ auf allen R:

:

Wenn eine Funktion Quadrat-Integrable im Zwischenraum [a, + τ] ist, kann es in diesem Zwischenraum durch die Formel oben vertreten werden. D. h. wenn die Koeffizienten aus einer Funktion, h (x), wie folgt abgeleitet werden:

:

dann g (x) wird h (x) im Zwischenraum [a, ein +τ] gleichkommen. Hieraus folgt dass, wenn h (x) τ-periodic, dann ist:

• g (x) und h (x) sind überall gleich, außer vielleicht an Diskontinuitäten und
• einer willkürlichen Wahl zu sein. Zwei populäre Wahlen sind = 0, und =  τ/2.

Eine andere allgemein verwendete Frequenzbereichsdarstellung verwendet die Reihe-Koeffizienten von Fourier, um einen Kamm von Dirac abzustimmen:

:

G (f) \\stackrel {\\mathrm {def}} {=} \\sum_ {n =-\infty} ^\\infty G [n] \cdot \delta \left (f-\frac {n} {\\tau }\\Recht),

</Mathematik>

wo variabler ƒ ein dauerndes Frequenzgebiet vertritt. Wenn Variable x Einheiten von Sekunden hat, hat ƒ Einheiten des Hertz. Die "Zähne" des Kamms sind an Vielfachen (d. h. Obertöne) 1/τ unter Drogeneinfluss, der die grundsätzliche Frequenz genannt wird. g (x) kann von dieser Darstellung durch ein Gegenteil wieder erlangt werden, das Fourier umgestaltet:

:\begin {richten }\aus

\mathcal {F} ^ {-1 }\\{G (f) \}

&=

\int_ {-\infty} ^\\infty \left (\sum_ {n =-\infty} ^\\infty G [n] \cdot \delta \left (f-\frac {n} {\\tau }\\Recht) \right) e^ {ich 2 \pi f x }\\, df, \\

&= \sum_ {n =-\infty} ^\\infty G [n] \cdot \int_ {-\infty} ^\\infty \delta\left (f-\frac {n} {\\tau }\\Recht) e^ {ich 2 \pi f x }\\, df, \\

&= \sum_ {n =-\infty} ^\\infty G [n] \cdot e^ {i2\pi \frac {n} {\\tau} x\\\\stackrel {\\mathrm {def}} {=} \g (x).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Funktion G (ƒ) wird deshalb allgemein einen Fourier genannt verwandeln sich, wenn auch der einer periodischen Funktion integrierte Fourier an den harmonischen Frequenzen nicht konvergent ist.

Reihe von Fourier auf einem Quadrat

Wir können auch die Reihe von Fourier für Funktionen von zwei Variablen x und y im Quadrat [ π, π] × [ π, π] definieren:

::

Beiseite davon, nützlich zu sein, um teilweise Differenzialgleichungen wie die Hitzegleichung zu lösen, ist eine bemerkenswerte Anwendung der Reihe von Fourier auf dem Quadrat in der Bildkompression. Insbesondere der jpeg Bildkompressionsstandardgebrauch, den der zweidimensionale getrennte Kosinus umgestaltet, der ein Fourier ist, gestaltet das Verwenden der Kosinus-Basisfunktionen um.

Rauminterpretation von Hilbert

Auf der Sprache von Räumen von Hilbert ist der Satz von Funktionen eine orthonormale Basis für den Raum von Quadrat-Integrable-Funktionen dessen. Dieser Raum ist wirklich ein Raum von Hilbert mit einem Skalarprodukt, das für irgendwelche zwei Elemente f und g gegeben ist durch:

:

\langle f, \, g \rangle

\; \stackrel {\\mathrm {def}} {=} \;

\frac {1} {2\pi }\\int_ {-\pi} ^ {\\Pi} f (x) \overline {g (x) }\\, dx.

</Mathematik>

Das grundlegende Reihe-Ergebnis von Fourier für Räume von Hilbert kann als geschrieben werden

:

Das entspricht genau zur komplizierten Exponentialformulierung, die oben gegeben ist. Die Version mit Sinus und Kosinus wird auch mit der Rauminterpretation von Hilbert gerechtfertigt. Tatsächlich bilden die Sinus und Kosinus einen orthogonalen Satz:

::

(wo das Delta von Kronecker ist), und

:

außerdem sind die Sinus und Kosinus zur unveränderlichen Funktion 1 orthogonal. Eine orthonormale Basis für L ([&minus;&pi; &pi;]), aus echten Funktionen bestehend, wird durch die Funktionen 1, und 2 weil (n x) ,&thinsp gebildet; 2 Sünde (n x) für n = 1, 2... Die Dichte ihrer Spanne ist eine Folge des Stein-Weierstrass Lehrsatzes, aber folgt auch von den Eigenschaften von klassischen Kernen wie der Kern von Fejér.

Eigenschaften

Wir sagen, dass ƒ to&thinsp gehört;   wenn ƒ 2π-periodic Funktion auf R ist, der k Zeiten differentiable ist, und seine kth Ableitung dauernd ist.

• Wenn ƒ 2π-periodic sonderbare Funktion, dann &thinsp ist; für den ganzen n.
• Wenn ƒ 2π-periodic ist, sogar, fungieren dann   für den ganzen n.
• Wenn ƒ integrable ist, und Dieses Ergebnis als das Lemma von Riemann-Lebesgue bekannt ist.
• Eine doppelt unendliche Folge darin ist die Folge von Koeffizienten von Fourier einer Funktion darin, wenn, und nur wenn es eine Gehirnwindung von zwei Folgen darin ist. Sieh

http://mathoverflow.net/questions/46626/characterizations-of-a-linear-subspace-associated-with-fourier-series

• Wenn, dann können die Koeffizienten von Fourier der Ableitung in Bezug auf die Koeffizienten von Fourier der Funktion über die Formel ausgedrückt werden.
• Wenn, dann. Insbesondere seitdem neigt zur Null, wir haben, der zur Null neigt, was bedeutet, dass die Koeffizienten von Fourier zur Null schneller zusammenlaufen als die kth Macht von n.
• Der Lehrsatz von Parseval. Wenn, dann.
• Der Lehrsatz von Plancherel. Wenn Koeffizienten sind und

• Der erste Gehirnwindungslehrsatz stellt dass fest, wenn ƒ und g in L ([ π, π]) sind, dann, wo ƒ  g 2π-periodic Gehirnwindung von ƒ und g anzeigt. (Der Faktor ist für 1-periodische Funktionen nicht notwendig.)
• Der zweite Gehirnwindungslehrsatz setzt das fest.
• Die Summierungsformel von Poisson stellt fest, dass die periodische Summierung einer Funktion, eine Reihe-Darstellung von Fourier hat, deren Koeffizienten zu getrennten Proben des dauernden Fouriers proportional sind, verwandeln sich von:

:.:

:Similarly, die periodische Summierung dessen hat eine Reihe-Darstellung von Fourier, deren Koeffizienten zu getrennten Proben, eine Tatsache proportional sind, die ein bildliches Verstehen von aliasing und dem berühmten Abtasttheorem zur Verfügung stellt.

• Siehe auch

Fourier_analysis#Variants_of_Fourier_analysis.

Kompaktgruppen

Einer der interessanten Eigenschaften des Fouriers verwandelt sich, den wir erwähnt haben, ist, dass er Gehirnwindungen zu pointwise Produkten trägt. Wenn das das Eigentum ist, das wir uns bemühen zu bewahren, kann man Reihe von Fourier auf jeder Kompaktgruppe erzeugen. Typische Beispiele schließen jene klassischen Gruppen ein, die kompakt sind. Das verallgemeinert der Fourier verwandeln sich zu allen Räumen der Form L (G), wo G eine Kompaktgruppe auf solche Art und Weise ist, dass sich der Fourier verwandelt, trägt Gehirnwindungen zu pointwise Produkten. Die Reihe von Fourier besteht und läuft auf ähnliche Weisen zu [ π, π] Fall zusammen.

Eine alternative Erweiterung auf Kompaktgruppen ist der Lehrsatz von Peter-Weyl, der Ergebnisse über Darstellungen von Kompaktgruppen beweist, die denjenigen über begrenzte Gruppen analog sind.

Sammelleitungen von Riemannian

Wenn das Gebiet nicht eine Gruppe ist, dann gibt es keine wirklich definierte Gehirnwindung. Jedoch, wenn X eine Kompaktsammelleitung von Riemannian ist, hat sie einen Laplace-Beltrami Maschinenbediener. Der Laplace-Beltrami Maschinenbediener ist der Differenzialoperator, der Maschinenbediener von Laplace für die Sammelleitung von Riemannian X entspricht. Dann, analog, kann man Hitzegleichungen auf X denken. Seitdem Fourier seine Basis erreicht hat, indem er versucht hat, die Hitzegleichung zu lösen, soll die natürliche Generalisation den eigensolutions des Laplace-Beltrami Maschinenbedieners als eine Basis verwenden. Das verallgemeinert Reihe von Fourier zu Räumen des Typs L (X), wo X eine Sammelleitung von Riemannian ist. Die Reihe von Fourier läuft auf Weisen zusammen, die [ π, π] Fall ähnlich sind. Ein typisches Beispiel soll X nehmen, um der Bereich mit dem üblichen metrischen zu sein, in welchem Fall die Basis von Fourier aus kugelförmigen Obertönen besteht.

Lokal kompakte Gruppen von Abelian

Die Generalisation zu Kompaktgruppen, die oben besprochen sind, verallgemeinert zum nichtkompakten, nonabelian Gruppen nicht. Jedoch gibt es eine straightfoward Generalisation zu Gruppen von Locally Compact Abelian (LCA).

Das verallgemeinert der Fourier verwandeln sich zu L (G) oder L (G), wo G eine LCA Gruppe ist. Wenn G kompakt ist, erhält man auch eine Reihe von Fourier, die ähnlich zu [ π, π] Fall zusammenläuft, aber wenn G nichtkompakt ist, erhält man stattdessen einen integrierten Fourier. Diese Generalisation trägt der übliche Fourier verwandeln sich, wenn das Unterliegen lokal kompakter Gruppe von Abelian ist.

Annäherung und Konvergenz der Reihe von Fourier

Eine wichtige Frage für die Theorie sowie Anwendungen ist die der Konvergenz. Insbesondere es ist häufig in Anwendungen notwendig, die unendliche Reihe &thinsp zu ersetzen; durch einen begrenzten,

:

Das wird eine teilweise Summe genannt. Wir würden gern wissen, in dem Sinn tut (S, ƒ) (x) laufen zu (x) ƒ zusammen, weil N zur Unendlichkeit neigt.

Kleinstes Quadrateigentum

Wir sagen, dass p ein trigonometrisches Polynom des Grads N ist, wenn es von der Form ist

:

Bemerken Sie, dass S ƒ ein trigonometrisches Polynom des Grad-Lehrsatzes von N. Parseval ist, bezieht das ein

Lehrsatz. Das trigonometrische Polynom S ƒ ist das einzigartige beste trigonometrische Polynom des Grads N näher kommende (x) ƒ, im Sinn dass, für jedes trigonometrische Polynom des Grads N, wir have 

Hier ist die Raumnorm von Hilbert

: