Der Gauss-Häubchen-Lehrsatz oder die Gauss-Häubchen-Formel in der Differenzialgeometrie sind eine wichtige Behauptung über Oberflächen, die ihre Geometrie (im Sinne der Krümmung) zu ihrer Topologie (im Sinne der Eigenschaft von Euler) verbindet. Es wird nach Carl Friedrich Gauss genannt, der einer Version des Lehrsatzes bewusst war, aber ihn nie, und Pierre Ossian Bonnet veröffentlicht hat, der einen speziellen Fall 1848 veröffentlicht hat.

Behauptung des Lehrsatzes

Denken Sie ist eine zweidimensionale Kompaktsammelleitung von Riemannian mit der Grenze. Lassen Sie, die Krümmung von Gaussian zu sein und zu lassen, die geodätische Krümmung dessen zu sein. Dann

:

wo dA das Element des Gebiets der Oberfläche ist, und ds das Linienelement entlang der Grenze der M ist. Hier, ist die Eigenschaft von Euler dessen.

Wenn die Grenze glatter piecewise ist, dann interpretieren wir das Integral als die Summe der entsprechenden Integrale entlang den glatten Teilen der Grenze plus die Summe der Winkel, durch die sich die glatten Teile an den Ecken der Grenze drehen.

Interpretation und Bedeutung

Der Lehrsatz gilt insbesondere für Kompaktoberflächen ohne Grenze, in welchem Fall der integrierte

:

kann weggelassen werden. Es stellt fest, dass die Gesamtkrümmung von Gaussian solch einer geschlossenen Oberfläche 2π Zeiten die Eigenschaft von Euler der Oberfläche gleich ist. Bemerken Sie, dass für orientable Kompaktoberflächen ohne Grenze die Eigenschaft von Euler gleich ist, wo die Klasse der Oberfläche ist: Jede orientable Kompaktoberfläche ohne Grenze ist zu einem Bereich mit einigen Griffen beigefügt topologisch gleichwertig, und zählt die Zahl von Griffen auf.

Wenn man biegt und die Oberfläche deformiert, wird sich seine Eigenschaft von Euler, ein topologischer invariant seiend, nicht ändern, während die Krümmungen an einigen Punkten werden. Die Lehrsatz-Staaten, etwas überraschend, dass der

das Gesamtintegral aller Krümmungen wird dasselbe bleiben, egal wie das Verformen getan wird. Also zum Beispiel, wenn Sie einen Bereich mit einer "Beule" haben, dann ist seine Gesamtkrümmung 4π (die Eigenschaft von Euler eines Bereichs, der 2 ist), egal wie groß oder tief die Beule.

Die Kompaktheit der Oberfläche ist von entscheidender Wichtigkeit. Denken Sie zum Beispiel die offene Einheitsscheibe, eine Nichtkompaktoberfläche von Riemann ohne Grenze, mit der Krümmung 0 und mit der Eigenschaft 1 von Euler: Die Gauss-Häubchen-Formel arbeitet nicht. Es hält jedoch für die geschlossene Kompakteinheitsscheibe für wahr, die auch Eigenschaft 1 von Euler, wegen des zusätzlichen Grenzintegrals mit dem Wert 2π hat.

Als eine Anwendung hat ein Ring Eigenschaft 0 von Euler, so muss seine Gesamtkrümmung auch Null sein. Wenn der Ring gewöhnlichen Riemannian trägt, der von seinem Einbetten in R metrisch ist, dann hat das Innere negative Krümmung von Gaussian, die Außenseite hat positive Krümmung von Gaussian, und die Gesamtkrümmung ist tatsächlich 0. Es ist auch möglich, einen Ring zu bauen, indem es Gegenseiten eines Quadrats identifiziert wird, in welchem Fall auf dem Ring metrischer Riemannian flach ist und unveränderliche Krümmung 0 hat, wieder auf Gesamtkrümmung 0 hinauslaufend. Es ist nicht möglich, Riemannian anzugeben, der auf dem Ring mit überall metrisch ist, positivem oder überall negative Krümmung von Gaussian.

Der Lehrsatz hat auch interessante Folgen für Dreiecke. Nehmen Sie an, dass M eine 2-dimensionale Sammelleitung von Riemannian (nicht notwendigerweise kompakt) ist, und wir angeben, dass sich ein "Dreieck" auf der M durch drei geodesics geformt hat. Dann können wir Gauss-Häubchen auf die Oberfläche T gebildet durch das Innere dieses Dreiecks und der piecewise Grenze anwenden, die durch das Dreieck selbst gegeben ist. Die geodätische Krümmung von geodesics Null und die Eigenschaft von Euler von T zu sein, 1 zu sein, stellt der Lehrsatz dann fest, dass die Summe der sich drehenden Winkel des geodätischen Dreiecks 2π minus die Gesamtkrümmung innerhalb des Dreiecks gleich ist. Da der sich drehende Winkel an einer Ecke π minus der Innenwinkel gleich ist, können wir das wie folgt umformulieren:

Die:The-Summe von Innenwinkeln eines geodätischen Dreiecks ist &pi gleich; plus die durch das Dreieck eingeschlossene Gesamtkrümmung.

Im Fall vom Flugzeug (wo die Krümmung von Gaussian 0 und geodesics ist, sind Geraden), erlangen wir die vertraute Formel für die Summe von Winkeln in einem gewöhnlichen Dreieck wieder. Auf dem Standardbereich, wo die Krümmung überall 1 ist, sehen wir, dass die Winkelsumme von geodätischen Dreiecken immer größer ist als π.

Spezielle Fälle

Mehrere läuft früher auf sphärische Geometrie hinaus, und Hyperbelgeometrie im Laufe der vorhergehenden Jahrhunderte wurden als spezielle Fälle des Gauss-Häubchens untergeordnet.

Dreiecke

In der kugelförmigen Trigonometrie und Hyperbeltrigonometrie ist das Gebiet eines Dreiecks zum Betrag proportional, durch den seine Innenwinkel scheitern, sich auf 180 °, oder gleichwertig durch den (umgekehrten) Betrag zu belaufen, durch den seine Außenwinkel scheitern, sich auf 360 ° zu belaufen.

Das Gebiet eines kugelförmigen Dreiecks ist zu seinem Übermaß, durch den Lehrsatz von Girard - der Betrag proportional, durch den sich seine Innenwinkel auf mehr als 180 ° belaufen, der dem Betrag gleich ist, durch den sich seine Außenwinkel auf weniger als 360 ° belaufen.

Das Gebiet eines Hyperbeldreiecks, ist umgekehrt zu seinem Defekt, wie gegründet, durch Johann Heinrich Lambert proportional.

Polyeder

Der Lehrsatz von Descartes auf dem winkeligen Gesamtdefekt eines Polyeders ist das polyedrische Analogon:

es stellt fest, dass die Summe des Defekts an allen Scheitelpunkten eines Polyeders, das homeomorphic zum Bereich ist, 4π ist. Mehr allgemein, wenn das Polyeder Eigenschaft von Euler hat (wo g die Klasse ist, "Zahl von Löchern" bedeutend), dann ist die Summe des Defekts

Das ist der spezielle Fall des Gauss-Häubchens, wo die Krümmung an getrennten Punkten (die Scheitelpunkte) konzentriert wird.

Krümmung als ein Maß, aber nicht als eine Funktion denkend, ist der Lehrsatz von Descartes Gauss-Häubchen, wo die Krümmung ein getrenntes Maß ist, und das Gauss-Häubchen für Maßnahmen sowohl Gauss-Häubchen für glatte Sammelleitungen als auch den Lehrsatz von Descartes verallgemeinert.

Kombinatorisches Analogon

Es gibt mehrere kombinatorische Analoga des Gauss-Häubchen-Lehrsatzes. Wir setzen den folgenden fest. Lassen Sie, eine begrenzte 2-dimensionale Pseudosammelleitung zu sein. Lassen Sie zeigen die Zahl von Dreiecken an, die den Scheitelpunkt enthalten. Dann

wo die ersten Summe-Reihen über die Scheitelpunkte im Interieur, die zweite Summe über die Grenzscheitelpunkte ist, und die Eigenschaft von Euler dessen ist.

Ähnliche Formeln können für die 2-dimentional Pseudosammelleitung erhalten werden, wenn wir Dreiecke durch höhere Vielecke ersetzen. Für Vielecke von n Scheitelpunkten müssen wir 3 und 6 in der Formel oben mit n / (n-2) und 2n / (n-2), repectively ersetzen.

Zum Beispiel für Vierseite müssen wir 3 und 6 in der Formel oben mit 2 und 4, beziehungsweise ersetzen. Mehr spezifisch, wenn eine geschlossene 2-dimensionale Digitalsammelleitung ist, erweist sich die Klasse

wo den Satz von Oberflächenpunkten anzeigt, von denen jeder angrenzende Punkte auf der Oberfläche hat.

Generalisationen

Generalisationen des Gauss-Häubchen-Lehrsatzes zu n-dimensional Sammelleitungen von Riemannian wurden in den 1940er Jahren, von Allendoerfer, Weil und Chern gefunden; sieh verallgemeinerten Gauss-Häubchen-Lehrsatz und Chern-Weil Homomorphismus. Der Lehrsatz von Riemann-Roch kann auch als eine Generalisation des Gauss-Häubchens gesehen werden.

Eine äußerst weit reichende Generalisation aller oben erwähnten Lehrsätze ist der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz.

Links

• Gauss-Häubchen-Lehrsatz am Wolfram Mathworld