In der Algebra, der Identität von Brahmagupta, hat auch die Identität von Fibonacci genannt, deutet an, dass das Produkt von zwei Summen jedes von zwei Quadraten selbst eine Summe von zwei Quadraten ist. Mit anderen Worten wird der Satz aller Summen von zwei Quadraten unter der Multiplikation geschlossen. Spezifisch:

:

\left (a^2 + b^2\right) \left (c^2 + d^2\right) & {} = \left (ac-bd\right) ^2 + \left (ad+bc\right) ^2 \\qquad\qquad (1) \\

& {} = \left (ac+bd\right) ^2 + \left (Anzeige-bc\right) ^2.\qquad\qquad (2)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Zum Beispiel,

:

Die Identität ist ein spezieller Fall (n = 1) von der Identität von Lagrange, und wird zuerst in Diophantus gefunden. Brahmagupta hat bewiesen und hat eine allgemeinere Identität verwendet, die zu gleichwertig

ist:

\left (a^2 + nb^2\right) \left (c^2 + nd^2\right) & {} = \left (ac-nbd\right) ^2 + n\left (ad+bc\right) ^2 \\qquad\qquad (3) \\

& {} = \left (ac+nbd\right) ^2 + n\left (Anzeige-bc\right) ^2, \qquad\qquad (4)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

die Vertretung, dass der Satz aller Zahlen der Form unter der Multiplikation geschlossen wird.

Sowohl (1) und (2) kann durch die Erweiterung jeder Seite der Gleichung nachgeprüft werden. Außerdem (2) kann bei (1), oder (1) von (2), durch das Ändern b zu &minus;b. erhalten werden

Diese Identität hält sowohl im Ring von ganzen Zahlen als auch im Ring von rationalen Zahlen, und mehr allgemein in jedem Ersatzring.

Im Fall der ganzen Zahl findet diese Identität Anwendungen in der Zahlentheorie, zum Beispiel wenn verwendet, in Verbindung mit einem der Lehrsätze von Fermat es beweist, dass das Produkt eines Quadrats und jede Zahl der Blüte der Form 4n + 1 auch eine Summe von zwei Quadraten sind.

Geschichte

Die Identität wird zuerst im Arithmetica von Diophantus (III, 19) gefunden.

Die Identität wurde von Brahmagupta (598-668), einem Indianermathematiker und Astronomen wieder entdeckt, der es verallgemeinert hat und es in seiner Studie dessen verwendet hat, was jetzt die Gleichung von Pell falsch genannt wird. Sein Brahmasphutasiddhanta wurde aus dem Sanskrit ins Arabisch von Mohammad al-Fazari übersetzt, und wurde nachher in Latein 1126 übersetzt. Die Identität ist später im Buch von Fibonacci von Quadraten 1225 erschienen.

Zusammenhängende Identität

Die quadratische Identität von Euler ist eine analoge Identität, die vier Quadrate statt zwei einschließt, der mit quaternions verbunden ist. Es gibt eine ähnliche Acht-Quadrate-Identität ist auf die Zahlen von Cayley zurückzuführen gewesen, der Verbindungen zur Periodizität von Bott hat.

Beziehung zu komplexen Zahlen

Wenn a, b, c, und d reelle Zahlen sind, ist diese Identität zum Multiplikationseigentum für absolute Werte von komplexen Zahlen nämlich dass gleichwertig:

:

seitdem

:

durch das Quadrieren beide Seiten

:

und durch die Definition des absoluten Werts,

:

Interpretation über Normen

Im Fall, dass die Variablen a, b, c, und d rationale Zahlen sind, kann die Identität als die Behauptung interpretiert werden, dass die Norm in Feld Q (i) multiplicative ist. D. h. wir haben

:

und auch

:

Deshalb sagt die Identität das

:

Anwendung auf die Gleichung von Pell

In seinem ursprünglichen Zusammenhang hat Brahmagupta seine Entdeckung auf die Lösung der Gleichung von Pell, nämlich x &minus angewandt; Ny = 1. Das Verwenden der Identität in der allgemeineren Form

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er ist im Stande gewesen "zu dichten" verdreifacht sich (x, y, k) und (x, y, k), die Lösungen von x &minus waren; Ny = k, um den neuen dreifachen zu erzeugen

:

Nicht nur hat das eine Weise gegeben, ungeheuer viele Lösungen von x &minus zu erzeugen; Ny = das 1 Starten mit einer Lösung, sondern auch, durch das Teilen solch einer Zusammensetzung durch kk, ganze Zahl oder "fast ganze Zahl" Lösungen konnte häufig erhalten werden. Die allgemeine Methode, für die Gleichung von Pell zu lösen, die durch Bhaskara II 1150, nämlich der chakravala (zyklische) Methode gegeben ist, hat auch auf dieser Identität basiert.

Siehe auch

• Matrix von Brahmagupta
• Indianermathematik
• Liste von Indianermathematikern

Links

• Die Identität von Brahmagupta an PlanetMath
• Brahmagupta Identität auf MathWorld
• Brahmagupta-Fibonacci Identität
• Eine Sammlung der algebraischen Identität