In der Mathematik ist ein Gebäude (auch Gebäude von Tits, Bruhat-Meise-Gebäude, genannt nach François Bruhat und Jacques Tits) eine kombinatorische und geometrische Struktur, die gleichzeitig bestimmte Aspekte von Fahne-Sammelleitungen, begrenzten projektiven Flugzeugen und Riemannian symmetrische Räume verallgemeinert. Am Anfang eingeführt von Jacques Tits als ein Mittel, die Struktur von außergewöhnlichen Gruppen des Typs Lie zu verstehen, ist die Theorie auch verwendet worden, um die Geometrie zu studieren, und Topologie von homogenen Räumen von p-adic Liegen Gruppen und ihre getrennten Untergruppen von symmetries ebenso, dass Bäume verwendet worden sind, um freie Gruppen zu studieren.

Übersicht

Der Begriff eines Gebäudes wurde von Jacques Tits als ein Mittel erfunden, einfache algebraische Gruppen über ein willkürliches Feld zu beschreiben. Tits hat demonstriert, wie zu jeder solcher Gruppe G man einen simplicial Komplex Δ = Δ (G) mit einer Handlung von G, genannt das kugelförmige Gebäude von G vereinigen kann. Die Gruppe G erlegt sehr starke kombinatorische Regelmäßigkeitsbedingungen den Komplexen Δ auf, der auf diese Mode entstehen kann. Indem er diese Bedingungen als Axiome für eine Klasse von simplicial Komplexen behandelt hat, hat Tits seine erste Definition eines Gebäudes erreicht. Ein Teil der Daten, die ein Gebäude Δ definieren, ist eine Gruppe von Coxeter W, der einen hoch symmetrischen simplicial Komplex Σ = Σ (W, S), genannt den Komplex von Coxeter bestimmt. Ein Gebäude Δ wird zusammen aus vielfachen Kopien von Σ, genannt seine Wohnungen auf eine bestimmte regelmäßige Mode geklebt. Wenn W eine begrenzte Gruppe von Coxeter ist, ist der Komplex von Coxeter ein topologischer Bereich, und, wie man sagt, sind die entsprechenden Gebäude vom kugelförmigen Typ. Wenn W eine affine Gruppe von Weyl ist, ist der Komplex von Coxeter eine Unterteilung des affine Flugzeugs, und man spricht von affine, oder Euklidisch, Gebäude. Ein Affine-Gebäude des Typs ist dasselbe als ein unendlicher Baum ohne Endscheitelpunkte.

Obwohl die Theorie von halbeinfachen algebraischen Gruppen die anfängliche Motivation für den Begriff eines Gebäudes, nicht zur Verfügung gestellt hat, entstehen alle Gebäude aus einer Gruppe. Insbesondere projektive Flugzeuge und verallgemeinerte Vierecke bilden zwei Klassen von in der Vorkommen-Geometrie studierten Graphen, die die Axiome eines Gebäudes befriedigen, aber mit keiner Gruppe verbunden werden dürfen. Dieses Phänomen erweist sich, mit der niedrigen Reihe des entsprechenden Systems von Coxeter (nämlich, zwei) verbunden zu sein. Meisen haben einen bemerkenswerten Lehrsatz bewiesen: Alle kugelförmigen Gebäude der Reihe werden mindestens drei mit einer Gruppe verbunden; außerdem, wenn ein Gebäude der Reihe mindestens zwei werden mit einer Gruppe dann die Gruppe verbunden, im Wesentlichen durch das Gebäude bestimmt wird.

Iwahori-Matsumoto, Borel-Meisen und Bruhat-Meisen haben demonstriert, dass in der Analogie mit dem Aufbau von Meisen von kugelförmigen Gebäuden, affine Gebäude auch von bestimmten Gruppen, nämlich, reduktiven algebraischen Gruppen über ein lokales non-Archimedean Feld gebaut werden kann. Außerdem, wenn die Spalt-Reihe der Gruppe mindestens drei ist, wird es im Wesentlichen durch sein Gebäude bestimmt. Meisen haben später die foundational Aspekte der Theorie von Gebäuden mit dem Begriff eines Raum-Systems nachgearbeitet, das Gebäude allein in Bezug auf Angrenzen-Eigenschaften von simplices der maximalen Dimension verschlüsselnd; das führt zu Vereinfachungen sowohl in kugelförmigen als auch in affine Fällen. Er hat bewiesen, dass, in der Analogie mit dem kugelförmigen Fall, jedem Gebäude des affine Typs und der Reihe mindestens vier aus einer Gruppe entstehen.

Definition

Ein N-Dimensional-Gebäude X ist ein Auszug simplicial Komplex, der eine Vereinigung von Subkomplexen genannte solche Wohnungen dass ist

• jedes K-Simplex X ist innerhalb von mindestens drei n-simplices wenn k und N = G

befriedigt die Axiome von einer Milliarde Paar, und die Gruppe von Weyl kann identifiziert mit N / N B.

Umgekehrt kann das Gebäude von der MILLIARDE Paar wieder erlangt werden, so dass jede MILLIARDE Paar kanonisch ein Gebäude definiert.

Tatsächlich konjugieren das Verwenden der Fachsprache der MILLIARDE Paare und das Benennen von irgendwelchem von B eine Untergruppe von Borel und jede Gruppe, die eine Untergruppe von Borel eine parabolische Untergruppe, enthält

• die Scheitelpunkte des Gebäudes X entsprechen maximalen parabolischen Untergruppen;
• k + 1 Scheitelpunkt-Form ein K-Simplex, wann auch immer die Kreuzung der entsprechenden maximalen parabolischen Untergruppen auch parabolisch ist;
• Wohnungen sind paart sich unter G des simplicial Subkomplexes mit Scheitelpunkten, die dadurch gegeben sind, paart sich unter N von maximalem parabolics, der B enthält.

Dasselbe Gebäude kann häufig von der verschiedenen MILLIARDE Paare beschrieben werden. Außerdem kommt nicht jedes Gebäude aus einer Milliarde Paar: Das entspricht dem Misserfolg der Klassifikation läuft auf niedrige Reihe und Dimension (sieh unten) hinaus.

Kugelförmige und affine Gebäude für SL

Die simplicial Struktur des affine und der kugelförmigen Gebäude, die zu SL (Q), sowie ihre Verbindungen vereinigt sind, ist leicht, direkt das Verwenden zu erklären, nur Konzepte von der elementaren Algebra und Geometrie (sehen). In diesem Fall gibt es drei verschiedene Gebäude, zwei kugelförmige und einen affine. Jeder ist eine Vereinigung von Wohnungen, selbst simplicial Komplexe. Für die affine Gruppe ist eine Wohnung gerade der simplicial Komplex, der beim Standard tessellation des Euklidischen Raums E durch den gleichseitigen (n-1)-simplices erhalten ist; während für ein kugelförmiges Gebäude es der begrenzte simplicial Komplex ist

gebildet durch ganzen (n-1)! simplices mit einem gegebenen allgemeinen Scheitelpunkt im analogen tessellation in E.

Jedes Gebäude ist ein simplicial Komplex X, der die folgenden Axiome befriedigen muss:

:* X ist eine Vereinigung von Wohnungen.

:* Irgendwelche zwei simplices in X werden in einer allgemeinen Wohnung enthalten.

:* Wenn ein Simplex in zwei Wohnungen enthalten wird, gibt es einen simplicial Isomorphismus von einem auf das andere Befestigen aller allgemeinen Punkte.

Kugelförmiges Gebäude

Lassen Sie F ein Feld sein und X der simplicial Komplex mit Scheitelpunkten die nichttrivialen Vektor-Subräume von V=F sein zu lassen. Zwei Subräume U und U werden verbunden, wenn einer von ihnen eine Teilmenge vom anderen ist. Die k-simplices X werden durch Sätze von k + 1 gebildet

gegenseitig verbundene Subräume. Maximale Konnektivität wird durch die Einnahme n - 1 Subräume und das Entsprechen (n-2) erhalten - Simplex entspricht einer ganzen Fahne

: (0) U ··· U V

Sinken Sie dimensionale simplices entsprechen teilweisen Fahnen mit weniger intermediären Subräumen U.

Um die Wohnungen in X zu definieren, ist es günstig, einen Rahmen in V als eine Basis (v) bestimmt bis zur Skalarmultiplikation von jedem seiner Vektoren v zu definieren; mit anderen Worten ist ein Rahmen eine Reihe eindimensionaler Subräume L = F · v solch, dass irgendwelche k von ihnen einen k-dimensional Subraum erzeugen. Jetzt definiert ein bestellter Rahmen L..., L eine ganze Fahne über

: U = L ··· L

Da die Wiedereinrichtung des L auch einen Rahmen gibt, ist es aufrichtig, um dass die Subräume, erhalten als Summen des L, zu sehen

bilden Sie einen simplicial Komplex des für eine Wohnung eines kugelförmigen Gebäudes erforderlichen Typs. Die Axiome für ein Gebäude können mit dem klassischen Verbesserungsargument von Schreier leicht nachgeprüft werden, das verwendet ist, um die Einzigartigkeit der Zergliederung des Jordans-Hölder zu beweisen.

Gebäude von Affine

Lassen Sie K ein Feld sein, das zwischen Q und seiner p-adic Vollziehung Q in Bezug auf den üblichen non-Archimedean p-adic Norm liegt

|| x auf Q für einen ersten p. Lassen Sie R der Subring von durch definiertem K sein

Wenn K = Q, R die Lokalisierung von Z an p und, wenn K = Q, R = Z, die p-adic ganzen Zahlen, d. h. der Verschluss von Z in Q. ist

Die Scheitelpunkte des Gebäudes X sind die R-Gitter in V = K, d. h. R-Untermodule der Form

:L = R · v ··· R · v

wo (v) eine Basis V über K ist. Wie man sagt, sind zwei Gitter gleichwertig, wenn man ein Skalarvielfache von anderem durch ein Element von ist

multiplicative GruppenK* von K (tatsächlich müssen nur Mächte der ganzen Zahl von p verwendet werden). Wie man sagt, sind zwei Gitter L und L angrenzend, wenn ein zu L gleichwertiges Gitter zwischen L und seinem Subgitter p liegt · L: Diese Beziehung ist symmetrisch. Die k-simplices X sind Gleichwertigkeitsklassen von k + 1 gegenseitig angrenzende Gitter, (n - 1) - simplices, entsprechen nach dem Wiederbeschriften, zu Ketten

:p · L L L ··· L L

wo jeder aufeinander folgende Quotient Auftrag p hat. Wohnungen werden durch das Befestigen einer Basis (v) V und die Einnahme aller Gitter mit der Basis definiert

(p v), wo (a) in Z liegt und bis zur Hinzufügung einzigartig bestimmt wird

derselben ganzen Zahl zu jedem Zugang.

Definitionsgemäß hat jede Wohnung die erforderliche Form, und ihre Vereinigung ist ganze X. Das zweite Axiom folgt durch eine Variante des Verbesserungsarguments von Schreier. Der letzte

Axiom folgt durch ein einfaches zählendes Argument, das auf den Ordnungen von begrenzten Gruppen von Abelian der Form gestützt ist

:L + p · L / p · L.

Ein Standardkompaktheitsargument zeigt, dass X tatsächlich der Wahl von K unabhängig ist. In der besonderen Einnahme K = Q, hieraus folgt dass X zählbar ist. Andererseits K = Q nehmend, zeigt die Definition, dass GL (Q) eine natürliche simplicial Handlung auf dem Gebäude zulässt.

Das Gebäude kommt ausgestattet mit einem Beschriften seiner Scheitelpunkte mit Werten in Z / n Z. Tatsächlich, ein Bezugsgitter L befestigend, wird das Etikett der M durch gegeben

:label (M) = loggen |m/p L modulo n

für den genug großen k. Die Scheitelpunkte von irgendwelchem (n - 1) - Simplex in X haben verschiedene Etiketten, ganzen Z / n Z durchbohrend. Jeder simplicial automorphism φ X definiert eine Versetzung π Z / n Z solch dass Etikett (φ (M)) = π (Etikett (M)). Insbesondere für g in GL (Q),

:label (g · M) = Etikett (M) + loggen || det g || modulo n.

So bewahrt g Etiketten, wenn g in SL (Q) liegt.

Automorphisms

Meisen haben bewiesen, dass jede Etikett-Bewahrung automorphism des Affine-Gebäudes aus einem Element von SL (Q) entsteht. Seitdem automorphisms des Gebäudes permutieren die Etiketten, es gibt einen natürlichen Homomorphismus

:Aut X S.

Die Handlung von GL (Q) verursacht einen N-Zyklus τ. Andere automorphisms des Gebäudes entstehen aus Außenautomorphisms von SL (Q) vereinigt mit automorphisms des Diagramms von Dynkin. Die Einnahme des Standards

die symmetrische bilineare Form mit der orthonormalen Basis v, die Karte, die ein Gitter an sein Doppelgitter sendet, gibt einen automorphism mit dem Quadrat die Identität, die Versetzung σ gebend, der jedes Etikett an seinen negativen modulo n sendet. Das Image des obengenannten Homomorphismus wird durch σ und τ erzeugt und ist zur zweiflächigen Gruppe D des Auftrags 2n isomorph; wenn n = 3, es ganzen S gibt.

Wenn E eine begrenzte Erweiterung von Galois von Q ist und das Gebäude von SL (E) statt SL (Q) gebaut wird, wird das Gruppenmädchen von Galois (E/Q) auch auf automorphisms auf dem Gebäude handeln.

Geometrische Beziehungen

Kugelförmige Gebäude entstehen auf zwei ziemlich verschiedene Weisen im Zusammenhang mit dem affine Gebäude X für SL (Q):

• Die Verbindung jedes Scheitelpunkts L im Affine-Gebäude entspricht Untermodulen von L/p · L unter dem begrenzten Feld F = R/p · R = Z / (p). Das ist gerade das kugelförmige Gebäude für SL (F).
• Das Gebäude X kann compactified durch das Hinzufügen des kugelförmigen Gebäudes für SL (Q) als Grenze "an der Unendlichkeit" sein (sieh oder).

Klassifikation

Meisen haben bewiesen, dass alle nicht zu vereinfachenden kugelförmigen Gebäude (d. h. mit der begrenzten Gruppe von Weyl) der Reihe, die größer ist als 2, zu einfachen algebraischen oder klassischen Gruppen vereinigt werden.

Ein ähnliches Ergebnis hält für nicht zu vereinfachende affine Gebäude der Dimension größer als zwei (ihre Gebäude "an der Unendlichkeit" sind von der Reihe kugelförmig, die größer ist als zwei). In der niedrigeren Reihe oder Dimension gibt es keine solche Klassifikation. Tatsächlich gibt jede Vorkommen-Struktur ein kugelförmiges Gebäude der Reihe 2 (sieh); und Ballmann und Brin haben bewiesen, dass jeder 2-dimensionale simplicial Komplex, in dem die Verbindungen von Scheitelpunkten zum Fahne-Komplex eines begrenzten projektiven Flugzeugs isomorph sind, die Struktur eines Gebäudes, nicht notwendigerweise klassisch hat. Viele 2-dimensionale affine Gebäude sind mit Hyperbelnachdenken-Gruppen oder anderen exotischeren mit orbifolds verbundenen Aufbauten gebaut worden.

Meisen haben auch bewiesen, dass jedes Mal ein Gebäude von einer Milliarde Paar in einer Gruppe dann in fast allen Fällen beschrieben wird, entsprechen die automorphisms des Gebäudes automorphisms der Gruppe (sieh).

Anwendungen

Die Theorie von Gebäuden hat wichtige Anwendungen in mehreren ziemlich ungleichen Feldern. Außer den bereits erwähnten Verbindungen mit der Struktur von reduktiven algebraischen Gruppen über allgemeine und lokale Felder werden Gebäude verwendet, um ihre Darstellungen zu studieren. Die Ergebnisse von Meisen auf dem Entschluss von einer Gruppe durch sein Gebäude haben tiefe Verbindungen mit Starrheitslehrsätzen von George Mostow und Grigory Margulis, und mit Margulis arithmeticity.

Spezielle Typen von Gebäuden werden in der getrennten Mathematik studiert, und die Idee von einer geometrischen Annäherung an das Charakterisieren einfacher Gruppen hat sich sehr fruchtbar in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen erwiesen. Die Theorie von Gebäuden des Typs, der allgemeiner ist als, kugelförmig oder affine ist noch relativ unentwickelt, aber diese verallgemeinerten Gebäude haben bereits Anwendungen auf den Aufbau von Kac-launischen Gruppen in der Algebra, und zu nichtpositiv gekrümmten Sammelleitungen und Hyperbelgruppen in der Topologie und geometrischen Gruppentheorie gefunden.

Siehe auch

• Geometrie von Buekenhout 
• Gruppe von Coxeter
• MILLIARDE Paar
• Algebra von Affine Hecke
• Zergliederung von Bruhat
• Verallgemeinertes Vieleck
• Meise-Geometrie
• Zwilling, der baut
• Hyperbelgebäude
• Meise-Einfachheitslehrsatz
• Starrheit von Mostow
• Komplex von Coxeter