Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Zweig der Mathematik, die mit der Wahrscheinlichkeit, der Analyse von zufälligen Phänomenen betroffen ist. Die Hauptgegenstände der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Variablen, stochastische Prozesse und Ereignisse: Mathematische Abstraktionen von nichtdeterministischen Ereignissen oder gemessenen Mengen, die entweder einzelne Ereignisse sein oder sich mit der Zeit auf eine anscheinend zufällige Mode entwickeln können. Wenn, wie man betrachtet, ein individuelles Münzwerfen oder die Rolle von Würfeln ein zufälliges Ereignis sind, dann wenn wiederholt, oft wird die Folge von zufälligen Ereignissen bestimmte Muster ausstellen, die studiert und vorausgesagt werden können. Zwei vertretende mathematische Ergebnisse, die solche Muster beschreiben, sind das Gesetz der großen Anzahl und des Hauptgrenzwertsatzes.

Als ein mathematisches Fundament für die Statistik ist Wahrscheinlichkeitstheorie für viele menschliche Tätigkeiten notwendig, die mit quantitativer Analyse von großen Sätzen von Daten verbunden sind. Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie gelten auch für Beschreibungen von komplizierten Systemen gegeben nur teilweise Kenntnisse ihres Staates, als in der statistischen Mechanik. Eine große Entdeckung der Physik des zwanzigsten Jahrhunderts war die probabilistic Natur von physischen Phänomenen an Atomskalen, die in der Quant-Mechanik beschrieben sind.

Geschichte

Die mathematische Wahrscheinlichkeitsrechnung hat seine Wurzeln in Versuchen, Glücksspiele durch Gerolamo Cardano im sechzehnten Jahrhundert, und durch Pierre de Fermat und Blaise Pascal im siebzehnten Jahrhundert (zum Beispiel das "Problem von Punkten") zu analysieren. Christiaan Huygens hat ein Buch auf dem Thema 1657 veröffentlicht.

Am Anfang hat Wahrscheinlichkeitstheorie hauptsächlich getrennte Ereignisse gedacht, und seine Methoden waren hauptsächlich kombinatorisch. Schließlich haben analytische Rücksichten die Integration von dauernden Variablen in die Theorie gezwungen.

Das hat in der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie auf von Andrey Nikolaevich Kolmogorov gelegten Fundamenten kulminiert. Kolmogorov hat den Begriff des Beispielraums verbunden, der von Richard von Mises und Maß-Theorie eingeführt ist, und hat sein Axiom-System für die Wahrscheinlichkeitstheorie 1933 präsentiert. Ziemlich schnell ist das die größtenteils unbestrittene axiomatische Basis für die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie geworden, aber Alternativen, bestehen insbesondere die Adoption der begrenzten aber nicht zählbaren Additivität durch Bruno de Finetti.

Behandlung

Die meisten Einführungen in die Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln getrennten Wahrscheinlichkeitsvertrieb und dauernden Wahrscheinlichkeitsvertrieb getrennt. Die mathematischer fortgeschrittene Maß-Theorie hat Behandlung von Wahrscheinlichkeitsdeckel sowohl das getrennte, das dauernde, jede Mischung dieser zwei als auch mehr gestützt.

Motivation

Denken Sie ein Experiment, das mehrere Ergebnisse erzeugen kann. Die Sammlung aller Ergebnisse wird den Beispielraum des Experimentes genannt. Der Macht-Satz des Beispielraums wird durch das Betrachten aller verschiedenen Sammlungen von möglichen Ergebnissen gebildet. Zum Beispiel erzeugt das Rollen eines Sterbens eines von sechs möglichen Ergebnissen. Eine Sammlung von möglichen Ergebnissen entspricht dem Bekommen einer ungeraden Zahl. So ist die Teilmenge {1,3,5} ein Element des Macht-Satzes des Beispielraums dessen sterben Rollen. Diese Sammlungen werden Ereignisse genannt. In diesem Fall, {1,3,5} ist das Ereignis dass die sterben Fälle auf einer ungeraden Zahl. Wenn, wie man sagt, die Ergebnisse, die wirklich Fall in einem gegebenen Ereignis, dieses Ereignis vorkommen, vorgekommen sind.

Wahrscheinlichkeit ist eine Weise, jedes "Ereignis" ein Wert zwischen der Null und ein, mit der Voraussetzung zuzuteilen, dass sich das Ereignis von allen möglichen Ergebnissen (in unserem Beispiel, das Ereignis {1,2,3,4,5,6}) zurechtgemacht hat, ein Wert von einem zugeteilt werden. Um sich als ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb zu qualifizieren, muss die Anweisung von Werten die Voraussetzung befriedigen, dass, wenn Sie auf eine Sammlung von gegenseitig exklusiven Ereignissen schauen (Ereignisse, die keine allgemeinen Ergebnisse z.B enthalten, sind die Ereignisse {1,6}, {3}, und {2,4} alle gegenseitig exklusiv), die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein der Ereignisse vorkommen werden, durch die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller individuellen Ereignisse gegeben wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendwelche der Ereignisse {1,6}, {3}, oder {2,4} vorkommen werden, ist 5/6. Das ist dasselbe, sagend dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {1,2,3,4,6} 5/6 ist. Dieses Ereignis umfasst die Möglichkeit jeder Zahl außer fünf gerollt werden. Das gegenseitig exklusive Ereignis {5} hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, und das Ereignis {1,2,3,4,5,6} hat eine Wahrscheinlichkeit 1 - absolute Gewissheit.

Getrennter Wahrscheinlichkeitsvertrieb

Getrennte Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit Ereignissen, die in zählbaren Beispielräumen vorkommen.

Beispiele: Das Werfen von Würfeln, Experimenten mit Decks von Karten und zufälligem Spaziergang.

Klassische Definition:

Am Anfang wurde die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, um vorzukommen, als Zahl von Fällen definiert, die für das Ereignis über die Zahl von in einem gleich wahrscheinlichen Beispielraum möglichen Gesamtergebnissen günstig sind: Sieh Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.

Zum Beispiel, wenn das Ereignis "Ereignis einer geraden Zahl ist, wenn ein Sterben gerollt wird" wird durch die Wahrscheinlichkeit gegeben, da 3 Gesichter aus den 6 gerade Zahlen haben und jedes Gesicht dieselbe Wahrscheinlichkeit des Erscheinens hat.

Moderne Definition:

Die modernen Definitionsanfänge mit einem begrenzten oder zählbaren Satz haben den Beispielraum genannt, der sich auf den Satz aller möglichen Ergebnisse im klassischen Sinn bezieht, der dadurch angezeigt ist. Es wird dann angenommen, dass für jedes Element ein innerer "Wahrscheinlichkeits"-Wert beigefügt wird, der die folgenden Eigenschaften befriedigt:

D. h. die Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) liegt zwischen der Null und ein für jeden Wert von x im Beispielraum Ω, und die Summe von f (x) über alle Werte x im Beispielraum Ω ist 1 gleich. Ein Ereignis wird als jede Teilmenge des Beispielraums definiert. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses wird als definiert

:

Also, die Wahrscheinlichkeit des kompletten Beispielraums ist 1, und die Wahrscheinlichkeit des ungültigen Ereignisses ist 0.

Die Funktion, die einen Punkt im Beispielraum zum "Wahrscheinlichkeits"-Wert kartografisch darstellt, wird eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion abgekürzt als pmf genannt. Die moderne Definition versucht nicht zu antworten, wie Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen erhalten werden; stattdessen baut es eine Theorie, die ihre Existenz annimmt.

Dauernder Wahrscheinlichkeitsvertrieb

Dauernde Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit Ereignissen, die in einem dauernden Beispielraum vorkommen.

Klassische Definition:

Die klassische Definition, bricht wenn gegenübergestellt, dem dauernden Fall zusammen. Sieh das Paradox von Bertrand.

Moderne Definition:

Wenn der Ergebnis-Raum einer zufälligen Variable X der Satz von reellen Zahlen oder eine Teilmenge davon ist, dann hat eine Funktion die kumulative Vertriebsfunktion genannt (oder cdf), besteht definiert dadurch. D. h. F (x) Umsatz die Wahrscheinlichkeit, dass X weniger sein wird als oder gleich x.

Der cdf befriedigt notwendigerweise die folgenden Eigenschaften.

1. ist ein Monotonically-Nichtverringern, richtig-dauernde Funktion;

Wenn absolut dauernd ist, d. h. seine Ableitung besteht, und Integrierung der Ableitung gibt uns den cdf zurück wieder, dann, wie man sagt, hat die zufällige Variable X eine Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion oder pdf oder einfach Dichte

Für einen Satz ist die Wahrscheinlichkeit der zufälligen Variable X, darin seiend

,:

Im Falle dass die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion besteht, kann das als geschrieben werden

:

Wohingegen der pdf nur für dauernde zufällige Variablen besteht, besteht der cdf für alle zufälligen Variablen (einschließlich getrennter zufälliger Variablen), die Werte in nehmen

Diese Konzepte können für mehrdimensionale Fälle auf und andere dauernde Beispielräume verallgemeinert werden.

Mit dem Maß theoretische Wahrscheinlichkeitstheorie

Der raison d'être der mit dem Maß theoretischen Behandlung der Wahrscheinlichkeit ist, dass es das getrennte und die dauernden Fälle vereinigt, und den Unterschied macht, dessen Frage Maß verwendet wird. Außerdem bedeckt es Vertrieb, der weder getrennt noch dauernd ist noch Mischungen der zwei.

Ein Beispiel solchen Vertriebs konnte eine Mischung des getrennten und dauernden Vertriebs — zum Beispiel, eine zufällige Variable sein, die 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 ist, und nimmt einen zufälligen Wert von einer Normalverteilung mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Es kann noch einigermaßen studiert werden, indem es es gedacht wird, einen pdf dessen zu haben, wo die Delta-Funktion von Dirac ist.

Anderer Vertrieb kann keine Mischung zum Beispiel sogar sein, der Kantor-Vertrieb hat keine positive Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Punkt, weder es hat eine Dichte. Die moderne Annäherung an die Wahrscheinlichkeitstheorie behebt diese Probleme mit der Maß-Theorie, den Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren:

In Anbetracht jedes Satzes, (auch genannt Beispielraum) und ein σ-algebra darauf, wird ein Maß, das darauf definiert ist, ein Wahrscheinlichkeitsmaß wenn genannt

Wenn der Borel σ-algebra auf dem Satz von reellen Zahlen ist, dann gibt es ein einzigartiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf für jeden cdf, und umgekehrt. Wie man sagt, wird das Maß entsprechend einem cdf durch den cdf veranlasst. Dieses Maß fällt mit dem pmf für getrennte Variablen und pdf für dauernde Variablen zusammen, die mit dem Maß theoretische Annäherung frei von Scheinbeweisen machend.

Die Wahrscheinlichkeit eines Satzes im σ-algebra wird als definiert

:

wo die Integration in Bezug auf das durch veranlasste Maß ist

Zusammen mit der Versorgung des besseren Verstehens und der Vereinigung von getrennten und dauernden Wahrscheinlichkeiten erlaubt mit dem Maß theoretische Behandlung uns auch, an Wahrscheinlichkeiten draußen, als in der Theorie von stochastischen Prozessen zu arbeiten. Zum Beispiel, um Brownsche Bewegung zu studieren, wird Wahrscheinlichkeit auf einem Raum von Funktionen definiert.

Wahrscheinlichkeitsvertrieb

Bestimmte zufällige Variablen kommen sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie vor, weil sie gut viele natürliche oder physische Prozesse beschreiben. Ihr Vertrieb hat deshalb spezielle Wichtigkeit in der Wahrscheinlichkeitstheorie gewonnen. Etwas grundsätzlicher getrennter Vertrieb ist die getrennte Uniform, Bernoulli, das Binom, das negative Binom, Poisson und der geometrische Vertrieb. Wichtiger dauernder Vertrieb schließt das dauernde gleichförmige, das normale, den Exponential-, das Gamma und den Beta-Vertrieb ein.

Konvergenz von zufälligen Variablen

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es mehrere Begriffe der Konvergenz für zufällige Variablen. Sie werden unten in der Ordnung der Kraft verzeichnet, d. h. jeder nachfolgende Begriff der Konvergenz in der Liste bezieht Konvergenz gemäß allen vorhergehenden Begriffen ein.

:Weak-Konvergenz: Eine Folge von zufälligen Variablen läuft schwach zur zufälligen Variable zusammen, wenn ihre jeweiligen kumulativen Vertriebsfunktionen zur kumulativen Vertriebsfunktion dessen zusammenlaufen, wo auch immer dauernd ist. Schwache Konvergenz wird auch Konvergenz im Vertrieb genannt.

:: Allgemeinste Kurzschrift-Notation:

:Convergence in der Wahrscheinlichkeit: Wie man sagt, läuft die Folge von zufälligen Variablen zur zufälligen Variable in der Wahrscheinlichkeit wenn für jeden &epsilon zusammen;> 0.

:: Allgemeinste Kurzschrift-Notation:

:Strong-Konvergenz: Wie man sagt, läuft die Folge von zufälligen Variablen zur zufälligen Variable stark wenn zusammen. Starke Konvergenz ist auch bekannt als fast sichere Konvergenz.

:: Allgemeinste Kurzschrift-Notation:

Wie die Namen anzeigen, ist schwache Konvergenz schwächer als starke Konvergenz. Tatsächlich bezieht starke Konvergenz Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit ein, und die Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit bezieht schwache Konvergenz ein. Die Rückbehauptungen sind nicht immer wahr.

Gesetz der großen Anzahl

Allgemeine Intuition weist darauf hin, dass, wenn eine schöne Münze oft geworfen wird, dann grob Hälfte der Zeit wird es Köpfe und die andere Hälfte davon nach oben drehen, Schwänze nach oben drehen wird. Außerdem, je öfter die Münze geworfen wird, desto wahrscheinlicher es sein sollte, dass sich das Verhältnis der Zahl von Köpfen zur Zahl von Schwänzen Einheit nähern wird. Moderne Wahrscheinlichkeit stellt eine formelle Version dieser intuitiven Idee zur Verfügung, die als das Gesetz der großen Anzahl bekannt ist. Dieses Gesetz ist bemerkenswert, weil es in den Fundamenten der Wahrscheinlichkeitstheorie nirgends angenommen wird, aber stattdessen aus diesen Fundamenten als ein Lehrsatz erscheint. Da es theoretisch abgeleitete Wahrscheinlichkeiten mit ihrer wirklichen Frequenz des Ereignisses in der echten Welt verbindet, wird das Gesetz der großen Anzahl als eine Säule in der Geschichte der statistischen Theorie betrachtet.

Das Gesetz der großen Anzahl (LLN) stellt dass der Beispieldurchschnitt fest

:

einer Folge von unabhängigen und

identisch verteilte zufällige Variablen laufen zu ihrer allgemeinen Erwartung zusammen, vorausgesetzt, dass die Erwartung dessen begrenzt ist.

Es ist in den verschiedenen Formen der Konvergenz von zufälligen Variablen, die das schwache und das starke Gesetz der großen Anzahl trennt

:

\begin {Reihe} {lll }\

\text {Schwacher law:} & \overline {X} _n \, \xrightarrow {P} \, \mu & \text {für} n \to \infty \\

\text {Starker law:} & \overline {X} _n \, \xrightarrow {\\mathrm {a. \, s.}} \, \mu & \text {für} n \to \infty.

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Es folgt aus dem LLN, dass, wenn ein Ereignis der Wahrscheinlichkeit p wiederholt während unabhängiger Experimente beobachtet wird, das Verhältnis der beobachteten Frequenz dieses Ereignisses zur Gesamtzahl von Wiederholungen zu p zusammenläuft.

Zum Beispiel, wenn unabhängiger Bernoulli zufällige Variablen sind, die Werte 1 mit der Wahrscheinlichkeit p und 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1-p nehmen, dann für alles ich, so dass zu p fast sicher zusammenläuft.

Hauptgrenzwertsatz

"Der Hauptgrenzwertsatz (CLT) ist eines der großen Ergebnisse der Mathematik." (Kapitel 18 in)

Es erklärt das allgegenwärtige Ereignis der Normalverteilung in der Natur.

Der Lehrsatz stellt fest, dass der Durchschnitt von vielem Unabhängigem und identisch zufällige Variablen mit der begrenzten Abweichung verteilt hat, neigt zu einer Normalverteilung ohne Rücksicht auf den von den ursprünglichen zufälligen Variablen gefolgten Vertrieb. Lassen Sie formell, unabhängige zufällige Variablen mit dem bösartigen und der Abweichung Dann die Folge von zufälligen Variablen zu sein

:

läuft im Vertrieb zu einer zufälligen normalen Standardvariable zusammen.

Siehe auch

• Erwarteter Wert und Abweichung
• Fuzzy-Logik und Krause Maß-Theorie
• Wörterverzeichnis der Wahrscheinlichkeit und Statistik
• Wahrscheinlichkeitsfunktion
• Liste von Wahrscheinlichkeitsthemen
• Katalog von Artikeln in der Wahrscheinlichkeitstheorie
• Liste von Veröffentlichungen in der Statistik
• Liste von statistischen Themen
• Beweise von Probabilistic von non-probabilistic Lehrsätzen
• Notation in der Wahrscheinlichkeit
• Das prophetische Modellieren
• Logik von Probabilistic - Eine Kombination der Wahrscheinlichkeitstheorie und Logik
• Wahrscheinlichkeitsaxiome
• Wahrscheinlichkeitsinterpretationen
• Statistische Unabhängigkeit
• Subjektive Logik

Referenzen

Links

• Zeichentrickfilm auf dem Wahrscheinlichkeitsraum von Würfeln.

:: Die erste Hauptabhandlungsmischen-Rechnung mit der Wahrscheinlichkeitstheorie, ursprünglich in Französisch: Théorie Analytique des Probabilités.

:: Das moderne mit dem Maß theoretische Fundament der Wahrscheinlichkeitstheorie; die ursprüngliche deutsche Version (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung) ist 1933 erschienen.

• Olav Kallenberg; Fundamente der Modernen Wahrscheinlichkeit, 2. Hrsg. Springer Series in der Statistik. (2002). 650 Internationale Seiten-Standardbuchnummer 0-387-95313-2

:: Eine lebhafte Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie für den Anfänger.

• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries und Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 Internationale Seiten-Standardbuchnummer 0-387-25115-4