In der Mathematik affine Geometrie ist die Studie von geometrischen Eigenschaften, die unverändert durch affine Transformationen, d. h. nichtsinguläre geradlinige Transformationen und Übersetzungen bleiben. Der Name affine Geometrie, wie projektive Geometrie und Euklidische Geometrie, folgt natürlich aus dem Programm von Erlangen von Felix Klein.

Geometrie von Affine ist eine Form der Geometrie, die das einzigartige parallele Linieneigentum zeigt (sieh das parallele Postulat), wo der Begriff des Winkels unbestimmt ist und Längen in verschiedenen Richtungen nicht verglichen werden können (d. h. die dritten und vierten Postulate von Euklid werden ignoriert). Zuerst identifiziert von Euler sind viele affine Eigenschaften von der Euklidischen Geometrie vertraut, sondern auch gelten im Raum von Minkowski. Jene Eigenschaften von der Euklidischen Geometrie, die durch den parallelen Vorsprung von einem Flugzeug bis einen anderen bewahrt werden, sind affine. Tatsächlich, affine Geometrie ist eine Generalisation der Euklidischen Geometrie, die durch die Schräge und Skala-Verzerrungen charakterisiert ist. Projektive Geometrie ist allgemeiner als affine, da es aus projektivem Raum durch "die Spezialisierung" irgendwelchen Flugzeugs abgeleitet werden kann.

Auf der Sprache des Erlangen Programms von Klein ist die zu Grunde liegende Symmetrie in der affine Geometrie die Gruppe von Sympathien, d. h. die Gruppe von Transformationen, die durch die geradlinigen Transformationen eines Vektorraums zusammen mit den Übersetzungen durch einen Vektoren erzeugt sind.

Geometrie von Affine kann auf der Grundlage von der geradlinigen Algebra entwickelt werden. Man kann einen affine Raum als eine Reihe von Punkten definieren, die mit einer Reihe von Transformationen, den Übersetzungen ausgestattet ist, der (die zusätzliche Gruppe) einen Vektorraum (über ein gegebenes Feld), und solch bildet, dass für jedes gegebene befohlene Paar von Punkten es eine einzigartige Übersetzung gibt, den ersten Punkt an das zweite sendend. In konkreteren Begriffen beläuft sich das darauf, eine Operation zu haben, die zu irgendwelchen zwei Punkten einen Vektoren, ein anderer vereinigt, der Übersetzung eines Punkts durch einen Vektoren erlaubt, einen anderen Punkt zu geben, welche Operationen mehrere Axiome nachprüfen (namentlich zwei aufeinander folgende Übersetzungen haben die Wirkung der Übersetzung durch den Summe-Vektoren). Durch die Auswahl jedes Punkts als "Ursprung" sind die Punkte in der isomorphen Ähnlichkeit mit den Vektoren, aber es gibt keine bevorzugte Wahl für den Ursprung; so kann diese Annäherung als das Erreichen des affine Raums von seinem verbundenen Vektorraum durch "das Vergessen" des Ursprungs (Nullvektor) charakterisiert werden.

Geschichte

1748 hat Euler den Begriff affine (lateinischer affinis, "verbunden") in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum eingeführt (sieh Kapitel XVII). 1827 hat August Möbius über die affine Geometrie in seinem Der barycentrische Calcul, Kapitel 3 geschrieben.

Nur nachdem das Erlangen Programm von Felix Klein affine Geometrie war, die anerkannt ist, um eine Generalisation der Euklidischen Geometrie zu sein.

Systeme von Axiomen

Mehrere axiomatische Annäherungen an die affine Geometrie sind vorgebracht worden:

Das Gesetz von Pappus

Als affine Geometrie-Geschäfte mit parallelen Linien ist einer der Eigenschaften von von Pappus Alexandrias bemerkten Parallelen als eine Proposition genommen worden:

• Wenn auf einer Linie und auf einem anderen, dann sind

Das volle vorgeschlagene Axiom-System hat Punkt, Linie und Linie, die Punkt als primitive Begriffe enthält:

• Zwei Punkte werden in gerade einer Linie enthalten.
• Für jede Linie l und jeden Punkt P, nicht auf l, gibt es gerade eine Linie, die P und nicht enthält jeden Punkt von l enthält. Wie man sagt, ist diese Linie zu l parallel.
• Jede Linie enthält mindestens zwei Punkte.
• Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht einer Linie gehören.

Gemäß H. S. M. Coxeter,

: Das Interesse dieser fünf Axiome wird durch die Tatsache erhöht, dass sie in einen riesengroßen Körper von Vorschlägen entwickelt werden können, nicht nur in der Euklidischen Geometrie sondern auch in der Geometrie von Minkowski der Zeit und Raums haltend (im einfachen Fall 1 + 1 Dimensionen, wohingegen die spezielle Relativitätstheorie 1 + 3 braucht). Die Erweiterung entweder auf die Geometrie von Euclidean oder auf Minkowskian wird durch das Hinzufügen verschiedener weiterer Axiome von orthogonality, usw. erreicht

Die verschiedenen Typen der affine Geometrie entsprechen dem, welche Interpretation für die Folge genommen wird. Euklidische Geometrie entspricht der gewöhnlichen Idee von der Folge, während die Geometrie von Minkowski Hyperbelfolge entspricht. In Bezug auf Lotlinien bleiben sie rechtwinklig, wenn das Flugzeug der gewöhnlichen Folge unterworfen wird. In der Geometrie von Minkowski bleiben Linien, die hyperbelorthogonal sind, in dieser Beziehung, wenn das Flugzeug der Hyperbelfolge unterworfen wird.

Bestellte Struktur

Eine axiomatische Behandlung des Flugzeugs affine Geometrie kann von den Axiomen der bestellten Geometrie durch die Hinzufügung von zwei zusätzlichen Axiomen gebaut werden.

1. (Axiom von Affine des Parallelismus) Gegeben ein Punkt A und eine Linie r, nicht durch A, gibt es höchstens eine Linie durch, der r nicht entspricht.
2. (Desargues) Gegeben sieben verschiedene Punkte A,', B, B', C, C', O, solch, dass AA' sind BB' und CC' verschiedene Linien durch O und AB, zu A'B parallel ist' und v. Chr. zu B'C parallel ist', dann ist AC zu A'C parallel'.

Das affine Konzept des Parallelismus bildet eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf Linien. Da die Axiome der bestellten Geometrie, wie präsentiert, hier Eigenschaften einschließen, die die Struktur der reellen Zahlen einbeziehen, tragen jene Eigenschaften hier, so dass das ein axiomatization der affine Geometrie über das Feld von reellen Zahlen ist.

Dreifältige Felder

1984 hat Wanda Szmielew eine grundsätzliche Studie von affine Systemen veröffentlicht. Als eine algebraische Vorbereitung werden Axiome für mehrere algebraische Strukturen von Schleifen bis Felder festgesetzt. Dreifältige Felder werden als eine dreifältige Operation eingeführt

das befriedigt neun Axiome, die es sich wie der Archetyp einer affine Transformation von x benehmen lassen. Dreifältige Felder werden auch als starke Quasifelder charakterisiert.

Szmielew betrachtet Desarguean sowie Pappian affine als Flugzeug im dritten Kapitel Von affine bis Euklidische Geometrie.

Transformationen von Affine

Geometrisch, affine Transformationen (Sympathien) bewahren collinearity. So gestalten sie parallele Linien in parallele Linien um und bewahren Verhältnisse von Entfernungen entlang parallelen Linien.

Wir identifizieren uns als affine Lehrsätze jedes geometrische Ergebnis, das invariant unter der affine Gruppe ist (im Erlangen Programm von Felix Klein, ist das seine zu Grunde liegende Gruppe von Symmetrie-Transformationen für die affine Geometrie). Ziehen Sie in einem Vektorraum V, die allgemeine geradlinige Gruppe GL (V) in Betracht. Es ist nicht die ganze affine Gruppe, weil wir auch Übersetzungen durch Vektoren v in V. erlauben müssen (Solch eine Übersetzung stellt jeden w in V zu w + v. kartografisch dar) Die affine Gruppe wird von der allgemeinen geradlinigen Gruppe und den Übersetzungen erzeugt und ist tatsächlich ihr halbdirektes Produkt. (Hier denken wir V als eine Gruppe unter seiner Operation der Hinzufügung, und verwenden die Definieren-Darstellung von GL (V) auf V, um das halbdirekte Produkt zu definieren.)

Zum Beispiel hängt der Lehrsatz von der Flugzeug-Geometrie von Dreiecken über das Zusammentreffen der Linien, die sich jedem Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der Gegenseite (am centroid oder barycenter) anschließen, von den Begriffen des Mittelpunkts und centroid als affine invariants ab. Andere Beispiele schließen die Lehrsätze von Ceva und Menelaus ein.

Affine invariants kann auch Berechnungen helfen. Zum Beispiel, die Linien, die das Gebiet eines Dreiecks in zwei gleiche Hälften der Form ein Umschlag innerhalb des Dreiecks teilen. Das Verhältnis des Gebiets des Umschlags zum Gebiet des Dreiecks ist affine invariant, und muss so nur von einem einfachen Fall wie eine Einheit berechnet werden, die gleichschenkliges Recht Dreieck umgebogen hat, um d. h. 0.019860... oder weniger als 2 % für alle Dreiecke zu geben.

Vertraute Formeln wie Hälfte der Normalzeiten die Höhe für das Gebiet eines Dreiecks oder ein Drittel die Normalzeiten die Höhe für das Volumen einer Pyramide, sind ebenfalls affine invariants. Während der Letztere weniger offensichtlich ist als der erstere für den allgemeinen Fall, wird er für ein sechster vom Einheitswürfel leicht gesehen, der durch ein Gesicht (Gebiet 1) und der Mittelpunkt des Würfels (Höhe 1/2) gebildet ist. Folglich hält es für alle Pyramiden, sogar schräge, deren Spitze nicht direkt über dem Zentrum der Basis und derjenigen mit der Basis ein Parallelogramm statt eines Quadrats ist. Die Formel verallgemeinert weiter zu Pyramiden, deren Basis in Parallelogramme, einschließlich Kegel durch das Erlauben ungeheuer vieler Parallelogramme (mit der erwarteten Aufmerksamkeit auf die Konvergenz) analysiert werden kann. Dieselbe Annäherung zeigt, dass eine vierdimensionale Pyramide 4D Volumen ein Viertel das 3D-Volumen seiner parallelopiped Normalzeiten die Höhe und so weiter für höhere Dimensionen hat.

Raum von Affine

Geometrie von Affine kann als die Geometrie des affine Raums, von einer gegebenen Dimension n, coordinatized über Feld K angesehen werden. Es gibt auch (in zwei Dimensionen) eine kombinatorische Generalisation von coordinatized affine Raum, wie entwickelt, in der synthetischen begrenzten Geometrie. In der projektiven Geometrie, affine Raum bedeutet die Ergänzung der Punkte (das Hyperflugzeug) an der Unendlichkeit (sieh auch projektiven Raum). Raum von Affine kann auch als ein Vektorraum angesehen werden, dessen Operationen auf jene geradlinigen Kombinationen beschränkt werden, deren Koeffizienten zu einem, zum Beispiel 2xy, xy+z, (x+y+z)/3, ix + (1-i) y usw. resümieren.

Synthetisch, affine Flugzeuge sind 2-dimensionale affine Geometrie, die in Bezug auf die Beziehungen zwischen Punkten und Linien (oder manchmal, in höheren Dimensionen, Hyperflugzeugen) definiert ist. Wenn man affine (und projektiv) Geometrie als Konfigurationen von Punkten und Linien (oder Hyperflugzeuge) definiert, anstatt Koordinaten zu verwenden, bekommt man Beispiele ohne Koordinatenfelder. Ein Haupteigentum besteht darin, dass alle diese Beispiele Dimension 2 haben. Begrenzte Beispiele in der Dimension 2 (begrenzte affine Flugzeuge) sind in der Studie von Konfigurationen in unendlichen affine Räumen, in der Gruppentheorie, und in combinatorics wertvoll gewesen.

Trotz, weniger allgemein zu sein, als die Configurational-Annäherung sind die anderen besprochenen Annäherungen im Illuminieren der Teile der Geometrie sehr erfolgreich gewesen, die mit der Symmetrie verbunden sind.

Projektive Ansicht

In der traditionellen Geometrie, affine Geometrie wird betrachtet, eine Studie zwischen Euklidischer Geometrie und projektiver Geometrie zu sein. Einerseits, affine Geometrie ist Euklidische Geometrie mit der Kongruenz ausgelassen, und andererseits affine Geometrie kann bei der projektiven Geometrie durch die Benennung einer besonderen Linie oder Flugzeugs erhalten werden, um die Punkte bei der Unendlichkeit zu vertreten. In der affine Geometrie gibt es keine metrische Struktur, aber das parallele Postulat hält wirklich. Geometrie von Affine schafft die Grundlage für die Euklidische Struktur, wenn Lotlinien, oder die Basis für die Geometrie von Minkowski durch den Begriff von hyperbolischem orthogonality definiert werden. In diesem Gesichtspunkt ist eine affine Transformationsgeometrie eine Gruppe von projektiven Transformationen, die begrenzte Punkte mit Punkten an der Unendlichkeit nicht permutieren

Siehe auch

• Nicht-euklidische Geometrie
• Affine
• Bestellte Geometrie
• Euklidische Geometrie
• Emil Artin (1957) Geometrische Algebra, Kapitel 2: "Affine und projektive Geometrie", Zwischenwissenschaftsherausgeber.
• V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideen und Methoden von Affine und Projective Geometry (in Russisch), Bildungsministerium, Moskau.
• H. S. M. Coxeter (1955) "Das Affine Flugzeug", Scripta Mathematica 21:5-14, ein Vortrag geliefert vor dem Forum der Gesellschaft von Freunden von Scripta Mathematica am Montag, dem 26. April 1954.
• Felix Klein (1939) Elementare Mathematik von einer Fortgeschrittenen Einstellung: Geometrie, die von E. R. Hedrick und C. A. Noble, Seiten 70-86, Macmillan Company übersetzt ist.
• Wanda Szmielew (1984) Von Affine bis Euklidische Geometrie: eine axiomatische Annäherung, D. Reidel, internationale Standardbuchnummer 90-277-1243-3.
• Oswald Veblen (1918) Projektive Geometrie, Band 2, Kapitel 3: Gruppe von Affine im Flugzeug, Seiten 70 bis 118, Ginn & Company.

Links

• Jean H. Gallier (2001) Geometrische Methoden und Anwendungen für Informatik und Technik, Kapitel 2:Basics der Affine Geometrie, Springer-Texte in der Angewandten Mathematik #38, Kapitel online von der Universität Pennsylvaniens (PDF).