In der Rechnung von Schwankungen, der Euler-Lagrange Gleichung, ist die Gleichung von Euler oder die Gleichung von Lagrange, eine Differenzialgleichung, deren Lösungen die Funktionen sind, für die ein gegebener funktioneller stationär ist. Es wurde vom schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler und italienischen Mathematiker Joseph Louis Lagrange in den 1750er Jahren entwickelt.

Weil ein differentiable funktioneller an seinen lokalen Maxima und Minima stationär ist, ist die Euler-Lagrange Gleichung nützlich, um Optimierungsprobleme zu lösen, in denen, in Anbetracht einiger funktionell, man die Funktionsminderung (oder Maximierung) sie sucht. Das ist dem Lehrsatz von Fermat in der Rechnung analog, feststellend, dass, wo eine Differentiable-Funktion seinen lokalen extrema erreicht, seine Ableitung Null ist.

In der Lagrangian Mechanik, wegen des Grundsatzes von Hamilton der stationären Handlung, wird die Evolution eines physischen Systems durch die Lösungen der Euler-Lagrange Gleichung für die Handlung des Systems beschrieben. In der klassischen Mechanik ist es zu Newtonschen Gesetzen der Bewegung gleichwertig, aber es hat den Vorteil, dass es dieselbe Form in jedem System von verallgemeinerten Koordinaten annimmt, und ihm Generalisationen besser angepasst wird.

Geschichte

Die Euler-Lagrange Gleichung wurde in den 1750er Jahren von Euler und Lagrange im Zusammenhang mit ihren Studien des tautochrone Problems entwickelt. Das ist das Problem, eine Kurve zu bestimmen, auf der eine belastete Partikel zu einem festen Punkt in einer festen Zeitdauer fallen wird, die des Startpunkts unabhängig ist.

Lagrange hat dieses Problem 1755 behoben und hat die Lösung Euler gesandt. Die zwei haben weiter die Methode von Lagrange entwickelt und haben sie auf die Mechanik angewandt, die zur Formulierung der Mechanik von Lagrangian geführt hat. Ihre Ähnlichkeit hat schließlich zur Rechnung von Schwankungen, ein Begriff geführt, der von Euler selbst 1766 ins Leben gerufen ist.

Behauptung

Die Euler-Lagrange Gleichung ist eine Gleichung, die durch eine Funktion, q, zufrieden

ist

eines echten Arguments, t, der ein stationärer Punkt des funktionellen ist

wo:

• q ist die Funktion, gefunden zu werden:

:

q \colon [a, b] \subset \mathbb {R} & \to X \\

t & \mapsto x = q (t)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

:such, dass q differentiable, q (a) = x und q (b) = x ist;

• q&prime; ist die Ableitung von q:

:

q' \colon [a, b] & \to T_ {q (t)} X \\

t & \mapsto v = q' (t)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

:TX, der das Tangente-Bündel X (der Raum von möglichen Werten von Ableitungen von Funktionen mit Werten in X) ist;

• L ist eine reellwertige Funktion mit den dauernden ersten partiellen Ableitungen:

:

L \colon [a, b] \times X \times TX & \to \mathbb {R} \\

(t, x, v) & \mapsto L (t, x, v).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Euler-Lagrange Gleichung wird dann durch gegeben

:

wo L und L die partiellen Ableitungen von L in Bezug auf die zweiten und dritten Argumente beziehungsweise anzeigen.

Wenn die Dimension des Raums X größer ist als 1, ist das ein System von Differenzialgleichungen, ein für jeden Bestandteil:

:

\quad \text {weil} ich = 1, \dots, n. </math>

::

Beispiele

Ein Standardbeispiel findet die reellwertige Funktion auf dem Zwischenraum [a, b], solch, dass f (a) = c und f (b) = d, die Länge, deren Graph so kurz ist wie möglich. Die Länge des Graphen von f ist:

:

die Integrand-Funktion, die daran wird bewertet.

Die partiellen Ableitungen von L sind:

:

\frac {\\teilweiser L (x, y, y')} {\\teilweise y\= 0. </math>

Indem

wir diese in die Euler-Lagrange Gleichung einsetzen, erhalten wir

:

\begin {richten }\aus

\frac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} x\\frac {f' (x)} {\\sqrt {1 + (f' (x)) ^2}} &= 0 \\

\frac {f' (x)} {\\sqrt {1 + (f' (x)) ^2}} &= C = \text {unveränderlich} \\

\Rightarrow f' (x) &= \frac {C} {\\sqrt {1-C^2}}: = \\

\Rightarrow f (x) &= Axt + B

\end {richten }\aus

</Mathematik>

d. h. die Funktion muss die unveränderliche erste Ableitung haben, und so ist sein Graph eine Gerade.

Klassische Mechanik

Grundlegende Methode

Um die Gleichungen von Bewegungen für ein gegebenes System zu finden, muss ein einziger diesen Schritten folgen:

• Von der kinetischen Energie und der potenziellen Energie, schätzen Lagrangian.
• Rechnen.
• Rechnen Sie und davon. Es ist dass wichtig, als eine ganze Variable in seinem eigenen Recht, und nicht als eine Ableitung behandelt werden.
• Entsprechen. Das ist die Euler-Lagrange Gleichung.
• Lösen Sie die im vorhergehenden Schritt erhaltene Differenzialgleichung. An diesem Punkt, wird "normalerweise" behandelt. Bemerken Sie, dass der obengenannte ein Gleichungssystem und nicht einfach eine Gleichung sein könnte.

Partikel in einem konservativen Kraft-Feld

Die Bewegung einer einzelnen Partikel in einem konservativen Kraft-Feld (zum Beispiel, die Gravitationskraft) kann bestimmt werden, indem sie die Handlung verlangt wird, durch den Grundsatz von Hamilton stationär zu sein. Die Handlung für dieses System ist

:

wo x (t) die Position der Partikel in der Zeit t ist. Der Punkt ist oben die Notation von Newton für die Zeitableitung: So  ist (t) die Partikel-Geschwindigkeit, v (t). In der Gleichung oben ist L Lagrangian (die kinetische Energie minus die potenzielle Energie):

:wo:

• M ist die Masse der Partikel (angenommen, in der klassischen Physik unveränderlich zu sein);
• v ist der i-th Bestandteil des Vektoren v in einem Kartesianischen Koordinatensystem (dieselbe Notation wird für andere Vektoren verwendet);
• U ist das Potenzial der konservativen Kraft.

In diesem Fall ändert sich Lagrangian mit seinem ersten Argument t nicht. (Durch den Lehrsatz von Noether entsprechen solche symmetries des Systems Bewahrungsgesetzen. Insbesondere der invariance von Lagrangian in Bezug auf die Zeit bezieht die Bewahrung der Energie ein.)

Durch die teilweise Unterscheidung obengenannten Lagrangian finden wir:

:

\frac {\\teilweiser L (t, \mathbf {x}, \mathbf {v})} {\\teilweiser v_i} = M v_i = p_i, </Mathematik>

wo die Kraft F = &minus;U (der negative Anstieg des Potenzials, definitionsgemäß der konservativen Kraft) ist, und p der Schwung ist.

Indem

wir diese in die Euler-Lagrange Gleichung einsetzen, erhalten wir ein System von Differenzialgleichungen der zweiten Ordnung für die Koordinaten auf der Schussbahn der Partikel,

:

der auf dem Zwischenraum [t, t], in Anbetracht des Grenzwertx (t) und x (t) gelöst werden kann.

In der Vektor-Notation liest dieses System

:

oder, mit dem Schwung,

:

der das zweite Gesetz von Newton ist.

Schwankungen für mehrere Funktionen, mehrere Variablen und höhere Ableitungen

Einzelne Funktion der einzelnen Variable mit höheren Ableitungen

Die stationären Werte des funktionellen

:

Ich [f] = \int_ {x_0} ^ {x_1} \mathcal {L} (x, f, f', f, \dots, f^ {(n)}) ~ \mathrm {d} x ~; ~~

f': = \cfrac {\\mathrm {d} f\{\\mathrm {d} x\, ~f: = \cfrac {\\mathrm {d} ^2f} {\\mathrm {d} x^2}, ~

f^ {(n)}: = \cfrac {\\mathrm {d} ^nf} {\\mathrm {d} x^n }\

</Mathematik>

kann bei der Euler-Lagrange Gleichung erhalten werden

:

\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweise f\-\cfrac {\\mathrm {d}} {\\mathrm {d} x }\\ist (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f' }\\Recht) + \cfrac {\\mathrm {d} ^2} {\\mathrm {d} x^2 }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f }\\Recht) - \dots + abgereist

(-1) ^n \cfrac {\\mathrm {d} ^n} {\\mathrm {d} x^n }\\ist (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f^ {(n)} }\\Recht) = 0 abgereist

</Mathematik>

Mehrere Funktionen einer Variable

Wenn das Problem Entdeckung mehrerer Funktionen von einer einzelnen unabhängigen Variable einschließt , die einen extremum des funktionellen definieren

:

Ich [f_1, f_2, \dots, f_n] = \int_ {x_0} ^ {x_1} \mathcal {L} (x, f_1, f_2, \dots, f_n, f_1', f_2', \dots, f_n') ~ \mathrm {d} x

~; ~~ f_i': = \cfrac {\\mathrm {d} f_i} {\\mathrm {d} x }\

</Mathematik>

dann sind die entsprechenden Euler-Lagrange Gleichungen

:

\begin {richten }\aus

\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_1} - \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser x }\\ist (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_1' }\\Recht) - \sum_ {i=1} ^n \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser f_i }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_1' }\\Recht) f_i' - \sum_ {i=1} ^n \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser f_i' }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_1' }\\Recht) f_i & = 0 \\abgereist

\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_2} - \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser x }\\ist (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_2' }\\Recht) - \sum_ {i=1} ^n \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser f_i }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_2' }\\Recht) f_i' - \sum_ {i=1} ^n \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser f_i' }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_2' }\\Recht) f_i & = 0 \\abgereist

\dots \dots \dots \dots \dots & \\

\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_n} - \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser x }\\ist (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_n' }\\Recht) - \sum_ {i=1} ^n \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser f_i }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_n' }\\Recht) f_i' - \sum_ {i=1} ^n \cfrac {\\teilweise} {\\teilweiser f_i' }\\link (\cfrac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_n' }\\Recht) f_i & = 0 abgereist

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Einzelne Funktion von mehreren Variablen

Eine mehrdimensionale Generalisation kommt daraus, eine Funktion auf n Variablen zu denken. Wenn Ω eine Oberfläche, dann ist

:

Ich [f] = \int_ {\\Omega} \mathcal {L} (x_1, \dots, x_n, f, f_ {x_1}, \dots, f_ {x_n}) \, \mathrm {d }\\mathbf {x }\\, \! ~; ~~

f_ {x_i}: = \cfrac {\\teilweise f\{\\teilweiser x_i }\

</Mathematik>

ist extremized nur, wenn f die teilweise Differenzialgleichung befriedigt

:

Wenn n = 2 und die funktionelle Energie ist, führt das zum Seife-Film minimales Oberflächenproblem.

Mehrere Funktionen von mehreren Variablen

Wenn es mehrere unbekannte Funktionen gibt, bestimmt zu werden, und mehrere solche Variablen dass

:

Ich [f_1, f_2, \dots, f_m] = \int_ {\\Omega} \mathcal {L} (x_1, \dots, x_n, f_1, \dots, f_m, f_ {1,1}, \dots, f_ {1, n}, \dots, f_ {M, 1}, \dots, f_ {M, n}) \, \mathrm {d }\\mathbf {x }\\, \! ~; ~~

f_ {j, ich}: = \cfrac {\\teilweiser f_j} {\\teilweiser x_i }\

</Mathematik>

das System von Euler-Lagrange Gleichungen ist

:

\begin {richten }\aus

\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_1} - \sum_ {i=1} ^ {n} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser x_i} \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {1, ich}} & = 0 \\

\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_2} - \sum_ {i=1} ^ {n} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser x_i} \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {2, ich}} & = 0 \\

\dots \quad \dots \qquad \dots & \\

\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_m} - \sum_ {i=1} ^ {n} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser x_i} \frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {M, ich}} & = 0

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Einzelne Funktion von zwei Variablen mit höheren Ableitungen

Wenn es eine einzelne unbekannte Funktion f gibt, um beschlossen zu werden, dass das von zwei Variablen x und x abhängig ist, und wenn das funktionelle von höheren Ableitungen von f bis zur n-ten solcher Ordnung dass abhängt

: \begin {richten }\aus

Ich [f] & = \int_ {\\Omega} \mathcal {L} (x_1, x_2, f, f_ {1}, f_ {2}, f_ {11}, f_ {12}, f_ {22},

\dots, f_ {22\dots 2}) \, \mathrm {d }\\mathbf {x} \\

& \qquad \quad

f_ {ich}: = \cfrac {\\teilweise f\{\\teilweiser x_i} \; \quad

f_ {ij}: = \cfrac {\\partial^2 f\{\\teilweiser x_i\partial x_j} \; \; \; \dots

\end {richten }\aus</Mathematik>

dann ist die Euler-Lagrange Gleichung

: \begin {richten }\aus

\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f }\

& - \frac {\\teilweise} {\\ist teilweiser x_1 }\\(\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {1} }\\Recht) abgereist

- \frac {\\teilweise} {\\teilweiser x_2 }\\ist (\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {2} }\\Recht) abgereist

+ \frac {\\partial^2} {\\teilweiser x_1^2 }\\ist (\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {11} }\\Recht) abgereist

+ \frac {\\partial^2} {\\teilweiser x_1\partial x_2 }\\ist (\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {12} }\\Recht) abgereist

+ \frac {\\partial^2} {\\teilweiser x_2^2 }\\ist (\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {22} }\\Recht) \\abgereist

& - \dots

+ (-1) ^n \frac {\\partial^n} {\\ist teilweiser x_2^n }\\(\frac {\\teilweiser \mathcal {L}} {\\teilweiser f_ {22\dots 2} }\\Recht) = 0 abgereist

\end {richten }\aus </Mathematik>

Referenzen

Siehe auch

• Mechanik von Lagrangian
• Mechanik von Hamiltonian
• Analytische Mechanik
• Identität von Beltrami