(Der erste) Lehrsatz von Noether stellt fest, dass jede differentiable Symmetrie der Handlung eines physischen Systems ein entsprechendes Bewahrungsgesetz hat. Der Lehrsatz wurde vom deutschen Mathematiker Emmy Noether 1915 bewiesen und 1918 veröffentlicht. Die Handlung eines physischen Systems ist das Integral mit der Zeit einer Funktion von Lagrangian (der kann oder kein Integral über den Raum einer Dichte-Funktion von Lagrangian sein kann), von dem das Verhalten des Systems durch den Grundsatz von kleinster Handlung bestimmt werden kann.

Der Lehrsatz von Noether ist ein grundsätzliches Werkzeug der modernen theoretischen Physik und die Rechnung von Schwankungen geworden. Eine Generalisation der Samenformulierungen auf Konstanten der Bewegung in der Mechanik von Lagrangian und Hamiltonian (entwickelt 1788 und 1833, beziehungsweise), gilt es für Systeme nicht, die mit Lagrangian allein (z.B Systeme mit einer Verschwendungsfunktion von Rayleigh) nicht modelliert werden können. Insbesondere dissipative Systeme mit dauerndem symmetries braucht kein entsprechendes Bewahrungsgesetz zu haben.

Eine Illustration

Für die Illustration, wenn sich ein physisches System dasselbe unabhängig davon benimmt, wie es im Raum orientiert wird, ist sein Lagrangian Rotations-symmetrisch; von dieser Symmetrie zeigt der Lehrsatz von Noether, dass der winkelige Schwung des Systems erhalten werden muss. Das physische System selbst braucht nicht symmetrisch zu sein; ein zackiger Asteroid, der im Raum stürzt, erhält winkeligen Schwung trotz seiner Asymmetrie — es sind die Gesetze der Bewegung, die symmetrisch sind. Als ein anderes Beispiel, wenn ein physisches Experiment dasselbe Ergebnis unabhängig vom Platz oder Zeit hat (dasselbe Ergebnis, sagen wir, irgendwo in Asien an einem Dienstag oder in Amerika an einem Mittwoch habend), dann ist sein Lagrangian laut dauernder Übersetzungen in der Zeit und Raum symmetrisch; durch den Lehrsatz von Noether sind diese symmetries für die Bewahrungsgesetze des geradlinigen Schwungs und der Energie innerhalb dieses Systems beziehungsweise verantwortlich. (Diese Beispiele sind gerade für die Illustration; im ersten hat der Lehrsatz von Noether nichts Neues hinzugefügt - wie man bekannt, sind die Ergebnisse aus den Gleichungen von Lagrange und von den Gleichungen von Hamilton gefolgt.)

Der Lehrsatz von Noether, ist sowohl wegen der Scharfsinnigkeit wichtig, die er in Bewahrungsgesetze, als auch als ein praktisches calculational Werkzeug gibt. Es erlaubt Forschern, die erhaltenen Mengen vom beobachteten symmetries eines physischen Systems zu bestimmen. Umgekehrt erlaubt es Forschern zu denken, dass ganze Klassen von hypothetischem Lagrangians ein physisches System beschreiben. Für die Illustration, nehmen Sie an, dass ein neues Feld entdeckt wird, der eine Menge X erhält. Mit dem Lehrsatz von Noether können die Typen von Lagrangians, die X wegen einer dauernden Symmetrie erhalten, und dann ihre durch andere Kriterien beurteilte Fitness bestimmt werden.

Es gibt zahlreiche verschiedene Versionen des Lehrsatzes von Noether mit unterschiedlichen Graden der Allgemeinheit. Die ursprüngliche Version hat nur für gewöhnliche Differenzialgleichungen (Partikeln) und nicht teilweise Differenzialgleichungen (Felder) gegolten. Die ursprünglichen Versionen auch

nehmen Sie an, dass Lagrangian nur von der ersten Ableitung abhängt, während spätere Versionen den Lehrsatz zu Lagrangians abhängig von der n Ableitung verallgemeinern. Es gibt auch eine Quant-Version dieses Lehrsatzes, der als die Identität des Bezirks-Takahashi bekannt ist. Generalisationen des Lehrsatzes von Noether zu Superräumen bestehen auch.

Informelle Behauptung des Lehrsatzes

Alle feinen technischen Punkte beiseite, der Lehrsatz von Noether kann informell festgesetzt werden

:If ein System hat ein dauerndes Symmetrie-Eigentum, dann gibt es entsprechende Mengen, deren Werte rechtzeitig erhalten werden.

Eine hoch entwickeltere Version des Lehrsatzes stellt dass fest:

:To jede differentiable Symmetrie, die durch lokale Handlungen erzeugt ist, dort entspricht ein erhaltener Strom.

Das Wort "Symmetrie" in der obengenannten Behauptung bezieht sich genauer auf die Kovarianz der Form, die ein physisches Gesetz in Bezug auf eine eindimensionale Lüge-Gruppe von Transformationen annimmt, die bestimmte technische Kriterien befriedigen. Das Bewahrungsgesetz einer physischen Menge wird gewöhnlich als eine Kontinuitätsgleichung ausgedrückt.

Der formelle Beweis des Lehrsatzes verwendet nur die Bedingung von invariance, einen Ausdruck für einen mit einer erhaltenen physischen Menge vereinigten Strom abzuleiten. Die erhaltene Menge wird die Anklage von Noether genannt, und der Fluss, der diese 'Anklage' trägt, wird den Strom von Noether genannt. Der Noether Strom wird bis zu einem solenoidal Vektorfeld definiert.

Die Behauptung von Felix Klein des Lehrsatzes von Noether

Die Behauptung von Felix Klein des Lehrsatzes von Noether ist

— Anhang B, Nina Byers (1998)

Historischer Zusammenhang

Ein Bewahrungsgesetz stellt fest, dass etwas Menge das X Beschreiben eines Systems unveränderlich überall in seiner Bewegung bleibt; ausgedrückt mathematisch ist die Rate der Änderung X (seine Ableitung in Bezug auf die Zeit) Null:

:Wie man

sagt, werden solche Mengen erhalten; sie werden häufig Konstanten der Bewegung genannt, obwohl Bewegung per se, gerade Evolution rechtzeitig nicht beteiligt zu werden braucht. Zum Beispiel, wenn die Energie eines Systems erhalten wird, ist seine Energie zu jeder Zeit unveränderlich, der eine Einschränkung auf die Bewegung des Systems auferlegt und helfen kann, dafür zu lösen. Beiseite von der Scharfsinnigkeit, die solche Konstanten der Bewegung in die Natur eines Systems geben, sind sie ein nützliches calculational Werkzeug; zum Beispiel kann eine ungefähre Lösung durch die Entdeckung des nächsten Staates korrigiert werden, der die notwendigen Bewahrungsgesetze befriedigt.

Die frühsten Konstanten der entdeckten Bewegung waren Schwung und Energie, die im 17. Jahrhundert von René Descartes und Gottfried Leibniz auf der Grundlage von Kollisionsexperimenten vorgeschlagen wurden, und sich durch nachfolgende Forscher verfeinert haben. Isaac Newton war erst, um die Bewahrung des Schwungs in seiner modernen Form zu behaupten und hat gezeigt, dass es eine Folge des dritten Gesetzes von Newton war; interessanterweise hält die Bewahrung des Schwungs noch sogar in Situationen, wenn das dritte Gesetz von Newton falsch ist. Moderne Physik hat offenbart, dass die Bewahrungsgesetze des Schwungs und der Energie nur ungefähr wahr sind, aber ihre modernen Verbesserungen — die Bewahrung von vier-Schwünge-in der speziellen Relativität und der kovarianten Nullabschweifung des Betonungsenergie-Tensor in der allgemeinen Relativität — ist innerhalb der Grenzen jener Theorien streng wahr. Die Bewahrung des winkeligen Schwungs, einer Generalisation zum Drehen starrer Körper, hält ebenfalls in der modernen Physik. Eine andere wichtige erhaltene Menge, die in Studien der himmlischen Mechanik von astronomischen Körpern entdeckt ist, war der Laplace-Runge-Lenz Vektor.

In den späten 18. und frühen 19. Jahrhunderten haben Physiker systematischere Methoden entwickelt, um erhaltene Mengen zu entdecken. Ein Hauptfortschritt ist 1788 mit der Entwicklung der Mechanik von Lagrangian gekommen, die mit dem Grundsatz von kleinster Handlung verbunden ist. In dieser Annäherung kann der Staat des Systems durch jeden Typ von verallgemeinerten Koordinaten q beschrieben werden; die Gesetze der Bewegung brauchen in einem Kartesianischen Koordinatensystem nicht ausgedrückt zu werden, wie in der Newtonischen Mechanik üblich war. Die Handlung wird als die Zeit integriert ich einer Funktion bekannt als der Lagrangian L definiert

:

wo der Punkt über q die Rate der Änderung der Koordinaten q bedeutet

:

Der Grundsatz von Hamilton stellt fest, dass der physische Pfad q (t) — derjenige, der aufrichtig vom System genommen ist — ein Pfad ist, für den unendlich kleine Schwankungen in diesem Pfad keine Änderung in mir mindestens bis zur ersten Ordnung verursachen. Dieser Grundsatz läuft auf die Euler-Lagrange Gleichungen hinaus

:

So, wenn eine der Koordinaten, sagen wir q, in Lagrangian nicht erscheint, ist die Rechte der Gleichung Null, und die linke Seite zeigt dem

:

wo der erhaltene Schwung p als die linke Menge in Parenthesen definiert wird. Die Abwesenheit der Koordinate q von Lagrangian deutet an, dass Lagrangian durch Änderungen oder Transformationen von q ungekünstelt ist; Lagrangian ist invariant und wird gesagt, eine Art Symmetrie auszustellen. Das ist die Samen-Idee, von der der Lehrsatz von Noether geboren gewesen ist.

Mehrere alternative Methoden, um erhaltene Mengen zu finden, wurden im 19. Jahrhundert besonders von William Rowan Hamilton entwickelt. Zum Beispiel hat er eine Theorie von kanonischen Transformationen entwickelt, die Forschern erlaubt haben, Koordinaten zu ändern, so dass Koordinaten von Lagrangian verschwunden sind, auf erhaltene Mengen hinauslaufend. Eine andere Annäherung und vielleicht das effizienteste, um erhaltene Mengen zu finden, sind die Gleichung von Hamilton-Jacobi.

Mathematischer Ausdruck

Die Essenz des Lehrsatzes von Noether ist der folgende: Stellen Sie sich Vor, dass die Handlung, die ich oben definiert habe, invariant unter kleinen Unruhen (warpings) der Zeitvariable t und der verallgemeinerten Koordinaten q ist; (in einer Notation, die allgemein von Physikern verwendet ist), wir schreiben

::

wo die Unruhen δt und δq beide klein, aber variabel sind. Für die Allgemeinheit, nehmen Sie an, dass es solche mehreren Symmetrie-Transformationen der Handlung, sagen wir, N geben könnte; wir können einen Index r = 1, 2, 3, …, N verwenden, um sie nachzugehen. Dann kann eine allgemeine Unruhe als eine geradlinige Summe der individuellen Typen von Unruhen geschrieben werden

::

Mit diesen Definitionen hat Emmy Noether dass die N Mengen gezeigt

:

werden erhalten, d. h., sind Konstanten der Bewegung; das ist eine einfache Version des Lehrsatzes von Noether.

Beispiele

Für die Illustration, denken Sie Lagrangian, der rechtzeitig nicht abhängt, d. h., der invariant ist, der unter Änderungen t  t + δt, ohne jede Änderung in den Koordinaten q (symmetrisch) ist. In diesem Fall, N = 1, T = 1 und Q = 0; die entsprechende erhaltene Menge ist die Gesamtenergie H

:

Denken Sie ähnlich Lagrangian, der von keiner Koordinate q abhängt, d. h., der invariant ist, der unter Änderungen q  q + δq (symmetrisch) ist. In diesem Fall, N = 1, T = 0, und Q = 1; die erhaltene Menge ist der entsprechende Schwung p

:

In der speziellen und allgemeinen Relativität sind diese anscheinend getrennten Bewahrungsgesetze Aspekte eines einzelnen Bewahrungsgesetzes, dieser des Betonungsenergie-Tensor, der in der folgenden Abteilung abgeleitet wird.

Die Bewahrung des winkeligen Schwungs L = r × p ist ein bisschen mehr kompliziert, um abzustammen, aber analog seinem geradlinigen Schwung-Kollegen. Es wird angenommen, dass die Symmetrie von Lagrangian Rotations-ist, d. h., dass Lagrangian von der absoluten Orientierung des physischen Systems im Raum nicht abhängt. Für die Greifbarkeit, nehmen Sie an, dass sich Lagrangian unter kleinen Folgen eines Winkels δθ über eine Achse n nicht ändert; solch eine Folge gestaltet die Kartesianischen Koordinaten durch die Gleichung um

:

Da Zeit nicht umgestaltet wird, kommt T Null gleich. Wenn man δθ als der ε Parameter und die Kartesianischen Koordinaten r als die verallgemeinerten Koordinaten q nimmt, werden die entsprechenden Q Variablen durch gegeben

:

Dann stellt der Lehrsatz von Noether fest, dass die folgende Menge erhalten wird

:

\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \cdot \mathbf {Q} _ {r} =

\mathbf {p} \cdot \left (\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right) =

\mathbf {n} \cdot \left (\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right) =

\mathbf {n} \cdot \mathbf {L}.

</Mathematik>

Mit anderen Worten wird der Bestandteil des winkeligen Schwungs L entlang der n Achse erhalten. Wenn n willkürlich ist, d. h., wenn das System gegen eine Folge unempfindlich ist, dann wird jeder Bestandteil von L erhalten; kurz gesagt, winkeliger Schwung wird erhalten.

Feldtheorie-Version

Obwohl nützlich, in seinem eigenen Recht war die Version ihres gerade gegebenen Lehrsatzes ein spezieller Fall der allgemeinen Version, die sie 1915 abgeleitet hat. Um den Geschmack nach dem allgemeinen Lehrsatz zu geben, wird eine Version des Lehrsatzes von Noether für dauernde Felder in der vierdimensionalen Raum-Zeit jetzt gegeben. Da Feldtheorie-Probleme in der modernen Physik üblicher sind als Mechanik-Probleme, ist diese Feldtheorie-Version die meistens verwendete Version des Lehrsatzes von Noether.

Lassen Sie dort, eine Reihe von differentiable Feldern φ definiert über die ganze Zeit und Raum zu sein; zum Beispiel würde die Temperatur T (x, t) solch ein Feld vertretend sein, eine Zahl seiend, die an jedem Platz und Zeit definiert ist. Der Grundsatz von kleinster Handlung kann auf solche Felder angewandt werden, aber die Handlung ist jetzt ein Integral über die Zeit und Raum

:

(der Lehrsatz kann wirklich weiter zum Fall verallgemeinert werden, wo Lagrangian bis zu den n abgeleiteten Verwenden-Strahlbündeln abhängt)

Lassen Sie die Handlung invariant unter bestimmten Transformationen des Raum-Zeit-Koordinatenx und der Felder φ\sein

::

wo die Transformationen durch r = 1, 2, 3, …, N mit einem Inhaltsverzeichnis versehen werden können

::

Für solche Systeme stellt der Lehrsatz von Noether fest, dass es erhaltene aktuelle Dichten von N gibt

:

j^\\nu_r =

- \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \boldsymbol\phi_ {\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\Psi_r +

\sum_ {\\Sigma} \left [\left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \boldsymbol\phi_ {\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_ {\sigma} - L \delta^ {\\nu} _ {\\Sigma} \right] X_{r} ^ {\\Sigma}

</Mathematik>

In solchen Fällen wird das Bewahrungsgesetz auf eine vierdimensionale Weise ausgedrückt

:

der die Idee ausdrückt, dass sich der Betrag einer erhaltenen Menge innerhalb eines Bereichs nicht ändern kann, wenn etwas davon aus dem Bereich nicht fließt. Zum Beispiel wird elektrische Anklage erhalten; der Betrag der Anklage innerhalb eines Bereichs kann sich nicht ändern, wenn etwas von der Anklage den Bereich nicht verlässt.

Für die Illustration, denken Sie ein physisches System von Feldern, das sich dasselbe laut Übersetzungen rechtzeitig und Raums, wie betrachtet, oben benimmt; mit anderen Worten hängen die Felder von der absoluten Position in der Zeit und Raum nicht ab. In diesem Fall, N = 4, ein für jede Dimension der Zeit und Raums. Da nur die Positionen in der Raum-Zeit, nicht die Felder verzogen werden, sind die Ψ die ganze Null, und die X kommen dem Delta von Kronecker δ gleich, wo wir μ statt r für den Index verwendet haben. In diesem Fall entspricht der Lehrsatz von Noether dem Bewahrungsgesetz für den Betonungsenergie-Tensor T

:

T_\mu {} ^\\nu =

\sum_ {\\Sigma} \left [\left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \boldsymbol\phi_ {\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_ {\sigma} - L \, \delta^\\nu_\sigma \right] \delta_\mu^\\Sigma =

\left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \boldsymbol\phi_ {\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_ {\mu} - L \, \delta_\mu^\\nu

</Mathematik>

Die Bewahrung der elektrischen Anklage kann durch das Betrachten von Transformationen der Felder selbst abgeleitet werden. In der Quant-Mechanik ist der Wahrscheinlichkeitsumfang ψ (x), eine Partikel an einem Punkt x zu finden, ein kompliziertes Feld, weil es eine komplexe Zahl jedem Punkt in der Zeit und Raum zuschreibt. Der Wahrscheinlichkeitsumfang selbst ist physisch unermesslich; nur die Wahrscheinlichkeit p = | ψ | kann aus einer Reihe von Maßen abgeleitet werden. Deshalb ist das System invariant unter Transformationen des ψ Feldes und seines komplizierten verbundenen Feldes ψ dass Erlaubnis | ψ | unverändert wie

:

In der Grenze, wenn θ unendlich klein klein (δθ) wird, kann er als der ε genommen werden, und die ψ sind iψ und-iψ* beziehungsweise gleich. Ein spezifisches Beispiel ist die Gleichung von Klein-Gordon, die relativistisch richtige Version der Gleichung von Schrödinger für spinless Partikeln, die die Dichte von Lagrangian hat

:

In diesem Fall stellt der Lehrsatz von Noether fest, dass der erhaltene Strom gleichkommt

:

der, wenn multipliziert, mit der Anklage auf diesem Typ der Partikel, der Dichte des elektrischen Stroms wegen dieses Typs der Partikel gleichkommt. Diese Transformation wurde zuerst von Hermann Weyl bemerkt und ist eines des grundsätzlichen Maßes symmetries der modernen Physik.

Abstammungen

Eine unabhängige Variable

Ziehen Sie den einfachsten Fall, ein System mit einer unabhängiger Variable, Zeit in Betracht. Nehmen Sie an, dass die abhängigen Variablen q dass die Handlung integrierter solch

sind:

ist invariant unter kurzen unendlich kleinen Schwankungen in den abhängigen Variablen. Mit anderen Worten befriedigen sie die Euler-Lagrange Gleichungen

:

Und nehmen Sie an, dass das Integral invariant unter einer dauernden Symmetrie ist. Mathematisch wird solch eine Symmetrie als ein Fluss, φ vertreten, der den Variablen wie folgt folgt

::

wo ε eine echte Variable ist, die den Betrag des Flusses anzeigt, und T eine echte Konstante ist (der Null sein konnte) anzeigend, wie viel der Fluss Zeit auswechselt.

:

\dot {\\mathbf {q}} [t] \rightarrow \dot {\\mathbf {q}}' [t'] = \frac {d} {dt} \phi [\mathbf {q} [t], \epsilon] = \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} [\mathbf {q} [t' - \epsilon T], \epsilon] \dot {\\mathbf {q}} [t' - \epsilon T]

. </Mathematik>

Die Handlung integrierte Flüsse zu

:\begin {richten }\aus

Ich' [\epsilon] & = \int_ {t_1 + \epsilon T} ^ {t_2 + \epsilon T} L [\mathbf {q} '[t'], \dot {\\mathbf {q}}' [t'], t'] \, dt' \\[6pt]

& = \int_ {t_1 + \epsilon T} ^ {t_2 + \epsilon T} L [\phi [\mathbf {q} [t' - \epsilon T], \epsilon], \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} [\mathbf {q} [t' - \epsilon T], \epsilon] \dot {\\mathbf {q}} [t' - \epsilon T], t'] \, dt'

\end {richten }\aus</Mathematik>

der als eine Funktion von ε betrachtet werden kann. Die Ableitung an ε = 0 und das Verwenden der Symmetrie berechnend, bekommen wir

:\begin {richten }\aus

0 & = \frac {d I'} {d \epsilon} [0] = L [\mathbf {q} [t_2], \dot {\\mathbf {q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf {q} [t_1], \dot {\\mathbf {q}} [t_1], t_1] T \\[6pt]

& {} + \int_ {t_1} ^ {t_2} \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \mathbf {q}} \left (-\frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} T + \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} \right) + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \left (-\frac {\\Partial^2 \phi} {(\partial \mathbf {q}) ^2} {\\Punkt {\\mathbf {q}}} ^2 T + \frac {\\Partial^2 \phi} {\\teilweiser \epsilon \partial \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} -

\frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \ddot {\\mathbf {q}} T \right) \, dt.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Bemerken Sie, dass die Euler-Lagrange Gleichungen einbeziehen

:\begin {richten }\aus

\frac {d} {dt} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} T \right)

& = \left (\frac {d} {dt} \frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \right) \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} T + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \left (\frac {d} {dt} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \right) \dot {\\mathbf {q}} T + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \ddot {\\mathbf {q}} \, T \\[6pt]

& = \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \mathbf {q}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} T + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \left (\frac {\\Partial^2 \phi} {(\partial \mathbf {q}) ^2} \dot {\\mathbf {q}} \right) \dot {\\mathbf {q}} T + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \ddot {\\mathbf {q}} \, T.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das in die vorherige Gleichung einsetzend, bekommt man

:\begin {richten }\aus

0 & = \frac {d I'} {d \epsilon} [0] = L [\mathbf {q} [t_2], \dot {\\mathbf {q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf {q} [t_1], \dot {\\mathbf {q}} [t_1], t_1] T - \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} [t_2] T + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} [t_1] T \\[6pt]

& {} + \int_ {t_1} ^ {t_2} \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \mathbf {q}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\Partial^2 \phi} {\\teilweiser \epsilon \partial \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} \, dt.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wieder mit den Euler-Lagrange Gleichungen bekommen wir

:

\frac {d} {d t} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} \right)

\left (\frac {d} {d t} \frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \right) \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\Partial^2 \phi} {\\teilweiser \epsilon \partial \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q} }\

\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \mathbf {q}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\Partial^2 \phi} {\\teilweiser \epsilon \partial \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}}.

</Mathematik>Das in die vorherige Gleichung einsetzend, bekommt man:\begin {richten }\aus

0 & = L [\mathbf {q} [t_2], \dot {\\mathbf {q}} [t_2], t_2] T - L [\mathbf {q} [t_1], \dot {\\mathbf {q}} [t_1], t_1] T - \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} [t_2] T + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \mathbf {q}} \dot {\\mathbf {q}} [t_1] T \\[6pt]

& {} + \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} [t_2] - \frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {\\mathbf {q}}} \frac {\\teilweiser \phi} {\\teilweiser \epsilon} [t_1].

\end {richten }\aus</Mathematik>

Von dem das sehen kann

:

ist eine Konstante der Bewegung, d. h. eine erhaltene Menge. Seitdem φ [q, 0] = q, kommen wir, und so vereinfacht die erhaltene Menge zu

:

Um übermäßige Komplikation der Formeln zu vermeiden, hat diese Abstammung angenommen, dass sich der Fluss nicht ändert, weil Zeit geht. Dasselbe Ergebnis kann im allgemeineren Fall erhalten werden.

Feldtheoretische Abstammung

Der Lehrsatz von Noether kann auch für Tensor-Felder φ wo der Index Reihen über die verschiedenen Bestandteile der verschiedenen Tensor-Felder abgeleitet werden. Diese Feldmengen sind Funktionen, die über einen vierdimensionalen Raum definiert sind, dessen Punkte durch Koordinaten x etikettiert werden, wo sich der Index μ mit der Zeit (μ = 0) und drei Raumdimensionen (μ = 1,2,3) erstreckt. Diese vier Koordinaten sind die unabhängigen Variablen; und die Werte der Felder an jedem Ereignis sind die abhängigen Variablen. Unter einer unendlich kleinen Transformation wird die Schwankung in den Koordinaten geschrieben

:

wohingegen die Transformation der Feldvariablen als ausgedrückt wird

:

Durch diese Definition ergeben sich die Feldschwankungen δφ aus zwei Faktoren: Innere Änderungen im Feld selbst und Änderungen in Koordinaten, da das umgestaltete Feld α von den umgestalteten Koordinaten ξ abhängt. Um die inneren Änderungen zu isolieren, kann die Feldschwankung an einem einzelnen Punkt x definiert werden

:

Wenn die Koordinaten, die Grenze des Gebiets der Raum-Zeit geändert werden, über die Lagrangian auch Änderungen integriert wird; die ursprüngliche Grenze und seine umgestaltete Version werden als Ω und Ω ', beziehungsweise angezeigt.

Der Lehrsatz von Noether beginnt in der Annahme, dass eine spezifische Transformation der Koordinaten und Feldvariablen die Handlung nicht ändert, die als das Integral der Dichte von Lagrangian über das gegebene Gebiet der Raum-Zeit definiert wird. Ausgedrückt mathematisch kann diese Annahme als geschrieben werden

:

wo die Komma-Subschrift eine partielle Ableitung in Bezug auf die Koordinate (N) anzeigt, die dem Komma z.B folgt.

:

Da ξ eine Platzhaltervariable der Integration ist, und da die Änderung in der Grenze Ω durch die Annahme unendlich klein ist, können die zwei Integrale mit der vierdimensionalen Version des Abschweifungslehrsatzes in die folgende Form verbunden werden

:

\int_ {\\Omega} \left\{

\left [L \left (\alpha^A, {\\alpha^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) -

L \left (\phi^A, {\\phi^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) \right]

+ \frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}} \left [L \left (\phi^A, {\\phi^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) \delta x^ {\\Sigma} \right]

\right\} d^ {4} x = 0

\. </Mathematik>

Der Unterschied in Lagrangians kann der ersten Ordnung in den unendlich kleinen Schwankungen als geschrieben werden

:\left [L \left (\alpha^A, {\\alpha^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) -

L \left (\phi^A, {\\phi^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) \right] =

\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \phi^A} \bar {\\Delta} \phi^A +

\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \bar {\\Delta} {\\phi^A} _ {\sigma }\

\. </Mathematik>

Jedoch, weil die Schwankungen an demselben Punkt, wie beschrieben, oben definiert werden, können die Schwankung und die Ableitung in umgekehrter Reihenfolge getan werden; sie tauschen ein

:

\bar {\\Delta} {\\phi^A} _ {\sigma} =

\bar {\\Delta} \frac {\\teilweiser \phi^A} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}} =

\frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}} \left (\bar {\\Delta} \phi^A \right)

\. </Mathematik>

Das Verwenden der Euler-Lagrange Feldgleichungen

:

\frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \right) =

\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \phi^A }\

</Mathematik>

der Unterschied in Lagrangians kann ordentlich als geschrieben werden

:\left [L \left (\alpha^A, {\\alpha^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) -

L \left (\phi^A, {\\phi^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) \right]

\frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}} \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \right) \bar {\\Delta} \phi^A +

\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \bar {\\Delta} {\\phi^A} _ {\sigma }\

\frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}}

\left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \bar {\\Delta} \phi^A \right)

\. </Mathematik>

So kann die Änderung in der Handlung als geschrieben werden

:

\int_ {\\Omega} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}}

\left\{\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \bar {\\Delta} \phi^A +

L \left (\phi^A, {\\phi^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) \delta x^ {\\Sigma }\

\right\} d^ {4} x = 0\. </Mathematik>

Da das für jedes Gebiet Ω hält, muss der integrand Null sein

:

\frac {\\teilweise} {\\teilweiser x^ {\\Sigma}}

\left\{\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \bar {\\Delta} \phi^A +L \left (\phi^A, {\\phi^A} _ {\nu}, x^ {\\mu} \right) \delta x^ {\\Sigma }\

\right\} = 0

\. </Mathematik>

Für jede Kombination der verschiedenen Symmetrie-Transformationen kann die Unruhe geschrieben werden

::

wo die Lüge-Ableitung von φ in der X Richtung ist. Wenn φ ein Skalar oder, ist

:

Diese Gleichungen deuten an, dass die Feldschwankung genommen einmal gleichkommt

:

Das Unterscheiden der obengenannten Abschweifung in Bezug auf ε an ε = 0 und das Ändern des Zeichens geben das Bewahrungsgesetz nach

:

wo der erhaltene Strom gleichkommt

:

j^ {\\Sigma} =

\left [\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \mathcal {L} _X \phi^A - L \, X^ {\\Sigma }\\Recht]

- \left (\frac {\\teilweiser L} {\\teilweiser {\\phi^A} _ {\sigma}} \right) \Psi^A \.

</Mathematik>

Bündel-Abstammung der Sammelleitung/Faser

Nehmen Sie an, dass wir orientierte Sammelleitung von Riemannian eines n-dimensional haben, vervielfältigen M und ein Ziel T. Lassen Sie, der Konfigurationsraum von glatten Funktionen von der M bis T. zu sein (Mehr allgemein, wir können glatte Abteilungen eines Faser-Bündels über M. haben)

Beispiele dieser M in der Physik schließen ein:

• In der klassischen Mechanik, in der Formulierung von Hamiltonian, ist M die eindimensionale Sammelleitung R, Zeit vertretend, und der Zielraum ist das Kotangens-Bündel des Raums von verallgemeinerten Positionen.
• In der Feldtheorie ist M die Raum-Zeit-Sammelleitung, und der Zielraum ist der Satz von Werten, die die Felder an jedem gegebenen Punkt nehmen können. Zum Beispiel, wenn es M reellwertige Skalarfelder gibt, dann ist die Zielsammelleitung R. Wenn das Feld ein echtes Vektorfeld ist, dann ist die Zielsammelleitung zu R isomorph.

Nehmen Sie jetzt an, dass es einen funktionellen gibt

:

genannt die Handlung. (Bemerken Sie, dass es Werte in R, aber nicht C nimmt; das ist aus physischen Gründen, und ist für diesen Beweis nicht wirklich von Bedeutung.)

Um zur üblichen Version des Lehrsatzes von Noether zu kommen, brauchen wir zusätzliche Beschränkungen der Handlung. Wir nehmen an ist das Integral über die M einer Funktion

:

genannt die Dichte von Lagrangian, je nachdem φ, seine Ableitung und die Position. Mit anderen Worten, für φ in

:

Nehmen Sie an, dass uns Grenzbedingungen, d. h., eine Spezifizierung des Werts von φ an der Grenze gegeben werden, wenn M kompakt ist, oder etwas Grenze auf φ weil sich x  nähert. Dann der Subraum, aus Funktionen φ solch zu bestehen, dass alle funktionellen Ableitungen an φ Null sind, die ist:

:

und das φ befriedigt die gegebenen Grenzbedingungen, ist der Subraum auf Schale-Lösungen. (Sieh Grundsatz der stationären Handlung)

Nehmen Sie jetzt an, dass wir eine unendlich kleine Transformation anhaben, die durch eine funktionelle Abstammung, Q erzeugt ist, solch dass

:

für alle Kompaktsubsammelleitungen N oder mit anderen Worten,

:

für den ganzen x, wo wir setzen

:

Wenn das Schale und von der Schale festhält, sagen wir, dass Q eine Symmetrie außer Schale erzeugt. Wenn das nur Schale festhält, sagen wir, dass Q eine Symmetrie auf der Schale erzeugt. Dann sagen wir, dass Q ein Generator einer Parameter-Symmetrie ist, Liegen Gruppe.

Jetzt, für jeden N, wegen des Euler-Lagrange Lehrsatzes, auf der Schale (und nur auf der Schale), haben wir

:

Da das für jeden N wahr ist, haben wir

:

Aber das ist die Kontinuitätsgleichung für den Strom, der definiert ist durch:

:

der den mit der Symmetrie vereinigten Strom von Noether genannt wird. Die Kontinuitätsgleichung sagt uns, dass, wenn wir diesen Strom über eine raumähnliche Scheibe integrieren, wir kommen, hat eine erhaltene Menge die Anklage von Noether genannt (vorausgesetzt dass, natürlich, wenn M nichtkompakt ist, die Ströme genug schnell an der Unendlichkeit zurückgehen).

Anmerkungen

Der Lehrsatz von Noether ist wirklich ein Nachdenken der Beziehung zwischen den Grenzbedingungen und dem abweichenden Grundsatz. Keine Grenzbegriffe in der Handlung annehmend, bezieht der Lehrsatz von Noether das ein

:

Der Lehrsatz von Noether ist auf dem Schale-Lehrsatz. Das Quant-Analogon des Lehrsatzes von Noether ist die Identität des Bezirks-Takahashi.

Generalisation, um Algebra Zu liegen

Denken Sie sagen, dass wir zwei Symmetrie-Abstammungen Q und Q haben. Dann, [Q, Q] ist auch eine Symmetrie-Abstammung. Wollen wir das ausführlich sehen. Wollen wir sagen

:

und

:

Dann,

:

wo f=Q [f]-Q [f]. Also,

:

Das zeigt, dass wir den Lehrsatz von Noether zu größeren Lüge-Algebra auf eine natürliche Weise erweitern können.

Generalisation des Beweises

Das gilt für jede lokale Symmetrie-Abstammung Q, QS  0, und auch zu allgemeineren lokalen funktionellen differentiable Handlungen einschließlich befriedigend, wo Lagrangian von höheren Ableitungen der Felder abhängt. Lassen Sie ε jede willkürliche glatte Funktion der Raum-Zeit sein (oder Zeit) vervielfältigen solch, dass der Verschluss seiner Unterstützung von der Grenze zusammenhanglos ist. ε ist eine Testfunktion. Dann, wegen des abweichenden Grundsatzes (der für die Grenze übrigens nicht gilt), der Abstammungsvertrieb q erzeugt durch q [ε] [Φ (x)] = ε (x) befriedigt Q [Φ (x)] q [ε] [S]  0 für jeden ε, oder kompakter, q (x) [S]  0 für den ganzen x nicht an der Grenze (aber erinnern Sie sich, dass q (x) eine Schnellschrift für einen Abstammungsvertrieb, nicht eine Abstammung ist, die durch x im Allgemeinen parametrisiert ist). Das ist die Generalisation des Lehrsatzes von Noether.

Um wie die Generalisation zu sehen, die mit der Version verbunden ist, die oben gegeben ist, nehmen Sie an, dass die Handlung das Raum-Zeit-Integral von Lagrangian ist, der nur von φ und seinen ersten Ableitungen abhängt. Nehmen Sie außerdem an

:Dann,:\begin {richten }\aus

q [\epsilon] [\mathcal {S}] & = \int q [\epsilon] [\mathcal {L}] \, \mathrm {d} ^n x \\

& = \int \left\{\left (\frac {\\teilweise} {\\teilweiser \phi }\\mathcal {L }\\Recht) \epsilon Q [\phi] + \left [\frac {\\teilweise} {\\teilweise (\partial_\mu \phi) }\\mathcal {L }\\Recht] \partial_\mu (\epsilon Q [\phi]) \right\} \, \mathrm {d} ^n x \\

& = \int \left\{\epsilon Q [\mathcal {L}] + \partial_ {\\mu }\\Epsilon \left [\frac {\\teilweise} {\\teilweiser \left (\partial_ {\\mu} \phi\right)} \mathcal {L} \right] Q [\phi] \right\} \, \mathrm {d} ^n x \\

& \approx \int \epsilon \partial_\mu \Bigg\{f^\\mu-\left [\frac {\\teilweise} {\\teilweise (\partial_\mu\phi) }\\mathcal {L }\\Recht] Q [\phi] \Bigg\} \, \mathrm {d} ^n x

\end {richten }\aus</Mathematik>

für den ganzen ε.

Mehr allgemein, wenn Lagrangian von höheren Ableitungen, dann abhängt

:

Beispiele

Beispiel 1: Bewahrung der Energie

Auf den spezifischen Fall einer Newtonischen Partikel der MassenM, Koordinate x schauend, sich unter dem Einfluss eines Potenzials V, coordinatized vor der Zeit t bewegend. Die Handlung, S, ist:

: \begin {richten }\aus

\mathcal {S} [x] & = \int L [x (t), \dot {x} (t)] \, dt \\

& = \int \left (\frac {M} {2 }\\sum_ {i=1} ^3\dot {x} _i^2-V (x (t)) \right) \, dt.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Denken Sie den Generator von Zeitübersetzungen Q =  / t. Mit anderen Worten. Bemerken Sie, dass x eine ausführliche Abhängigkeit rechtzeitig hat, während V nicht tut; folglich:

:

so können wir setzen

:Dann,: \begin {richten }\aus

j & = \sum_ {i=1} ^3\frac {\\teilweise L\{\\teilweiser \dot {x} _i} Q [x_i]-f \\

& = M \sum_i\dot {x} _i^2-\left [\frac {M} {2 }\\sum_i\dot {x} _i^2-V (x) \right] \\

& = \frac {M} {2 }\\sum_i\dot {x} _i^2+V (x).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die rechte Seite ist die Energie, und der Lehrsatz von Noether stellt dass fest (d. h. der Grundsatz der Bewahrung der Energie ist eine Folge von invariance laut Zeitübersetzungen).

Mehr allgemein, wenn Lagrangian ausführlich rechtzeitig, die Menge nicht abhängt

:

(genannt Hamiltonian) wird erhalten.

Beispiel 2: Bewahrung des Zentrums des Schwungs

Noch 1-dimensionale Zeit denkend, lassen Sie

: \begin {richten }\aus

\mathcal {S} [\vec {x}] & = \int \mathcal {L} [\vec {x} (t), \dot {\\vec {x}} (t)] \, \mathrm {d} t \\

& = \int \left [\sum^N_ {\\alpha=1} \frac {m_\alpha} {2} (\dot {\\vec {x}} _ \alpha) ^2-\sum_ {\\Alpha

d. h. N Newtonische Partikeln, wo das Potenzial nur pairwise auf die Verhältnisversetzung abhängt.

Da wir wollen den Generator von galiläischen Transformationen (d. h. eine Änderung im Bezugssystem) denken. Mit anderen Worten,

:

Bemerken Sie das

:\begin {richten }\aus

Q_i [\mathcal {L}] & = \sum_\alpha m_\alpha \dot {x} _ \alpha^i-\sum_ {\\Alpha

Das hat die Form dessen, so können wir setzen

:

Dann,

:

::

::

wo der Gesamtschwung ist, ist M die Gesamtmasse und ist das Zentrum der Masse. Die Lehrsatz-Staaten von Noether:

:

Beispiel 3: Transformation von Conformal

Beide Beispiele 1 und 2 sind über eine 1-dimensionale Sammelleitung (Zeit). Ein Beispiel, das Raum-Zeit einschließt, ist eine conformal Transformation eines massless echten Skalarfeldes mit einem quartic Potenzial in (3 + 1)-Minkowski Raum-Zeit.

:

Für Q, denken Sie den Generator eines Raum-Zeit-Wiederschuppens. Mit anderen Worten,

:

Der zweite Begriff ist auf der rechten Seite wegen "conformal Gewicht" von φ. Bemerken Sie das

:

Das hat die Form von

:

(wo wir eine Änderung von Scheinindizes durchgeführt haben), so setzt

:Dann,:

(\partial_\mu\phi) }\\mathcal {L }\\Recht] Q [\phi]-f^\\mu </Mathematik>

:

Der Lehrsatz von Noether stellt fest, dass (weil man vom Ersetzen der Euler-Lagrange Gleichungen in die linke Seite ausführlich überprüfen kann).

(Beiseite: Wenn man versucht, das Analogon des Bezirks-Takahashi dieser Gleichung zu finden, läuft man in ein Problem wegen Anomalien.)

Anwendungen

Die Anwendung des Lehrsatzes von Noether erlaubt Physikern, starke Einblicke in jede allgemeine Theorie in der Physik zu gewinnen, indem sie gerade die verschiedenen Transformationen analysiert wird, die die Form beteiligten invariant der Gesetze machen würden. Zum Beispiel:

• der invariance von physischen Systemen in Bezug auf die Raumübersetzung (mit anderen Worten, dass sich die Gesetze der Physik mit Positionen im Raum nicht ändern) gibt das Gesetz der Bewahrung des geradlinigen Schwungs;
• invariance in Bezug auf die Folge gibt das Gesetz der Bewahrung des winkeligen Schwungs;
• invariance in Bezug auf die Zeitübersetzung gibt das wohl bekannte Gesetz der Bewahrung der Energie

In der Quant-Feldtheorie gibt das Analogon zum Lehrsatz von Noether, der Identität des Bezirks-Takahashi, weitere Bewahrungsgesetze, wie die Bewahrung der elektrischen Anklage vom invariance in Bezug auf eine Änderung im Phase-Faktor des komplizierten Feldes der beladenen Partikel und des verbundenen Maßes des elektrischen Potenzials und Vektor-Potenzials nach.

Die Noether-Anklage wird auch im Rechnen des Wärmegewichtes von stationären schwarzen Löchern verwendet.

Siehe auch

• Anklage (Physik)
• Maß-Symmetrie
• Maß-Symmetrie (Mathematik)
• Invariant (Physik)
• Symmetrie in der Physik

Zeichen

Links

• (Ursprünglich in Gott. Nachr. 1918:235-257)
• (Ursprünglich online in Deutsch)
• John Baez (2002) "der Lehrsatz von Noether in einer Nussschale."
• Der Lehrsatz von Noether an MathPages.