In der Rechnung, einem Zweig der Mathematik, ist die Ableitung ein Maß dessen, wie sich eine Funktion ändert, wie sich sein Eingang ändert. Lose sprechend, kann von einer Ableitung als gedacht werden, wie viel eine Menge als Antwort auf Änderungen in einer anderen Menge ändert; zum Beispiel ist die Ableitung der Position eines bewegenden Gegenstands in Bezug auf die Zeit die sofortige Geschwindigkeit des Gegenstands.

Die Ableitung einer Funktion an einem gewählten Eingangswert beschreibt die beste geradlinige Annäherung der Funktion in der Nähe von diesem Eingangswert. Für eine reellwertige Funktion einer einzelnen echten Variable kommt die Ableitung an einem Punkt dem Hang der Tangente-Linie zum Graphen der Funktion an diesem Punkt gleich. In höheren Dimensionen ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt eine geradlinige Transformation genannt den linearization. Ein nah zusammenhängender Begriff ist das Differenzial einer Funktion.

Der Prozess, eine Ableitung zu finden, wird Unterscheidung genannt. Der Rückprozess wird Antiunterscheidung genannt. Der Hauptsatz der Rechnung stellt fest, dass Antiunterscheidung dasselbe als Integration ist. Unterscheidung und Integration setzen die zwei grundsätzlichen Operationen in der einzeln-variablen Rechnung ein.

Unterscheidung und die Ableitung

Unterscheidung ist eine Methode, die Rate zu schätzen, an der sich eine abhängige Produktion y in Bezug auf die Änderung im unabhängigen Eingang x ändert. Diese Rate der Änderung wird die Ableitung von y in Bezug auf x genannt. Auf der genaueren Sprache bedeutet die Abhängigkeit von y auf x, dass y eine Funktion von x ist. Diese funktionelle Beziehung wird häufig y = f (x) angezeigt, wo f die Funktion anzeigt. Wenn x und y reelle Zahlen sind, und wenn der Graph von y gegen x geplant wird, misst die Ableitung den Hang dieses Graphen an jedem Punkt.

Der einfachste Fall ist, wenn y eine geradlinige Funktion von x ist, bedeutend, dass der Graph von y gegen x eine Gerade ist. In diesem Fall, y = f (x) = M x + b, für reelle Zahlen werden M und b und die SteigungsM durch gegeben

:

wo das Symbol Δ (die Großschrift-Form des griechischen Briefs Delta) eine Abkürzung für die "Änderung darin ist." Diese Formel ist weil wahr

:y + Δy = f (x + Δx) = M (x + Δx) + b = M x + b + M Δx = y +

mΔx.

Hieraus folgt dass Δy = M Δx.

Das gibt einen genauen Wert für den Hang einer Gerade.

Wenn die Funktion f nicht geradlinig ist (d. h. sein Graph nicht eine Gerade ist), jedoch, dann ändert sich die Änderung in y, der durch die Änderung in x geteilt ist: Unterscheidung ist eine Methode, einen genauen Wert für diese Rate der Änderung an jedem gegebenen Wert von x zu finden.

Die Idee, die durch Abbildungen 1-3 illustriert ist, ist, die Rate der Änderung als der Begrenzungswert des Verhältnisses der Unterschiede Δy / Δx zu schätzen, weil Δx ungeheuer klein wird.

In der Notation von Leibniz wird solch eine unendlich kleine Änderung in x durch dx angezeigt, und die Ableitung von y in Bezug auf x wird geschrieben

:

das Vorschlagen des Verhältnisses von zwei unendlich kleinen Mengen. (Der obengenannte Ausdruck wird als "die Ableitung von y in Bezug auf x", "d y durch d x", oder "d y über d x" gelesen. Die mündliche Form "d y d x" wird häufig gesprächig verwendet, obwohl sie zu Verwirrung führen kann.)

Der grösste Teil der einheitlichen Methode, um diese intuitive Idee in eine genaue Definition zu verwandeln, verwendet Grenzen, aber es gibt andere Methoden wie Sonderanalyse.

Definition über Unterschied-Quotienten

Lassen Sie f eine echte geschätzte Funktion sein. In der klassischen Geometrie, der Tangente-Linie zum Graphen der Funktion f an einer reellen Zahl der einzigartigen Linie durch den Punkt (a, f (a)) zu sein, der den Graphen von f schräg nicht entsprochen hat, bedeutend, dass die Linie gerade durch den Graphen nicht gegangen ist. Die Ableitung von y in Bezug auf x dabei, geometrisch, dem Hang der Tangente-Linie zum Graphen von f an a zu sein. Der Hang der Tangente-Linie ist sehr dem Hang der Linie durch (a, f (a)) und ein nahe gelegener Punkt auf dem Graphen zum Beispiel nah. Diese Linien werden schneidende Linien genannt. Ein Wert von h in der Nähe von der Null gibt eine gute Annäherung an den Hang der Tangente-Linie, und kleinere Werte (im absoluten Wert) h werden im Allgemeinen bessere Annäherungen geben. Die SteigungsM der schneidenden Linie ist der Unterschied zwischen den y Werten dieser Punkte, die durch den Unterschied zwischen den X-Werten, d. h. geteilt sind

:

Dieser Ausdruck ist der Unterschied-Quotient von Newton. Die Ableitung ist der Wert des Unterschied-Quotienten, weil sich die schneidenden Linien der Tangente-Linie nähern. Formell, die Ableitung der Funktion f dabei, der Grenze zu sein

:

des Unterschied-Quotienten weil nähert sich h Null, wenn diese Grenze besteht. Wenn die Grenze besteht, dann ist f differentiable an a. Hier f′ (a) ist eine von mehreren allgemeinen Notationen für die Ableitung (sieh unten).

Gleichwertig befriedigt die Ableitung das Eigentum das

:

der die intuitive Interpretation hat (sieh Abbildung 1), dass die Tangente-Linie zu f bei einem Geben der besten geradlinigen Annäherung

:

zu f in der Nähe von (d. h., für kleinen h). Diese Interpretation ist am leichtesten, zu anderen Einstellungen (sieh unten) zu verallgemeinern.

Das Auswechseln 0 für h im Unterschied-Quotienten verursacht Abteilung durch die Null, so kann der Hang der Tangente-Linie nicht direkt mit dieser Methode gefunden werden. Definieren Sie statt dessen Q (h), um der Unterschied-Quotient als eine Funktion von h zu sein:

:

Q ist (h) der Hang der schneidenden Linie zwischen (a, f (a)) und (+ h, f (+ h)). Wenn f eine dauernde Funktion ist, bedeutend, dass sein Graph eine ungebrochene Kurve ohne Lücken ist, dann ist Q eine dauernde Funktion weg davon. Wenn die Grenze besteht, bedeutend, dass es eine Weise gibt, einen Wert für Q (0) zu wählen, der den Graphen von Q eine dauernde Funktion macht, dann ist die Funktion f differentiable an a und seine Ableitung bei einem Gleichkommen Q (0).

In der Praxis wird die Existenz einer dauernden Erweiterung des Unterschied-Quotienten Q (h) dazu durch das Ändern des Zählers gezeigt, um h im Nenner zu annullieren. Dieser Prozess kann lang und für komplizierte Funktionen langweilig sein, und viele Abkürzungen werden allgemein verwendet, um den Prozess zu vereinfachen.

Beispiel

Die Quadrieren-Funktion f (x) = x ² ist differentiable an x = 3, und seine Ableitung dort ist 6. Dieses Ergebnis wird durch das Rechnen der Grenze gegründet, weil sich h Null des Unterschied-Quotienten von f (3) nähert:

:

Der letzte Ausdruck zeigt, dass der Unterschied-Quotient 6 + h gleich ist, wenn h  0 und wenn h = 0, wegen der Definition des Unterschied-Quotienten unbestimmt ist. Jedoch sagt die Definition der Grenze, dass der Unterschied-Quotient wenn h = 0 nicht definiert zu werden braucht. Die Grenze ist das Ergebnis, h zur Null gehen zu lassen, bedeutend, dass es der Wert ist, der dazu neigt, weil h sehr klein wird:

:

Folglich ist der Hang des Graphen der Quadrieren-Funktion am Punkt (3, 9) 6, und so ist seine Ableitung an x = 3 f' (3) = 6.

Mehr allgemein zeigt eine ähnliche Berechnung, dass die Ableitung des Quadrierens an x = fungiert f' (a) = 2a zu sein.

Kontinuität und differentiability

Wenn y = f (x) differentiable an a ist, dann muss f auch an a dauernd sein. Als ein Beispiel, wählen Sie einen Punkt a und lassen Sie f die Schritt-Funktion sein, die einen Wert zurückgibt, sagen Sie 1, für den ganzen x weniger als a, und gibt einen verschiedenen Wert zurück, sagen Sie 10, für den ganzen x größer oder gleich a. kann f keine Ableitung an a haben. Wenn h negativ ist, dann + ist h auf dem niedrigen Teil des Schritts, so ist die schneidende Linie von bis + h sehr steil, und weil h zur Null neigt, neigt der Hang zur Unendlichkeit. Wenn h positiv ist, dann + ist h auf dem hohen Teil des Schritts, so hat die schneidende Linie von bis + h Steigungsnull. Folglich nähern sich die schneidenden Linien keinem einzelnen Hang, so besteht die Grenze des Unterschied-Quotienten nicht.

Jedoch, selbst wenn eine Funktion an einem Punkt dauernd ist, kann es nicht differentiable dort sein. Zum Beispiel ist die absolute Wertfunktion y = |x an x = 0 dauernd, aber es ist nicht differentiable dort. Wenn h positiv ist, dann ist der Hang der schneidenden Linie von 0 bis h ein, wohingegen, wenn h negativ ist, dann ist der Hang der schneidenden Linie von 0 bis h negativer. Das kann grafisch als ein "Knick" oder eine "Spitze" im Graphen an x = 0 gesehen werden. Sogar eine Funktion mit einem glatten Graphen ist nicht differentiable an einem Punkt, wo seine Tangente vertikal ist: Zum Beispiel ist die Funktion nicht differentiable daran.

In der Zusammenfassung: Für eine Funktion f, um eine Ableitung zu haben, ist es für die Funktion f notwendig, dauernd zu sein, aber Kontinuität allein ist nicht genügend.

Die meisten Funktionen, die in der Praxis vorkommen, haben Ableitungen an allen Punkten oder an fast jedem Punkt. Früh in der Geschichte der Rechnung haben viele Mathematiker angenommen, dass eine dauernde Funktion differentiable an den meisten Punkten war. Unter milden Bedingungen zum Beispiel wenn die Funktion eine Eintönigkeitsfunktion oder eine Funktion von Lipschitz ist, ist das wahr. Jedoch 1872 hat Weierstrass das erste Beispiel einer Funktion gefunden, die überall, aber differentiable nirgends dauernd ist. Dieses Beispiel ist jetzt als die Funktion von Weierstrass bekannt. 1931 hat Stefan Banach bewiesen, dass der Satz von Funktionen, die eine Ableitung an einem Punkt haben, ein spärlicher Satz im Raum von allen dauernden Funktionen ist. Informell bedeutet das, dass kaum irgendwelche dauernden Funktionen eine Ableitung an sogar einem Punkt haben.

Die Ableitung als eine Funktion

Lassen Sie f eine Funktion sein, die eine Ableitung an jedem Punkt im Gebiet von f hat. Weil jeder Punkt ein Haben einer Ableitung, es gibt eine Funktion, die den Punkt an die Ableitung von f an a sendet. Diese Funktion wird f&prime geschrieben; (x) und wird die abgeleitete Funktion oder die Ableitung von f genannt. Die Ableitung von f sammelt alle Ableitungen von f an allen Punkten im Gebiet von f.

Manchmal hat f eine Ableitung höchstens, aber nicht alle, Punkte seines Gebiets. Die Funktion deren Wert bei einem Gleichkommen f′ (a) wann auch immer f′ (a) wird definiert und anderswohin ist unbestimmt wird auch die Ableitung von f genannt. Es ist noch eine Funktion, aber sein Gebiet ist ausschließlich kleiner als das Gebiet von f.

Mit dieser Idee wird Unterscheidung eine Funktion von Funktionen: Die Ableitung ist ein Maschinenbediener, dessen Gebiet der Satz aller Funktionen ist, die Ableitungen an jedem Punkt ihres Gebiets haben, und dessen Reihe eine Reihe von Funktionen ist. Wenn wir diesen Maschinenbediener durch D anzeigen, dann ist D (f) die Funktion f′ (x). Seitdem D ist (f) eine Funktion, er kann an einem Punkt a bewertet werden. Durch die Definition der abgeleiteten Funktion.

Denken Sie zum Vergleich die sich verdoppelnde Funktion; f ist eine reellwertige Funktion einer reellen Zahl, bedeutend, dass er Zahlen als Eingänge nimmt und Zahlen als Produktionen hat:

:

1 & {}\\mapsto 2, \\

2 & {}\\mapsto 4, \\

3 & {}\\mapsto 6.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Der Maschinenbediener D wird jedoch auf individuellen Zahlen nicht definiert. Es wird nur auf Funktionen definiert:

:

D (x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0), \\

D (x \mapsto x) &= (x \mapsto 1), \\

D (x \mapsto x^2) &= (x \mapsto 2\cdot x).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Weil die Produktion von D eine Funktion ist, kann die Produktion von D an einem Punkt bewertet werden. Zum Beispiel, wenn D auf die Quadrieren-Funktion, angewandt wird

:

D Produktionen die sich verdoppelnde Funktion,

:

den wir f (x) genannt haben. Diese Produktionsfunktion kann dann bewertet werden, um und so weiter zu kommen.

Höhere Ableitungen

Lassen Sie f eine Differentiable-Funktion sein, und f&prime zu lassen; (x), seine Ableitung sein. Die Ableitung (wenn es einen hat) wird geschrieben und wird die zweite Ableitung von f genannt. Ähnlich wird die Ableitung einer zweiten Ableitung, wenn es besteht, geschrieben und wird die dritte Ableitung von f genannt. Diese wiederholten Ableitungen werden höherwertige Ableitungen genannt.

Wenn x (t) die Position eines Gegenstands in der Zeit t vertritt, dann haben die höherwertigen Ableitungen von x physische Interpretationen. Die zweite Ableitung von x ist die Ableitung x&prime; (t) die Geschwindigkeit, und definitionsgemäß ist das die Beschleunigung des Gegenstands. Die dritte Ableitung von x wird definiert, um der Ruck zu sein, und die vierte Ableitung wird definiert, um der Stoß zu sein.

Eine Funktion f braucht keine Ableitung zum Beispiel zu haben, wenn es nicht dauernd ist. Ähnlich, selbst wenn f wirklich eine Ableitung hat, kann er keine zweite Ableitung haben. Lassen Sie zum Beispiel

:

Berechnung zeigt, dass f eine Differentiable-Funktion ist, deren Ableitung ist

:

ist zweimal die absolute Wertfunktion, und sie hat keine Ableitung an der Null. Ähnliche Beispiele zeigen, dass eine Funktion k Ableitungen für jede natürliche Zahl k haben kann, aber nicht (k + 1) - bestellen Ableitung. Eine Funktion, die k aufeinander folgende Ableitungen hat, wird k Zeiten differentiable genannt'. Wenn außerdem die kth Ableitung dauernd ist, dann, wie man sagt, ist die Funktion der differentiability Klasse C. (Das ist eine stärkere Bedingung als, k Ableitungen zu haben. Für ein Beispiel, sieh differentiability Klasse.) Wird eine Funktion, die ungeheuer viele Ableitungen hat, ungeheuer differentiable oder glatt genannt.

Auf der echten Linie ist jede polynomische Funktion ungeheuer differentiable. Durch Standardunterscheidungsregeln, wenn ein Polynom des Grads n n Zeiten unterschieden wird, dann wird es eine unveränderliche Funktion. Alle seine nachfolgenden Ableitungen sind identisch Null-. Insbesondere sie bestehen, so sind Polynome glatte Funktionen.

Die Ableitungen einer Funktion f an einem Punkt x stellen polynomische Annäherungen an diese Funktion nahe x zur Verfügung. Zum Beispiel, wenn f zweimal differentiable, dann ist

:

im Sinn das

:

Wenn f ungeheuer differentiable ist, dann ist das der Anfang der Reihe von Taylor für f.

Beugungspunkt

Ein Punkt, wo die zweite Ableitung einer Funktion Zeichen ändert, wird einen Beugungspunkt genannt. An einem Beugungspunkt kann die zweite Ableitung Null sein, weil im Fall von der Beugung x=0 der Funktion y=x anspitzen, oder es scheitern kann zu bestehen, weil im Fall von der Beugung x=0 der Funktion y=x anspitzen. An einem Beugungspunkt schaltet eine Funktion davon um, eine konvexe Funktion dazu zu sein, eine konkave Funktion oder umgekehrt zu sein.

Notationen für die Unterscheidung

Die Notation von Leibniz

Die Notation für von Gottfried Leibniz eingeführte Ableitungen ist einer der frühsten. Es wird noch allgemein verwendet, wenn die Gleichung als eine funktionelle Beziehung zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen angesehen wird. Dann wird die erste Ableitung durch angezeigt

:

und wurde einmal als ein unendlich kleiner Quotient gedacht. Höhere Ableitungen werden mit der Notation ausgedrückt

:

\quad\frac {d^n f} {Dx^n} (x),

\; \; \mathrm {oder }\\; \;

\frac {d^n} {dx^n} f (x) </Mathematik>

für die n-te Ableitung (in Bezug auf x). Das sind Abkürzungen für vielfache Anwendungen des abgeleiteten Maschinenbedieners. Zum Beispiel,

:

Mit der Notation von Leibniz können wir die Ableitung von y am Punkt auf zwei verschiedene Weisen schreiben:

:

Die Notation von Leibniz erlaubt, die Variable für die Unterscheidung (im Nenner) anzugeben. Das ist für die teilweise Unterscheidung besonders wichtig. Es lässt auch die Kette leicht herrschen sich zu erinnern:

:

Die Notation von Lagrange

Manchmal gekennzeichnet als Hauptnotation ist eine der allgemeinsten modernen Notationen für die Unterscheidung wegen Joseph-Louis Lagranges und verwendet das Hauptzeichen, so dass die Ableitung einer Funktion f (x) f&prime angezeigt wird; (x) oder einfach f&prime;. ähnlich werden die zweiten und dritten Ableitungen angezeigt

:

Um die Zahl von Ableitungen außer diesem Punkt anzuzeigen, verwenden einige Autoren Römische Ziffern im Exponenten, wohingegen andere die Zahl in Parenthesen legen:

: &emsp; oder &emsp;

Die letzte Notation verallgemeinert, um die Notation f für die n-te Ableitung von f nachzugeben — diese Notation ist am nützlichsten, wenn wir über die Ableitung als seiend eine Funktion selbst sprechen möchten, weil in diesem Fall die Notation von Leibniz beschwerlich werden kann.

Die Notation des Newtons

Die Notation des Newtons für die Unterscheidung, auch genannt die Punktnotation, legt einen Punkt über den Funktionsnamen, um eine Zeitableitung zu vertreten. Wenn y = f (t), dann

: &emsp; und &emsp;

zeigen Sie beziehungsweise, die ersten und zweiten Ableitungen von y in Bezug auf t an. Diese Notation wird exklusiv für Zeitableitungen verwendet, bedeutend, dass die unabhängige Variable der Funktion Zeit vertritt. Es ist in der Physik und in mathematischen Disziplinen sehr üblich, die mit der Physik wie Differenzialgleichungen verbunden sind. Während die Notation schwer zu handhabend für Ableitungen der hohen Ordnung wird, in der Praxis sind nur sehr wenige Ableitungen erforderlich.

Die Notation von Euler

Die Notation von Euler verwendet einen Differenzialoperatoren D, der auf eine Funktion f angewandt wird, um ersten abgeleiteten Df zu geben. Die zweite Ableitung ist angezeigter Df, und die n-te Ableitung ist angezeigter Df.

Wenn y = f (x) eine abhängige Variable ist, dann häufig wird die Subschrift x dem D beigefügt, um die unabhängige Variable x zu klären.

Die Notation von Euler wird dann geschrieben

: &emsp; oder &emsp;

obwohl diese Subschrift häufig weggelassen wird, wenn die Variable x zum Beispiel verstanden wird, wenn das die einzige variable Gegenwart im Ausdruck ist.

Die Notation von Euler ist nützlich, um lineare Differenzialgleichungen festzusetzen und zu lösen.

Computerwissenschaft der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion kann im Prinzip aus der Definition durch das Betrachten des Unterschied-Quotienten und die Computerwissenschaft seiner Grenze geschätzt werden. In der Praxis, sobald die Ableitungen von einigen einfachen Funktionen bekannt sind, werden die Ableitungen anderer Funktionen leichter mit Regeln geschätzt, um Ableitungen von mehr komplizierten Funktionen von einfacheren zu erhalten.

Ableitungen von Elementarfunktionen

Der grösste Teil abgeleiteten Berechnung verlangt schließlich Einnahme der Ableitung von einigen allgemeinen Funktionen. Die folgende unvollständige Liste gibt einige der am häufigsten verwendeten Funktionen einer einzelnen echten Variable und ihrer Ableitungen.

• Ableitungen von Mächten: wenn

:

wo r jede reelle Zahl, dann ist

:

wo auch immer diese Funktion definiert wird. Zum Beispiel, wenn, dann

:

und die abgeleitete Funktion wird nur für positiven x definiert, nicht dafür. Wenn r = 0, diese Regel das f&prime einbezieht; (x) ist Null dafür, der fast die unveränderliche Regel ist (hat unten festgesetzt).

• Logarithmische und Exponentialfunktionen:

::::

• Trigonometrische Funktionen:

:::

• Umgekehrte trigonometrische Funktionen:

:::

Regeln, für die Ableitung zu finden

In vielen Fällen können komplizierte Grenze-Berechnungen durch die direkte Anwendung des Unterschied-Quotienten von Newton mit Unterscheidungsregeln vermieden werden. Einige der grundlegendsten Regeln sind das folgende.

• Unveränderliche Regel: Wenn f (x), dann unveränderlich

ist:

• Summe-Regel:

: für alle Funktionen f und g und alle reellen Zahlen a und b.

• Produktregel:

: für alle Funktionen f und g. Durch die Erweiterung bedeutet das, dass die Ableitung einer Konstante Zeiten eine Funktion die unveränderlichen Zeiten die Ableitung der Funktion ist:

• Quotientenregel:

: für alle Funktionen f und g an allen Eingängen wo g  0.

• Kettenregel: Wenn, dann

:

Beispiel-Berechnung

Die Ableitung von

:

ist

:

\begin {richten }\aus

f' (x) &= 4 x^ {(4-1)} + \frac {d\left (x^2\right)} {dx }\\weil (x^2) - \frac {d\left (\ln {x }\\Recht)} {dx} e^x - \ln {x} \frac {d\left (e^x\right)} {dx} + 0 \\

&= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac {1} {x} e^x - \ln (x) e^x.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Hier wurde der zweite Begriff mit der Kettenregel und dem Drittel mit der Produktregel geschätzt. Die bekannten Ableitungen der Elementarfunktionen x, x, Sünde (x), ln (x) und exp (x) = e, sowie die unveränderlichen 7, wurden auch verwendet.

Ableitungen in höheren Dimensionen

Ableitungen des Vektoren haben Funktionen geschätzt

Eine Vektor-geschätzte Funktion y (t) einer echten Variable sendet reelle Zahlen an Vektoren in einem Vektorraum R. Eine Vektor-geschätzte Funktion kann in seine Koordinatenfunktionen y (t), y (t), …, y (t) aufgeteilt werden, dass y (t) = (y (t)..., y (t)) bedeutend. Das, schließt zum Beispiel, parametrische Kurven in R oder R ein. Die Koordinatenfunktionen sind echte geschätzte Funktionen, so gilt die obengenannte Definition der Ableitung für sie. Die Ableitung von y (t) wird definiert, um der Vektor, genannt den Tangente-Vektoren zu sein, dessen Koordinaten die Ableitungen der Koordinatenfunktionen sind. Das, ist

:

Gleichwertig,

:

wenn die Grenze besteht. Die Subtraktion im Zähler ist Subtraktion von Vektoren, nicht Skalare. Wenn die Ableitung von y für jeden Wert von t, dann y&prime besteht; ist geschätzte Funktion eines anderen Vektoren.

Wenn e, …, e die Standardbasis für R ist, dann kann y (t) auch als y (t) e + … + y (t) e geschrieben werden. Wenn wir annehmen, dass die Ableitung einer Vektor-geschätzten Funktion das Linearitätseigentum behält, dann muss die Ableitung von y (t) sein

:

weil jeder der Basisvektoren eine Konstante ist.

Diese Generalisation ist zum Beispiel nützlich, wenn y (t) der Positionsvektor einer Partikel in der Zeit t ist; dann die Ableitung y&prime; (t) ist der Geschwindigkeitsvektor der Partikel in der Zeit t.

Partielle Ableitungen

Nehmen Sie an, dass f eine Funktion ist, die von mehr als einer Variable abhängt. Zum Beispiel,

:

f kann als eine Familie von Funktionen einer durch die anderen Variablen mit einem Inhaltsverzeichnis versehener Variable wiederinterpretiert werden:

:

Mit anderen Worten wählt jeder Wert von x eine Funktion, hat f angezeigt, der eine Funktion einer reeller Zahl ist. Das, ist

::

Sobald ein Wert von x, sagen wir a, dann f gewählt wird (x, y) bestimmt eine Funktion f, der y an einen ² + ja + y ² sendet:

:

In diesem Ausdruck, einer Konstante, nicht einer Variable zu sein, so ist f eine Funktion von nur einer echter Variable. Folglich gilt die Definition der Ableitung für eine Funktion einer Variable:

:

Das obengenannte Verfahren kann für jede Wahl von a durchgeführt werden. Die Versammlung der Ableitungen zusammen in eine Funktion gibt eine Funktion, die die Schwankung von f in der y Richtung beschreibt:

:

Das ist die partielle Ableitung von f in Bezug auf y. Hier ist  ein rund gemachter d genannt das Symbol der partiellen Ableitung. Um es aus dem Brief d zu unterscheiden, wird  manchmal "der", "del", oder "teilweise" statt "dee" ausgesprochen.

Im Allgemeinen wird die partielle Ableitung einer Funktion f (x, …, x) in der Richtung x am Punkt (ein …, a) definiert, um zu sein:

:

Im obengenannten Unterschied-Quotienten werden alle Variablen außer x fest gehalten. Diese Wahl von festen Werten bestimmt eine Funktion einer Variable

:

und, definitionsgemäß,

:

Mit anderen Worten, die verschiedenen Wahlen eines Index eine Familie von Ein-Variable-Funktionen ebenso im Beispiel oben. Dieser Ausdruck zeigt auch, dass die Berechnung von partiellen Ableitungen zur Berechnung von Ein-Variable-Ableitungen abnimmt.

Ein wichtiges Beispiel einer Funktion von mehreren Variablen ist von einer skalargeschätzten Funktion f (x... x) auf einem Gebiet im Euklidischen Raum R (z.B, auf R ² oder R ³) der Fall. In diesem Fall hat f eine partielle Ableitung f /  x in Bezug auf jede Variable x. Am Punkt a definieren diese partiellen Ableitungen den Vektoren

:

Dieser Vektor wird den Anstieg von f an a genannt. Wenn f differentiable an jedem Punkt in einem Gebiet ist, dann ist der Anstieg eine Vektor-geschätzte Funktion f, der den Punkt zum Vektoren f (a) nimmt. Folglich bestimmt der Anstieg ein Vektorfeld.

Richtungsableitungen

Wenn f eine reellwertige Funktion auf R ist, dann messen die partiellen Ableitungen von f seine Schwankung in der Richtung auf die Koordinatenäxte. Zum Beispiel, wenn f eine Funktion von x und y ist, dann messen seine partiellen Ableitungen die Schwankung in f in der x Richtung und der y Richtung. Sie messen jedoch die Schwankung von f in keiner anderen Richtung, solcher als entlang der diagonalen Linie y = x direkt. Diese werden mit Richtungsableitungen gemessen. Wählen Sie einen Vektoren

:

Die Richtungsableitung von f in der Richtung auf v am Punkt x ist die Grenze

:

In einigen Fällen kann es leichter sein, die Richtungsableitung nach dem Ändern der Länge des Vektoren zu schätzen oder zu schätzen. Häufig wird das getan, um das Problem in die Berechnung einer Richtungsableitung in der Richtung auf einen Einheitsvektor zu verwandeln. Um zu sehen, wie das arbeitet, nehmen Sie das v = λu an. Setzen Sie h = k/λ in den Unterschied-Quotienten ein. Der Unterschied-Quotient wird:

:

\lambda\cdot\frac {f (\mathbf {x} + k\mathbf {u}) - f (\mathbf {x})} {k}. </Mathematik>

Das ist λ Zeiten der Unterschied-Quotient für die Richtungsableitung von f in Bezug auf u. Außerdem die Grenze weil nehmend, neigt h zur Null ist dasselbe als Einnahme der Grenze, weil k zur Null neigt, weil h und k Vielfachen von einander sind. Deshalb D (f) = λD (f). Wegen dieses wiederkletternden Eigentums werden Richtungsableitungen oft nur für Einheitsvektoren betrachtet.

Wenn alle partiellen Ableitungen von f bestehen und an x dauernd sind, dann bestimmen sie die Richtungsableitung von f in der Richtung v durch die Formel:

:

Das ist eine Folge der Definition der Gesamtableitung. Hieraus folgt dass die Richtungsableitung in v geradlinig ist, dass D (f) = D (f) + D (f) bedeutend.

Dieselbe Definition arbeitet auch, wenn f eine Funktion mit Werten in R ist. Die obengenannte Definition wird auf jeden Bestandteil der Vektoren angewandt. In diesem Fall ist die Richtungsableitung ein Vektor in R.

Ganzes, abgeleitetes Gesamtdifferenzial und Matrix von Jacobian

Wenn f eine Funktion von einer offenen Teilmenge von R zu R ist, dann ist die Richtungsableitung von f in einer gewählten Richtung die beste geradlinige Annäherung an f an diesem Punkt und in dieser Richtung. Aber wenn keine einzelne Richtungsableitung ein ganzes Bild des Verhaltens von f geben kann. Die Gesamtableitung, auch genannt das (ganze) Differenzial, gibt ein ganzes Bild durch das Betrachten aller Richtungen sofort. D. h. für jeden Vektoren v, an a anfangend, hält die geradlinige Annäherungsformel:

:

Gerade wie die einzeln-variable Ableitung, wird gewählt, so dass der Fehler in dieser Annäherung so klein wie möglich ist.

Wenn n und M sowohl ein sind, dann ist die Ableitung eine Zahl als auch der Ausdruck ist das Produkt von zwei Zahlen. Aber in höheren Dimensionen ist es unmöglich für, eine Zahl zu sein. Wenn es eine Zahl war, dann ein Vektor in R sein würde, während die anderen Begriffe Vektoren in R sein würden, und deshalb die Formel Sinn nicht haben würde. Für die geradlinige Annäherungsformel, um Sinn zu haben, muss eine Funktion sein, die Vektoren in R zu Vektoren in R sendet, und diese an v bewertete Funktion anzeigen muss.

Um zu bestimmen, welche Funktion es ist, bemerken Sie, dass die geradlinige Annäherungsformel als umgeschrieben werden kann

:

Bemerken Sie, dass, wenn wir einen anderen Vektoren w dann wählen, diese ungefähre Gleichung eine andere ungefähre Gleichung durch das Auswechseln w für v bestimmt. Es bestimmt eine dritte ungefähre Gleichung durch das Ersetzen von von sowohl w v als auch a. Indem wir diese zwei neuen Gleichungen abziehen, bekommen wir

:

\approx f' (\mathbf + \mathbf {v}) \mathbf {w} - f' (\mathbf) \mathbf {w}. </Mathematik>

Wenn wir annehmen, dass v klein ist, und dass sich die Ableitung unaufhörlich in a ändert, dann ungefähr gleich ist, und deshalb die Rechte ungefähr Null ist. Die linke Seite kann in einer verschiedenen Weise umgeschrieben werden, die geradlinige Annäherungsformel mit dem ausgewechselten v zu verwenden. Die geradlinige Annäherungsformel bezieht ein:

:

0

&\\ungefähr f (\mathbf + \mathbf {v} + \mathbf {w}) - f (\mathbf + \mathbf {v}) - f (\mathbf + \mathbf {w}) + f (\mathbf) \\

&= (f (\mathbf + \mathbf {v} + \mathbf {w}) - f (\mathbf)) - (f (\mathbf + \mathbf {v}) - f (\mathbf)) - (f (\mathbf + \mathbf {w}) - f (\mathbf)) \\

&\\ungefähr f' (\mathbf) (\mathbf {v} + \mathbf {w}) - f' (\mathbf) \mathbf {v} - f' (\mathbf) \mathbf {w}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das weist darauf hin, dass das eine geradlinige Transformation vom Vektorraum R zum Vektorraum R ist. Tatsächlich ist es möglich, das eine genaue Abstammung durch das Messen des Fehlers in den Annäherungen zu machen. Nehmen Sie an, dass der Fehler in diesen geradlinige Annäherungsformel wird durch eine Konstante Zeiten || v begrenzt, wo die Konstante von v unabhängig ist, aber unaufhörlich von a abhängt. Dann, nach dem Hinzufügen eines passenden Fehlerbegriffes, können alle obengenannten ungefähren Gleichheiten als Ungleichheit umformuliert werden. Insbesondere ist eine geradlinige Transformation bis zu einem kleinen Fehlerbegriff. In der Grenze weil neigen v und w zur Null, es muss deshalb eine geradlinige Transformation sein. Da wir die Gesamtableitung definieren, indem wir eine Grenze nehmen, als v zur Null geht, muss eine geradlinige Transformation sein.

In einer Variable wird die Tatsache, dass die Ableitung die beste geradlinige Annäherung ist, durch die Tatsache ausgedrückt, dass es die Grenze von Unterschied-Quotienten ist. Jedoch hat der übliche Unterschied-Quotient Sinn in höheren Dimensionen nicht, weil es nicht gewöhnlich möglich ist, Vektoren zu teilen. Insbesondere der Zähler und Nenner des Unterschied-Quotienten sind nicht sogar in demselben Vektorraum: Der Zähler liegt im codomain R, während der Nenner im Gebiet R liegt. Außerdem ist die Ableitung eine geradlinige Transformation, ein verschiedener Typ des Gegenstands sowohl vom Zähler als auch von Nenner. Um genau die Idee zu machen, die die beste geradlinige Annäherung ist, ist es notwendig, eine verschiedene Formel an die Ein-Variable-Ableitung anzupassen, in der diese Probleme verschwinden. Wenn, dann kann die übliche Definition der Ableitung manipuliert werden, um dass die Ableitung von f dabei zu zeigen, der einzigartigen solcher Zahl dass zu sein

:

Das ist zu gleichwertig

:

weil die Grenze einer Funktion zur Null neigt, wenn, und nur wenn die Grenze des absoluten Werts der Funktion zur Null neigt. Diese letzte Formel kann an die vielvariable Situation durch das Ersetzen der absoluten Werte mit Normen angepasst werden.

Die Definition der Gesamtableitung von f an a ist deshalb, dass es die einzigartige geradlinige solche Transformation dass ist

:

Hier ist h ein Vektor in R, so ist die Norm im Nenner die Standardlänge auf R. Jedoch, f&prime; (a) ist h ein Vektor in R, und die Norm im Zähler ist die Standardlänge auf R. Wenn v ein Vektor ist, der an a anfängt, dann den pushforward von v durch f genannt wird und manchmal geschrieben wird.

Wenn die Gesamtableitung an a besteht, dann bestehen alle partiellen Ableitungen und Richtungsableitungen von f an a, und für den ganzen v, ist die Richtungsableitung von f in der Richtung v. Wenn wir f schreiben, der Koordinatenfunktionen verwendet, so dass dann die Gesamtableitung mit den partiellen Ableitungen als eine Matrix ausgedrückt werden kann. Diese Matrix wird die Matrix von Jacobian von f an a genannt:

:

Die Existenz der Gesamtableitung f&prime; (a) ist ausschließlich stärker als die Existenz aller partiellen Ableitungen, aber wenn die partiellen Ableitungen bestehen und dauernd sind, dann besteht die Gesamtableitung, wird von Jacobian gegeben, und hängt unaufhörlich von a ab.

Die Definition der Gesamtableitung ordnet die Definition der Ableitung in einer Variable unter. D. h. wenn f eine reellwertige Funktion einer echten Variable ist, dann besteht die Gesamtableitung, wenn, und nur wenn die übliche Ableitung besteht. Die Jacobian Matrix nimmt zu 1×1 Matrix ab, deren nur Zugang die Ableitung f&prime ist; (x). Das 1×1 befriedigt Matrix das Eigentum, das ungefähr Null, mit anderen Worten das ist

:

Bis zu sich ändernden Variablen ist das die Behauptung, dass die Funktion die beste geradlinige Annäherung an f an a ist.

Die Gesamtableitung einer Funktion gibt eine andere Funktion ebenso als der Ein-Variable-Fall nicht. Das ist, weil die Gesamtableitung einer mehrvariablen Funktion viel mehr Information registrieren muss als die Ableitung einer einzeln-variablen Funktion. Statt dessen gibt die Gesamtableitung eine Funktion vom Tangente-Bündel der Quelle zum Tangente-Bündel des Ziels.

Das natürliche Analogon der zweiten, dritten und höherwertigen Gesamtableitungen ist nicht eine geradlinige Transformation, ist nicht eine Funktion auf dem Tangente-Bündel, und wird durch die wiederholte Einnahme der Gesamtableitung nicht gebaut. Das Analogon einer höherwertigen Ableitung, genannt ein Strahl, kann keine geradlinige Transformation sein, weil höherwertige Ableitungen feine geometrische Information wie Konkavität widerspiegeln, die in Bezug auf geradlinige Daten wie Vektoren nicht beschrieben werden kann. Es kann keine Funktion auf dem Tangente-Bündel sein, weil das Tangente-Bündel nur Zimmer für den Grundraum und die Richtungsableitungen hat. Weil Strahlen höherwertige Information gewinnen, nehmen sie als Argumente zusätzliche Koordinaten, die höherwertige Änderungen in der Richtung vertreten. Der durch diese zusätzlichen Koordinaten bestimmte Raum wird das Strahlbündel genannt. Der Beziehung zwischen der Gesamtableitung und den partiellen Ableitungen einer Funktion wird in der Beziehung zwischen dem Kth-Ordnungsstrahl einer Funktion und seinen partiellen Ableitungen der Ordnung weniger angepasst als oder gleich k.

Generalisationen

Das Konzept einer Ableitung kann zu vielen anderen Einstellungen erweitert werden. Der allgemeine Faden ist, dass die Ableitung einer Funktion an einem Punkt als eine geradlinige Annäherung der Funktion an diesem Punkt dient.

• Eine wichtige Generalisation der Ableitung betrifft komplizierte Funktionen von komplizierten Variablen, wie Funktionen von (ein Gebiet in) die komplexen Zahlen C zu C. Der Begriff der Ableitung solch einer Funktion wird durch das Ersetzen echter Variablen mit komplizierten Variablen in der Definition erhalten. Wenn C mit R ² durch das Schreiben einer komplexen Zahl z als x + ich y identifiziert wird, dann ist eine Differentiable-Funktion von C bis C sicher differentiable als eine Funktion von R ² zu R ² (im Sinn, dass seine partiellen Ableitungen alle bestehen), aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr: Die komplizierte Ableitung besteht nur, wenn die echte Ableitung geradlinig kompliziert ist und das beeindruckt, haben Beziehungen zwischen den partiellen Ableitungen gerufen die Gleichungen von Cauchy Riemann — sehen Holomorphic-Funktionen.
• Eine andere Generalisation betrifft Funktionen zwischen differentiable oder glatten Sammelleitungen. Intuitiv sprechend ist solch eine mannigfaltige M ein Raum, dem in der Nähe von jedem Punkt x durch einen Vektorraum genannt seinen Tangente-Raum näher gekommen werden kann: Das archetypische Beispiel ist eine glatte Oberfläche in R ³. Die Ableitung (oder Differenzial) einer (differentiable) Karte f: M  N zwischen Sammelleitungen, an einem Punkt x in der M, ist dann eine geradlinige Karte vom Tangente-Raum der M an x zum Tangente-Raum von N an f (x). Die abgeleitete Funktion wird eine Karte zwischen den Tangente-Bündeln der M und N. Diese Definition ist in der Differenzialgeometrie grundsätzlich und hat vielen Nutzen — sieh pushforward (Differenzial) und Hemmnis (Differenzialgeometrie).
• Unterscheidung kann auch für Karten zwischen unendlichen dimensionalen Vektorräumen wie Banach spaces und Räume von Fréchet definiert werden. Es gibt eine Generalisation beide der Richtungsableitung, genannt die Ableitung von Gâteaux, und des Differenzials, genannt die Ableitung von Fréchet.
• Ein Mangel an der klassischen Ableitung ist, dass nicht sehr viele Funktionen differentiable sind. Dennoch gibt es eine Weise, den Begriff der Ableitung zu erweitern, so dass alle dauernden Funktionen und viele andere Funktionen mit einem als die schwache Ableitung bekannten Konzept unterschieden werden können. Die Idee ist, die dauernden Funktionen in einem größeren Raum genannt den Raum des Vertriebs einzubetten und nur zu verlangen, dass eine Funktion differentiable "durchschnittlich" ist.
• Die Eigenschaften der Ableitung haben die Einführung begeistert, und die Studie von vielen ähnlichen Gegenständen in der Algebra und Topologie — sieht zum Beispiel, Differenzialalgebra.
• Die getrennte Entsprechung von der Unterscheidung ist begrenzte Unterschiede. Die Studie der Differenzialrechnung wird mit der Rechnung von begrenzten Unterschieden in der Rechnung des zeitlichen Rahmens vereinigt.
• Siehe auch arithmetische Ableitung.

Siehe auch

• Anwendungen von Ableitungen
• Automatische Unterscheidung
• Klasse von Differentiability
• Differintegral
• Generalisationen der Ableitung
• Integrierter
• Linearization
• Gegenteil von Multiplicative
• Numerische Unterscheidung
• Symmetrische Ableitung
• Unterscheidung herrscht

über

Referenzen

Druck

Online-Bücher

Webseiten

• Khan-Akademie: Abgeleitete Lehre 1
• Weisstein, Eric W. "Ableitung". Von MathWorld
• Ableitungen von Trigonometrischen Funktionen, UBC
• Behobene Probleme in Ableitungen